《思想極限與極限思想》常平鎮(zhèn)中心小學(xué)葉麗謙

思想的極限與極限思想——《圓的面積》教學(xué)設(shè)計(jì)東莞市常平鎮(zhèn)中心小學(xué)葉麗謙【教學(xué)內(nèi)容】人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)，第67頁(yè)?！窘滩姆治觥俊秷A的面積》是在圓的認(rèn)識(shí)、面積概念、直邊圖形的面積計(jì)算等知識(shí)的基礎(chǔ)上教學(xué)的，“曲邊圖形”的面積推導(dǎo)是第一次出現(xiàn)，要它轉(zhuǎn)化成“直邊圖形”有一定難度。教材為了減輕難度，首先讓學(xué)生在硬紙上畫(huà)一個(gè)圓，把圓分成若干（偶數(shù)）等份，剪開(kāi)后，用這些近似于等腰三角形的小紙片拼一拼，看有什么發(fā)現(xiàn)。目的之處在于學(xué)生通過(guò)觀察、想象等分份數(shù)無(wú)限加倍時(shí)的狀態(tài)，形象直觀地感悟“化曲為直”的過(guò)程，體會(huì)極限思想的神奇，不但推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式，而且逐步由感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)，有效發(fā)展了學(xué)生的邏輯思維能力。【學(xué)情分析】學(xué)生之前已了解圓的特征、學(xué)會(huì)計(jì)算圓周長(zhǎng)的計(jì)算以及學(xué)習(xí)過(guò)由線段圍成的平面圖形的面積計(jì)算公式。而圓這樣的曲線圖形的面積計(jì)算，學(xué)生是第一次接觸到，如何推導(dǎo)圓的面積公式還是有一定的難度。但是六年級(jí)學(xué)生已初步具有類(lèi)推、轉(zhuǎn)化等思想方法，學(xué)好本課內(nèi)容將會(huì)對(duì)學(xué)生的空間觀念、解決問(wèn)題能力等有很大的提高。【設(shè)計(jì)理念】本課教學(xué)僅僅圍繞“使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想”這一重要課程目標(biāo)，整體把握落實(shí)“化曲為直，感悟極限，歸納抽象”的核心目標(biāo)來(lái)開(kāi)展教學(xué)。這是學(xué)生第一次親歷從有限到無(wú)限的認(rèn)識(shí)過(guò)程，因此“圓的面積”教學(xué)是滲透極限思想的良好契機(jī)。第一次是從數(shù)方格中滲透，在估計(jì)圓的面積大小中感悟到度量單位越小，圓的面積越精確。第二次是從剪拼成直邊圖形中滲透，在突破難點(diǎn)時(shí)感悟“無(wú)限逼近”和“等積變換”的含義，發(fā)展空間觀念。第三次是從分割成直邊圖形中滲透，體會(huì)到圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，其面積越接近圓的面積。通過(guò)這一主線來(lái)完成對(duì)新知的建構(gòu)過(guò)程，建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)解決問(wèn)題的綜合能力?！窘虒W(xué)目標(biāo)】知識(shí)與技能目標(biāo)：引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)出圓面積的計(jì)算公式，并能運(yùn)用圓面積知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際的問(wèn)題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。過(guò)程與方法目標(biāo)：經(jīng)歷圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，體會(huì)“轉(zhuǎn)化”和“極限”的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展空間觀念。情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，增強(qiáng)合作交流的意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】掌握?qǐng)A的面積計(jì)算公式，能夠正確地計(jì)算圓的面積?！窘虒W(xué)難點(diǎn)】理解圓的面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程?！窘虒W(xué)準(zhǔn)備】【教學(xué)過(guò)程】創(chuàng)設(shè)情景，提出問(wèn)題（一）課件播放月亮和白玉盤(pán)的圖片談話：“少時(shí)不識(shí)月，呼作白玉盤(pán)”，從數(shù)學(xué)的眼光看，為什么詩(shī)人李白會(huì)把月亮呼作玉盤(pán)？關(guān)于這個(gè)圖形，你學(xué)過(guò)哪些知識(shí)？你還想知道什么？正月十五的月亮白玉盤(pán)學(xué)情預(yù)設(shè)：因?yàn)閷W(xué)情預(yù)設(shè)：因?yàn)樵铝僚c白玉盤(pán)都是圓形，故稱(chēng)月亮為玉盤(pán)。關(guān)于圓，我們知道圓有無(wú)數(shù)條半徑和直徑、圓是個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形、圓的周長(zhǎng)=2πr或πd……怎么求圓所占平面的大??？這節(jié)課一起來(lái)研究圓的面積。板書(shū)課題：圓的面積。學(xué)情預(yù)設(shè)：部分學(xué)生可能通過(guò)預(yù)習(xí)自學(xué)或課外閱讀等途徑知道圓的面積計(jì)算公式，老師先給予認(rèn)可，再問(wèn)：為什么這么算？學(xué)情預(yù)設(shè)：部分學(xué)生可能通過(guò)預(yù)習(xí)自學(xué)或課外閱讀等途徑知道圓的面積計(jì)算公式，老師先給予認(rèn)可，再問(wèn)：為什么這么算？【【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)創(chuàng)設(shè)生活情境，滲透熱愛(ài)大自然、保護(hù)環(huán)境的意識(shí)。揭題時(shí)，尊重優(yōu)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，自然地引入新課?！慷?、復(fù)習(xí)舊知，思考問(wèn)題（一）回顧：以前推導(dǎo)圖形面積時(shí)用的方法。1、長(zhǎng)方形：數(shù)方格2、平行四邊形：剪拼法轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形3、三角形：兩個(gè)完全一樣的三角形拼成平行四邊形4、梯形：兩個(gè)完全一樣的梯形拼成平行四邊形（二）小結(jié)：1、數(shù)方格2、轉(zhuǎn)化【【設(shè)計(jì)意圖：回顧方法，喚醒已有的思考方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生自主探究圓的面積做鋪墊?！咳?、合作探究，解決問(wèn)題師：請(qǐng)利用手中的學(xué)具，嘗試得到圓的面積。（一）數(shù)方格,從測(cè)量中發(fā)現(xiàn)極限思想1、出示：半徑為2cm的圓在邊長(zhǎng)為2cm的小方格圖里。談話：這個(gè)圓占了4個(gè)小方格，也就是4×4=16cm2，能否說(shuō)明這個(gè)圓的面積就是16cm2？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)圓的面積小于4r學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)圓的面積小于4r2，因?yàn)閳A在小方格中所占的面積大小不滿一格，無(wú)法得到準(zhǔn)確結(jié)果，而且誤差很大。學(xué)情預(yù)設(shè)：小方格分得越小，計(jì)算出方格的面積就越接近圓的面積。學(xué)情預(yù)設(shè)：小方格分得越小，計(jì)算出方格的面積就越接近圓的面積。2、出示：半徑為2cm的圓在邊長(zhǎng)分別為、1cm、的小方格圖。談話：閉上眼睛想象，當(dāng)方格邊長(zhǎng)越來(lái)越小，小到如沙粒、塵土一般，繼續(xù)無(wú)窮小的時(shí)候，圓所占方格的面積就是圓的面積。但數(shù)起來(lái)很麻煩，還有其他方法嗎？【【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)比用不同面積單位進(jìn)行測(cè)量的結(jié)果，體會(huì)面積單位越小，所得到的圓的精確度越高。深刻了解度量單位的意義，并初步滲透極限的數(shù)學(xué)思想?！浚ǘ┘羝捶?從操作中體會(huì)極限思想1、猜想圓的面積和誰(shuí)有關(guān)。仔細(xì)觀察，圓的面積可能與什么關(guān)？學(xué)情預(yù)設(shè)學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)生可能說(shuō)出多種猜想，教師先給予認(rèn)可；如果學(xué)生不能說(shuō)出與半徑有關(guān)，教師可直接引入下面環(huán)節(jié)，讓學(xué)生觀察課件演示。教師利用課件變動(dòng)圓的半徑的長(zhǎng)短，面積在格子圖上不斷變化。提問(wèn)：半徑變了，面積變了嗎？【【設(shè)計(jì)意圖：提供感性的學(xué)習(xí)材料讓學(xué)生大膽地有指向性地猜測(cè)圓的面積與半徑有關(guān)，喚起學(xué)生主動(dòng)參與學(xué)習(xí)的欲望?！?、探索圓的面積與半徑的關(guān)系。（1）小組合作，動(dòng)手操作。在硬紙上畫(huà)一個(gè)圓，把圓分成若干（偶數(shù)）等份，剪開(kāi)后，用這些近似于等腰三角形的小紙片拼一拼，你能發(fā)現(xiàn)什么？初步匯報(bào)：如何剪拼，把圓轉(zhuǎn)化成什么圖形？拼成的圖形與原來(lái)的圓有什么關(guān)系？學(xué)情預(yù)設(shè)：預(yù)設(shè)1：把一個(gè)圓平均分成4份，拼成一個(gè)不規(guī)則圖形，面積不變。預(yù)設(shè)2：把一個(gè)圓平均分成8份，拼成一個(gè)不規(guī)則圖形，近似平行四邊形，面積不變。預(yù)設(shè)3：把一個(gè)圓平均分成16份，拼成一個(gè)不規(guī)則圖形，近似平行四邊形，面積不變。（2）結(jié)合課件，觀察反思。提問(wèn)：如果把圓平均分成64份、128份、512份……無(wú)限等分下去，你有什么想法？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)情預(yù)設(shè)：分的份數(shù)越多，每一份就會(huì)越小，拼成的圖形就越接近一個(gè)長(zhǎng)方形，而且面積不變。這樣就把求圓的面積轉(zhuǎn)化成了求長(zhǎng)方形的面積。提問(wèn)：這個(gè)近似的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬與圓的周長(zhǎng)、半徑有什么關(guān)系？學(xué)情預(yù)設(shè)：從上圖可以看出圓的半徑是r學(xué)情預(yù)設(shè)：從上圖可以看出圓的半徑是r，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)近似圓周長(zhǎng)的一半，也就是πr，寬近似于r。因?yàn)殚L(zhǎng)方形的面積＝長(zhǎng)×寬，所以圓的面積＝πr×r＝πr2。【設(shè)計(jì)意圖：借助已有數(shù)格子方法的經(jīng)驗(yàn)類(lèi)比推理、空間想象，進(jìn)一步感悟極限思想。適時(shí)借助課件演示，幫助學(xué)生通過(guò)等積變形，經(jīng)歷圖形轉(zhuǎn)化，推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式?！浚?）理順?biāo)悸?，匯總提升。根據(jù)上面的推導(dǎo)過(guò)程由上往下形成板書(shū)：如果用S表示圓的面積，那么圓的面積計(jì)算公式就是：S=πr2。小結(jié)：要求圓的面積，必須要知道圓的半徑。追問(wèn)：如果已知圓的直徑，怎么求周長(zhǎng)呢？學(xué)情預(yù)設(shè)：根據(jù)r=，則S=學(xué)情預(yù)設(shè)：根據(jù)r=，則S=π（）2?！尽驹O(shè)計(jì)意圖：鞏固圓的面積公式，要求圓的面積，要先知道圓的半徑。】（4）同桌互說(shuō)，看書(shū)質(zhì)疑。【【設(shè)計(jì)意圖：語(yǔ)言更能訓(xùn)練思維的邏輯性和嚴(yán)密性，人人都說(shuō)出來(lái)，能更好地理清推導(dǎo)過(guò)程。】割圓術(shù),從拓展中領(lǐng)悟極限思想提問(wèn)：觀察圓內(nèi)接正4邊形、正5邊形、正6邊形、正12邊形，你有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)情預(yù)設(shè)：圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它的形狀就越像圓，分得的每個(gè)小三角形的面積越接近小扇形的面積，三角形的底越接近圓的弧。當(dāng)平均分成無(wú)限份時(shí)，就會(huì)一樣了。學(xué)情預(yù)設(shè)：圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，它的形狀就越像圓，分得的每個(gè)小三角形的面積越接近小扇形的面積，三角形的底越接近圓的弧。當(dāng)平均分成無(wú)限份時(shí)，就會(huì)一樣了。提問(wèn)：用“割圓術(shù)”的方法如何得到圓的面積？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)情預(yù)設(shè)：三角形的底相當(dāng)于圓的周長(zhǎng)的一部分，假設(shè)分得n個(gè)小三角形，則一個(gè)小三角形的底可以寫(xiě)成×2πr。三角形的高相當(dāng)于圓的半徑r，則一個(gè)小三角形的面積就是×2πr×r÷2，再乘三角形的數(shù)量n個(gè)，最后結(jié)果是πr2。小結(jié)：無(wú)論用什么方法，都能夠得到圓的面積S=πr2?！尽驹O(shè)計(jì)意圖：將“割圓術(shù)”這個(gè)數(shù)學(xué)文化融入推導(dǎo)圓的面積公式，進(jìn)一步體會(huì)極限思想。】四、聯(lián)系生活，實(shí)踐運(yùn)用1、公園草地上一個(gè)自動(dòng)旋轉(zhuǎn)噴灌裝置的射程是10m，它能?chē)姽嗟拿娣e是多少？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)情預(yù)設(shè)：自動(dòng)旋轉(zhuǎn)噴灌裝置所在位置是圓心，最遠(yuǎn)的射程就是圓的半徑，旋轉(zhuǎn)時(shí)噴灌覆蓋到的草地面積就是r=10m的圓的面積。【【設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解決，學(xué)生將書(shū)本的知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力。】2、小剛量得一棵樹(shù)干的周長(zhǎng)是。這棵樹(shù)干的橫截面近似于圓，它的面積大約是多少？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)情預(yù)設(shè)：要求樹(shù)干橫截面的面積，也就是求圓的面積。根據(jù)已知條件，周長(zhǎng)=，先求出r，再根據(jù)圓的面積公式，求出S=πr2=×202=1256cm2?！尽驹O(shè)計(jì)意圖：此題給學(xué)生展示了一種特殊情況，即當(dāng)無(wú)法直接測(cè)量圓的半徑或直徑時(shí)，可先測(cè)量圓的周長(zhǎng)，通過(guò)“用周長(zhǎng)——求直徑——再求半徑——得出面積”，為學(xué)生解決實(shí)際生活中的類(lèi)似問(wèn)題提供了方法?！?、有一根繩子長(zhǎng)，小紅、小東和小林分別想用這根繩子在操場(chǎng)上圍出一塊地。怎樣圍面積最大？學(xué)情預(yù)設(shè)：學(xué)情預(yù)設(shè)：若用的繩子圍成正方形，則正方形的面積為2；若圍成圓形，則圓的面積為㎡，因此，周長(zhǎng)相同的情況下圓的面積最大。追問(wèn)：為什么草原上蒙古包的底面是圓形的？【【設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)原理解釋生活現(xiàn)象的意識(shí)和能力?！课?、總結(jié)評(píng)價(jià)，拓展延伸1、這節(jié)課你學(xué)會(huì)了什么？2、在計(jì)算圓的面積時(shí)，必須先知道什么？3、在推導(dǎo)圓的面積時(shí)，除了可以轉(zhuǎn)化為平行四邊形，還可以轉(zhuǎn)化為三角形和梯形，有興趣的同學(xué)課后可以試試?！尽驹O(shè)計(jì)意圖：通過(guò)獨(dú)立思考，放手讓學(xué)生自主獲取并總結(jié)全課，理清思路。課終教師再次提出新問(wèn)題，激活學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，將化曲為圓的研究方法延伸到課后的進(jìn)一步探究學(xué)習(xí)中?！俊景鍟?shū)設(shè)計(jì)】【設(shè)計(jì)反思】本課教學(xué)緊緊圍繞“使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想”這一重要課程目標(biāo)，整體把握落實(shí)“化曲為直，感悟極限，歸納抽象”的核心目標(biāo)來(lái)開(kāi)展教學(xué)。具有以下幾方面的突出特點(diǎn)：確立核心思想，統(tǒng)領(lǐng)多種方法，逐步感悟滲透。這是學(xué)生第一次親歷從有限到無(wú)限的認(rèn)識(shí)過(guò)程，因此“圓的面積”教學(xué)是滲透極限思想的良好契機(jī)。第一次是從數(shù)方格中滲透，在估計(jì)圓的面積大小中感悟到度量單位越小，圓的面積越精確。第二次是從剪拼成直邊圖形中滲透，在突破難點(diǎn)時(shí)感悟“無(wú)限逼近”和“等積變換”的含義，發(fā)展空間觀念。第三次是從分割成直邊圖形中滲透，體會(huì)到圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，其面積越接近圓的面積。通過(guò)這一主線來(lái)完成對(duì)新知的建構(gòu)過(guò)程，建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)解決問(wèn)題的綜合能力?；仡櫻芯糠椒?，喚醒活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，搭建探究平臺(tái)?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出“培養(yǎng)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度思考”，即培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn)是依靠長(zhǎng)期活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累獲得的，也是解決新問(wèn)題、進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的根本?！皥A的面積”教學(xué)給予對(duì)面積概念及已有直邊圖形的面積計(jì)算公式的學(xué)習(xí)，那么，如何借力這些原有知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)作為遷移基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)一個(gè)真實(shí)有效、生活活潑、主動(dòng)和富有個(gè)性的學(xué)習(xí)過(guò)程呢？教師在教學(xué)中組織學(xué)生回顧以往探究平面圖形的面積的研究方法，進(jìn)一步揭示面積的本質(zhì)特征和知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。以喚醒學(xué)生已有思考方法和活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生自主探究圓的面積營(yíng)造了自由的空間。借助輔助手段，增強(qiáng)直觀形象，助推