2023版高三數(shù)學一輪復習（3年真題分類+考情精解讀+知識全通關+題型全突破+能力大提升）第13章概率試題文

PAGEPAGE13第十三章概率考點1隨機事件及其概率1.(2022·廣東，7)5件產品中有2件次品，其余為合格品.現(xiàn)從這5件產品中任取2件，恰有一件次品的概率為()B.0.6C.0.8D.11.解析5件產品中有2件次品，記為a，b，有3件合格品，記為c，d，e，從這5件產品中任取2件，結果有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)共10種.恰有一件次品的結果有6種，那么其概率為p＝eq\f(6,10)＝0.6.答案B(2022·江蘇，5)袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，那么這2只球顏色不同的概率為________.2.解析這兩只球顏色相同的概率為eq\f(1,6)，故兩只球顏色不同的概率為1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).答案eq\f(5,6)3.(2022·湖南，16)某商場舉行有獎促銷活動，顧客購置一定金額的商品后即可抽獎.抽獎方法是：從裝有2個紅球A1，A2和1個白球B的甲箱與裝有2個紅球a1，a2和2個白球b1、b2的乙箱中，各隨機摸出1個球，假設摸出的2個球都是紅球那么中獎，否那么不中獎.(1)用球的標號列出所有可能的摸出結果；(2)有人認為：兩個箱子中的紅球比白球多，所以中獎的概率大于不中獎的概率，你認為正確嗎？請說明理由.3.解(1)所有可能結果為：(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a1)，(A2，a2)，(A3，b1)，(A3，b2)；(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)共計12種結果.(2)設“中獎〞為事件A，那么P(A)＝eq\f(4,12)＝eq\f(1,3)，P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，P(A)＜P(A)，故此種說法不正確.4.(2022·陜西，19)隨機抽取一個年份，對西安市該年4月份的天氣情況進行統(tǒng)計，結果如下：日期123456789101112131415天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴陰晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天氣晴陰雨陰陰晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計西安市在該天不下雨的概率；(2)西安市某學校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)2天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率.4.解(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，以頻率估計概率，4月份任選一天，西安市不下雨的概率為P＝eq\f(26,30)＝eq\f(13,15).(2)稱相鄰的兩個日期為“互鄰日期對〞(如，1日與2日，2日與3日等)，這樣，在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率為eq\f(7,8)，以頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率為eq\f(7,8).5.(2022·北京，17)某超市隨機選取1000位顧客，記錄了他們購置甲、乙、丙、丁四種商品的情況，整理成如下統(tǒng)計表，其中“√〞表示購置，“×〞表示未購置.商品顧客人數(shù)甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√××(1)估計顧客同時購置乙和丙的概率；(2)估計顧客在甲、乙、丙、丁中同時購置3種商品的概率；(3)如果顧客購置了甲，那么該顧客同時購置乙、丙、丁中哪種商品的可能性最大？5.解(1)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中有200位顧客同時購置了乙和丙，所以顧客同時購置乙和丙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2.(2)從統(tǒng)計表可以看出，在這1000位顧客中，有100位顧客同時購置了甲、丙、丁，另有200位顧客同時購置了甲、乙、丙，其他顧客最多購置了2種商品.所以顧客在甲、乙、丙、丁中同時購置3種商品的概率可以估計為eq\f(100＋200,1000)＝0.3.(3)與(1)同理，可得：顧客同時購置甲和乙的概率可以估計為eq\f(200,1000)＝0.2，顧客同時購置甲和丙的概率可以估計為eq\f(100＋200＋300,1000)＝0.6，顧客同時購置甲和丁的概率可以估計為eq\f(100,1000)＝0.1.所以，如果顧客購置了甲，那么該顧客同時購置丙的可能性最大.6.(2022·四川，17)一輛小客車有5個座位，其座位號為1,2,3,4,5，乘客P1，P2，P3，P4，P5的座位號分別為1,2,3,4,5，他們按照座位號從小到大的順序先后上車，乘客P1因身體原因沒有坐自己的1號座位，這時司機要求余下的乘客按以下規(guī)那么就坐：如果自己的座位空著，就只能坐自己的座位.如果自己的座位已有乘客就坐，就在這5個座位的剩余空位中選擇座位.(1)假設乘客P1坐到了3號座位，其他乘客按規(guī)那么就座，那么此時共有4種坐法.下表給出了其中兩種坐法，請?zhí)钊胗嘞聝煞N坐法(將乘客就坐的座位號填入表中空格處)乘客P1P2P3P4P5座位號3214532451(2)假設乘客P1坐在了2號座位，其他的乘客按規(guī)那么就坐，求乘客P5坐到5號座位的概率.6.解(1)余下兩種坐法如下表所示：乘客P1P2P3P4P5座位號3241532541(2)假設乘客P1坐到了2號座位，其他乘客按規(guī)那么就坐，那么所有可能的坐法可用下表表示為：乘客P1P2P3P4P5座位號2134523145234152345123541243152435125341于是，所有可能的坐法共8種，設“乘客P5坐到5號座位〞為事件A，那么事件A中的根本領件的個數(shù)為4，所以P(A)＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2).7.(2022·陜西，19)某保險公司利用簡單隨機抽樣方法，對投保車輛進行抽樣，樣本車輛中每輛車的賠付結果統(tǒng)計如下：賠付金額(元)01000200030004000車輛數(shù)(輛)500130100150120(1)假設每輛車的投保金額均為2800元，估計賠付金額大于投保金額的概率；(2)在樣本車輛中，車主是新司機的占10%，在賠付金額為4000元的樣本車輛中，車主是新司機的占20%，估計在已投保車輛中，新司機獲賠金額為4000元的概率.7.解(1)設A表示事件“賠付金額為3000元〞，B表示事件“賠付金額為4000元〞，以頻率估計概率得P(A)＝eq\f(150,1000)＝0.15，P(B)＝eq\f(120,1000)＝0.12.由于投保金額為2800元，賠付金額大于投保金額對應的情形是3000元和4000元，所以其概率為P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.(2)設C表示事件“投保車輛中新司機獲賠4000元〞，由，樣本車輛中車主為新司機的有0.1×1000＝100(輛)，而賠付金額為4000元的車輛中，車主為新司機的有0.2×120＝24(輛)，所以樣本車輛中新司機車主獲賠金額為4000元的頻率為eq\f(24,100)＝0.24，由頻率估計概率得P(C)＝0.24.考點2古典概型與幾何概型1.(2022·新課標全國Ⅰ,3)為美化環(huán)境,從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個花壇中,余下的2種花種在另一個花壇中,那么紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)1.解析將4種顏色的花種任選兩種種在一個花壇中,余下2種種在另一個花壇,有((紅黃)、(白紫)),((白紫)、(紅黃)),((紅白)、(黃紫)),((黃紫)、(紅白)),((紅紫)、(黃白)),((黃白)、(紅紫))共6種種法,其中紅色和紫色不在一個花壇的種數(shù)有((紅黃)、(白紫)),((白紫)、(紅黃)),((紅白)、(黃紫)),((黃紫),(紅白)),共4種,故所求概率為P＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3),選C.答案C2.(2022·新課標全國Ⅲ,5)小敏翻開計算機時,忘記了開機密碼的前兩位,只記得第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,那么小敏輸入一次密碼能夠成功開機的概率是()A.eq\f(8,15)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,15)D.eq\f(1,30)2.解析第一位是M,I,N中的一個字母,第二位是1,2,3,4,5中的一個數(shù)字,所以總的根本領件的個數(shù)為15,密碼正確只有一種,概率為eq\f(1,15),應選C.答案C3.(2022·北京,6)從甲、乙等5名學生中隨機選出2人,那么甲被選中的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(8,25)D.eq\f(9,25)3.解析從甲,乙等5名學生中隨機選2人共有10種情況,甲被選中有4種情況,那么甲被選中的概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案B4.(2022·新課標全國Ⅰ,4)如果3個正整數(shù)可作為一個直角三角形三條邊的邊長,那么稱這3個數(shù)為一組勾股數(shù),從1,2,3,4,5中任取3個不同的數(shù),那么這3個數(shù)構成一組勾股數(shù)的概率為()A.eq\f(3,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10)D.eq\f(1,20)4.解析從1,2,3,4,5中任取3個數(shù)有10個根本領件,構成勾股數(shù)的只有3,4,5一組,故概率為eq\f(1,10).答案C5.(2022·山東,7)在區(qū)間[0,2]上隨機地取一個數(shù)x,那么事件“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1〞發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,4)5.解析由－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1,得eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2,∴0≤x≤eq\f(3,2).∴由幾何概型的概率計算公式得所求概率P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).答案A6.(2022·湖北,8)在區(qū)間[0,1]上隨機取兩個數(shù)x,y,記p1為事件“x＋y≤eq\f(1,2)〞的概率,p2為事件“xy≤eq\f(1,2)〞的概率,那么()A.p1<p2<eq\f(1,2)B.p2<eq\f(1,2)<p1C.eq\f(1,2)<p2<p1D.p1<eq\f(1,2)<p26.解析在直角坐標系中,依次作出不等式eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1，))x＋y≤eq\f(1,2),xy≤eq\f(1,2)的可行域如下圖：依題意,p1＝eq\f(S△ABO,S四邊形OCDE),p2＝eq\f(S曲邊多邊形OEGFC,S四邊形OCDE),而eq\f(1,2)＝eq\f(S△OEC,S四邊形OCDE),所以p1<eq\f(1,2)<p2.應選D.答案D7.(2022·福建,8)如圖,矩形ABCD中,點A在x軸上,點B的坐標為(1,0),且點C與點D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x＜0))的圖象上.假設在矩形ABCD內隨機取一點,那么此點取自陰影局部的概率等于()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8)D.eq\f(1,2)7.解析由圖形知C(1,2),D(－2,2),∴S四邊形ABCD＝6,S陰＝eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2).∴P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).答案B8.(2022·遼寧,6)假設將一個質點隨機投入如下圖的長方形ABCD中,其中AB＝2,BC＝1,那么質點落在以AB為直徑的半圓內的概率是()eq\f(π,2)B.eq\f(π,4)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,8)8.解析由幾何概型的概率公式可知,質點落在以AB為直徑的半圓內的概率P＝eq\f(半圓的面積,長方形的面積)＝eq\f(\f(1,2)π,2)＝eq\f(π,4),應選B.答案B9.(2022·陜西,6)從正方形四個頂點及其中心這5個點中,任取2個點,那么這2個點的距離小于該正方形邊長的概率為()A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)9.解析5個點中任取2個點共有10種方法,假設2個點之間的距離小于邊長,那么這2個點中必須有1個為中心點,有4種方法,于是所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案B10.(2022·湖北,5)隨機擲兩枚質地均勻的骰子,它們向上的點數(shù)之和不超過5的概率記為p1,點數(shù)之和大于5的概率記為p2,點數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3,那么()A.p1＜p2＜p3B.p2＜p1＜p3C.p1＜p3＜p2D.p3＜p1＜p210.解析總的根本領件個數(shù)為36,向上的點數(shù)之和不超過5的有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),共10個,那么向上的點數(shù)之和不超過5的概率p1＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18)；向上的點數(shù)之和大于5的概率p2＝1－eq\f(5,18)＝eq\f(13,18)；向上的點數(shù)之和為偶數(shù)與向上的點數(shù)之和為奇數(shù)的個數(shù)相等,故向上的點數(shù)之和為偶數(shù)的概率p3＝eq\f(1,2).即p1<p3<p2,選C.答案C(2022·重慶,15)在區(qū)間[0,5]上隨機地選擇一個數(shù)p,那么方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根的概率為________.11.解析方程x2＋2px＋3p－2＝0有兩個負根,那么有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,x1＋x2＜0，,x1·x2＞0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4p2－4〔3p－2〕≥0，,－2p＜0，,3p－2＞0，))解得p≥2或eq\f(2,3)＜p≤1,又p∈[0,5],那么所求概率為p＝eq\f(3＋\f(1,3),5)＝eq\f(\f(10,3),5)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)12.(2022·福建,13)如圖,在邊長為1的正方形中隨機撒1000粒豆子,有180粒落到陰影局部,據(jù)此估計陰影局部的面積為________.12.解析依題意,得eq\f(S陰影,S正方形)＝eq\f(180,1000),所以eq\f(S陰影,1×1)＝eq\f(180,1000),解得S陰影＝0.18.答案0.18(2022·重慶,15)某校早上8：00開始上課,假設該校學生小張與小王在早上7：30～7：50之間到校,且每人在該時間段的任何時刻到校是等可能的,那么小張比小王至少早5分鐘到校的概率為________(用數(shù)字作答).13.解析設小張與小王的到校時間分別為7：00后第x分鐘,第y分鐘,根據(jù)題意可畫出圖形,如下圖,那么總事件所占的面積為(50－30)2＝400.小張比小王至少早5分鐘到校表示的事件A＝{(x,y)|y－x≥5,30≤x≤50,30≤y≤50},如圖中陰影局部所示,陰影局部所占的面積為eq\f(1,2)×15×15＝eq\f(225,2),所以小張比小王至少早5分鐘到校的概率為P(A)＝eq\f(\f(225,2),400)＝eq\f(9,32).答案eq\f(9,32)(2022·浙江,14)在3張獎券中有一、二等獎各1張,另1張無獎.甲、乙兩人各抽取1張,兩人都中獎的概率是______.14.解析設3張獎券中一等獎、二等獎和無獎分別為a,b,c,甲、乙兩人各抽取1張的所有情況有ab,ac,ba,bc,ca,cb,共6種,其中兩人都中獎的情況有ab,ba,共2種,所以所求概率為eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)(2022·廣東,12)從字母a,b,c,d,e中任取兩個不同字母,那么取到字母a的概率為________.15.解析從a,b,c,d,e中任取兩個不同字母的所有根本領件為：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共10個,其中取到字母a的有4個,故所求概率為eq\f(4,10)＝0.4.答案0.4(2022·新課標全國Ⅰ,13)將2本不同的數(shù)學書和1本語文書在書架上隨機排成一行,那么2本數(shù)學書相鄰的概率為________.16.[設兩本數(shù)學書為A1,A2,一本語文為B.那么根本領件有(A1A2B),(A1BA2),(A2A1B),(A2BA1),(BA1A2),(BA2A1)共6種.其中2本數(shù)學書相鄰的有(A1A2B),(A2A1B),(BA1A2),(BA2A1)共4種.∴概率為eq\f(4,6)＝eq\f(2,3).答案eq\f(2,3)(2022·新課標全國Ⅱ,13)甲、乙兩名運發(fā)動各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種,那么他們選擇相同顏色運動服的概率為________.17.解析甲、乙兩名運發(fā)動各自等可能地從紅、白、藍3種顏色的運動服中選擇1種的所有可能情況為(紅,白),(白,紅),(紅,藍),(藍,紅),(白,藍),(藍,白),(紅,紅),(白,白),(藍,藍),共9種,他們選擇相同顏色運動服的所有可能情況為(紅,紅),(白,白),(藍,藍),共3種.故所求概率為P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).答案eq\f(1,3)18.(2022·山東,16)某兒童樂園在“六一〞兒童節(jié)推出了一項趣味活動.參加活動的兒童需轉動如下圖的轉盤兩次,每次轉動后,待轉盤停止轉動時,記錄指針所指區(qū)域中的數(shù).設兩次記錄的數(shù)分別為x,y.獎勵規(guī)那么如下：①假設xy≤3,那么獎勵玩具一個；②假設xy≥8那么獎勵水杯一個；③其余情況獎勵飲料一瓶.假設轉盤質地均勻,四個區(qū)域劃分均勻,小亮準備參加此項活動.(1)求小亮獲得玩具的概率；(2)請比擬小亮獲得水杯與獲得飲料的概率的大小,并說明理由.18.解(1)用數(shù)對(x,y)表示兒童參加活動先后記錄的數(shù),那么根本領件空間Ω與點集S={(x,y)|x∈N,y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一對應.因為S中元素的個數(shù)是4×4＝16.所以根本領件總數(shù)n＝16.記“xy≤3〞為事件A,那么事件A包含的根本領件數(shù)共5個,即(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(3,1),所以P(A)＝eq\f(5,16),即小亮獲得玩具的概率為eq\f(5,16).(2)記“xy≥8〞為事件B,“3＜xy＜8〞為事件C.那么事件B包含的根本領件數(shù)共6個.即(2,4),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(4,4).所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的根本領件數(shù)共5個,即(1,4),(2,2),(2,3),(3,2),(4,1).所以P(C)＝eq\f(5,16).因為eq\f(3,8)＞eq\f(5,16),所以小亮獲得的水杯的概率大于獲得飲料的概率.19.(2022·天津,15)設甲、乙、丙三個乒乓球協(xié)會的運發(fā)動人數(shù)分別為27,9,18,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這三個協(xié)會中抽取6名運發(fā)動組隊參加比賽.(1)求應從這三個協(xié)會中分別抽取的運發(fā)動的人數(shù)；(2)將抽取的6名運發(fā)動進行編號,編號分別為A1,A2,A3,A4,A5,A6,現(xiàn)從這6名運發(fā)動中隨機抽取2人參加雙打比賽.①用所給編號列出所有可能的結果；②設A為事件“編號為A5和A6的兩名運發(fā)動中至少有1人被抽到〞,求事件A發(fā)生的概率.19.解(1)應從甲、乙、丙三個協(xié)會中抽取的運發(fā)動人數(shù)分別為3,1,2.(2)①從6名運發(fā)動中隨機抽取2人參加雙打比賽的所有可能結果為{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3},{A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共15種.②編號為A5和A6的兩名運發(fā)動中至少有1人被抽到的所有可能結果為{A1,A5},{A1,A6},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5,A6},共9種.因此,事件A發(fā)生的概率P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5).20.(2022·山東,16)某中學調查了某班全部45名同學參加書法社團和演講社團的情況,數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參加書法社團未參加書法社團參加演講社團85未參加演講社團230(1)從該班隨機選1名同學,求該同學至少參加上述一個社團的概率；(2)在既參加書法社團又參加演講社團的8名同學中,有5名男同學A1,A2,A3,A4,A5,3名女同學B1,B2,B3.現(xiàn)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人,求A1被選中且B1未被選中的概率.20.解(1)由調查數(shù)據(jù)可知,既未參加書法社團又未參加演講社團的有30人,故至少參加上述一個社團的共有45－30＝15人,所以從該班隨機選1名同學,該同學至少參加上述一個社團的概率為P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)從這5名男同學和3名女同學中各隨機選1人,其一切可能的結果組成的根本領件有：{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{A4,B1},{A4,B2},{A4,B3},{A5,B1},{A5,B2},{A5,B3},共15個.根據(jù)題意,這些根本領件的出現(xiàn)是等可能的,事件“A1被選中且B1未被選中〞所包含的根本領件有：{A1,B2},{A1,B3},共2個.因此,A1被選中且B1未被選中的概率為P＝eq\f(2,15).21.(202