第三講三角函數(shù)與解斜三角題型分類解析

20,200,220,200,2三角函題型分類詳三角函數(shù)是每年高考的必考點(diǎn)要輕松拿下這模塊的滿分,其實(shí)有技巧可尋大致分為以下幾個(gè)類型題.一:對(duì)于

y2xcos或ycosxcos

都以用元化為元次數(shù)型處,需注新量取范圍例求數(shù)

f(x)2cox2six

x]6

的值域解令

,

1t2

y

2

1)t2t22當(dāng)

t

1函數(shù)有最大值t2

時(shí)函數(shù)有最小值

二利用二倍角公式降冪擴(kuò)角公式,輔助角公式。進(jìn)行三角函數(shù)化簡(jiǎn)化成yAsin(或A

的式再值周、值oix二角式

sin2cosx

xin降擴(kuò)公:

2

2例2:已知函數(shù)

f()2sincos2cos2xx)（Ⅰ）求函數(shù)

f(

的最小正周期及在區(qū)間

上的最大值和最小值；（Ⅱ）若

f()0

6,x52

，求

x

的值。（）：由

f()cosx2

，得f(x)xcos)x3sin22sin(2x)6所以函數(shù)

f(

的最小正周期為,

x[0,

2

x

7,]6sin(2x

),1]6

,所以函數(shù)

f(x

在區(qū)間

上的最大值為2，最小值為-11

0,4000000,400000（Ⅱ解1可知

f()2sinx00

6

又因?yàn)?/p>

fx)

65

所

32x6由

0

，得

2x6

從而

2

6

4x65這類題要有整體代換的意,

0

)看整體角2]663cosxcossin26三利

xcosxsinxcosx“cos一二關(guān).例6.求數(shù)

yxxsinxx

的最大值和最小值。解：設(shè)

txcosx

2sin(

4

)

，

t

2

cosx

sin則

2，xx

12

2

。由于

121(22

，故當(dāng)t=1時(shí)

y

；t2時(shí)y

min

2

12

。［點(diǎn)評(píng)］

sin

cos

這三者之間有著相互制約，不可分割的密切聯(lián)系。

sin

cos

是紐帶，三者之間知其一，可求其二。令

tsinxcosx

換元后注意到的值范圍，依題意可靈活使用配方法、重要不等式、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值應(yīng)注意的是求三角數(shù)的最值方法有多種像配方法、不等式法等里不再贅述，有興趣的同學(xué)不妨自己探討一下。四利正余定解三形.例的內(nèi)角A，，的邊分別為sinBC(1)求

a,c

已的積為

3sin(2)若

cos

，求的周長(zhǎng).解選合理面積公.聯(lián)想所求為

sinBsin

可與

b

有關(guān)，大膽用

S

bcA2

則

A化abc2A3sinA2

，想到邊化為角。由正弦定理得

2

3Asinsin2

2

，因，所以sinBC

23(2)由1)得

2sinBsinBCB3

，所以

B)sinBsinC

又∈(0，)，所以

3由余弦定理得

由正弦定理得

a3bBBsinB：sinA2所以

bBsin

23

由①②得：

b

33

，即ABC周為

【類題通法】利用正弦定理、余弦定理解三角形的步驟第一步：找條件：尋找已知的邊和角，確定轉(zhuǎn)化方.第二步：定工具：根據(jù)轉(zhuǎn)化方向，選擇使用的定理和公式，利用正弦定理或者余弦把邊化為角或把角化為邊實(shí)邊角之的轉(zhuǎn).第三步：求結(jié)果：根據(jù)前兩步分析，代入求值得出結(jié).第四步：再反思：轉(zhuǎn)化過(guò)程中要注意轉(zhuǎn)化的方向，審視結(jié)果的合理.五解三形面和長(zhǎng)值求在正余弦定理的運(yùn)用中有類目值得關(guān)注類題有一個(gè)相同的特點(diǎn)即道三角形的一條邊和邊所對(duì)的角，求三角形面積（或周長(zhǎng)）的最值（或范圍題中還是有技巧可套用。求三角形面積（或周長(zhǎng)）的最值（或范圍可有兩種思路去解決：（1用弦理基本等（）正定+角數(shù)取范3

例5ABC的邊

a,,c

成等比數(shù)列,,c

所對(duì)的角依次為

AB,C

B的取值范圍是解：由題設(shè)知2，又余弦定理

a2222ac122ac2ac2所以

0

3

，又

Bs

Bin444

122si4

sinB

值范圍是

2]

。點(diǎn)：本題將數(shù)列、基本不等式、三角函數(shù)、解三角形等知識(shí)結(jié)合起來(lái)，有利于提高學(xué)生解題的綜合能力。例6在△中角

AB,C

的對(duì)邊分別為

a,,c

且

a

成等差數(shù)列。（1求

B

的大小。（2若

b

，求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍。解）由題意知

cosAbB

，由正弦定理得

sinAC2sincosB所以

A)Bcos于是cosB

1,23（）正弦定理

abc10BC

，所以a

101010210Csin(Asin10sin(A)3333，由

0

25,所A,sin()36626a10sin()6

。點(diǎn)對(duì)三角函數(shù)式的處理常常借于同角三角函數(shù)間關(guān)系導(dǎo)公式以及恒等變換式等實(shí)施變形，達(dá)到化簡(jiǎn)、求值域的目的。例7：在△ABC中

a

22

23

ab

3，若△的外接圓半徑為，eq\o\ac(△,則)ABC面積2的最大值為解：又

a222

23

ab

及余弦定理得

C

a212

，所以

223

，又由于

RsinC

，所以

c222ab

即

16

23

aba24

2ππ2ππ所以

12

，又由于

12absinab22

，故當(dāng)且僅當(dāng)

a

時(shí)ABC42的面積取最大值點(diǎn)先利用余弦定理求

A

的大小，再利用面積公式結(jié)合基本不等式，求面積的最大值，要注意正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用?！驹囀枝校阎?，b，c別是內(nèi)角A，B，所的邊，且＝2＝.(1)若△的面積等于3，求，b；(2)若＋sin(－)＝2，的值．△內(nèi)角，，的邊分別為，b，c，已知c－acos.(1)求角的大??；(2)若＝23求＋最大值．【小試身手解析】解：(1)∵c＝2cosA，根據(jù)正弦定理，得2sin－sin＝2sinBcos，∵＋＝π－，可得sin＝＋＝sinBcos＋cosBsin，∴代入上式，得2sincosA＝2sinB＋2cossinA－sinA，化簡(jiǎn)得2cos－1)sinA＝0由是角形的內(nèi)角可得sinA＞，2cos－＝，1π解得cosB，∵∈(0π)B＝；23(2)

2ac22acBa2.(a)ac12ac≤

2×(c23ac(c)2(c)12

(c2(a2