第12講 正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用

222222222222222222222222222222222編制：審：基本信息課時(shí)安排

學(xué)員姓名課題名稱

正余弦定理

學(xué)科課時(shí)計(jì)劃

數(shù)第)課時(shí)

年級(jí)班級(jí)上課時(shí)間

高一年月日共)課時(shí)

時(shí)間：教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)個(gè)性化問(wèn)題

正弦定理和余弦定理表達(dá)式及其變形式兩個(gè)定理的靈活運(yùn)用解題教學(xué)過(guò)程正弦定理和余弦定理及其應(yīng)用第6[習(xí)目標(biāo)]掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題．知識(shí)梳理1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，，C所對(duì)的邊分別是a，b，，則正弦定理

余弦定理內(nèi)容

ac＝＝＝sinAsinsinC

a

＝b＋c－bccosAb＝a＋c－cosB為△外接圓半徑

c＝a＋b－cosa2sin，b2sin，c＝2Rsin；

cosA＝

b＋c－a2bc

；常見(jiàn)變形

ab(2)sin＝，sin＝，；

cosB＝

a＋c－b2ac

；ab∶c＝sin∶sin∶sinC

cosC＝

a

2

＋b－c2ab解決的問(wèn)題

已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊和其他兩角

(1)已知三邊，求三個(gè)角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角2.在△ABC中，已知a，b和時(shí)，解的情況(注意：解三角方程時(shí)直接就能判定)為銳角/6

為鈍角或直角

22222π2391622222π23916圖形關(guān)系式解的個(gè)數(shù)

a＝b一解

bA＜＜b兩解

a≥b一解

a＞b一解4.三角形中常用的面積公式1＝(h表示邊a上的高)．11＝＝ab＝sinB.1＝r(ab＋c)(r為△內(nèi)切圓半徑)．5.解三角形類實(shí)際問(wèn)題中常見(jiàn)的角仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角(如圖1)．方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角．如B的方位角為圖2)．方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等注意“方位角”與方向角”的區(qū)別位角大小的范圍是0,2π)向角大小的范圍一般是坡度：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)．辨析感悟1．三角形中關(guān)系的判斷在△中，＞B的充分不必要條件是A.(×)(2)(教材練習(xí)改編)在△ABC中，a＝，＝2＝，則A＝或2．解三角形

√)1在△中，a＝3，b5，sin＝，則＝.

√)9(4)(教材習(xí)題改編)在△ABC中，a＝5，＝4，cosA＝，則＝6./6

√)

2234D.2π22222b2＝2234D.2π22222b2＝.答案(1)A(2)22在△中，若＜cosA，則此三角形是鈍角三角形．

√)在△中，若b＋c＞a，則此三角形是銳角三角形．[悟·提升]

×)1一條規(guī)律

在三角形中，大角對(duì)大邊，大邊對(duì)大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A＞?a＞b?＞sinB，如1)．2．判斷三角形形狀的兩種途徑轉(zhuǎn)換.

一是化邊為角；二是化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角考點(diǎn)一

利用正弦、余弦定理解三角形【例1】湖南卷)在銳角△中，角A所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，b.若2a＝，則角等于

()．π

B.

π

C.

π6

π12(2)(2014·杭州模擬)在中，角，B，對(duì)的邊分別為，b，若a＝1，＝4，B＝45°，則sinC＝解析

在△ABC，由正弦定理及已知得·sin＝，3∵為△的內(nèi)角，∴sin≠0.sin＝.∵△ABC銳角三角形，∴∈.32由余弦定理，得＝a＋－2cosB1－2×＝，即b5.c·sin所以C＝

242×455規(guī)律方法已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；★★★和一邊的對(duì)角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對(duì)大角定理進(jìn)行判斷．★★★【訓(xùn)練1】(1)在△ABC中，a＝23，c＝22，＝60°，則＝()．A．B．45°或135°D．60°△中角B的對(duì)邊分別是a－b＝bcC＝2B＝()．A．B．120°D．/6

22222bc2222222－22222bc2222222－ab22222abab2222222222

判斷三角形的形狀【例2】臨沂一模在△ABC中ab分別為內(nèi)角A，C對(duì)邊，且2a＝b－c＋c－b.求角A的大?。?/p>

(2)若＋＝3試判斷△ABC的形狀．解

由2＝(2b－c)sinB＋(2－bC，得2a

2

＝(2b－cb＋(2c－b)c，即bc＝b

2

＋c

－

2

，b＋c－a1∴cosA＝＝，∴＝∵★★★★★＋＋＝180°，∴＋C＝－＝由sinB＋sinC＝，得sinB＋－B)＝3，∴Bsin120°cos－cos120°sinB＝3.3∴sinBcosB＝3，即sin(B＋＝1.

∵0°<B，∴B＋∴＋＝90°，B＝60°.∴＝B＝＝60°，△為等邊三角形．規(guī)律方法解決判斷三角形的形狀問(wèn)題一般將條件化為只含三角函數(shù)的關(guān)系式然后利用三角恒等變換得出內(nèi)角之間的關(guān)系式；或?qū)l件化為只含有邊的關(guān)系式，然后利用常見(jiàn)的化簡(jiǎn)變形得出三邊的關(guān)系．另外，在變形過(guò)程中要注意，B，范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響．【訓(xùn)練】山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)在△ABC中，內(nèi)角A，C的對(duì)邊分別為，，c，且2＝＋2＋ab，則△是

()．A．鈍角角形

B．直角三角形

C．銳角三角形

D．等邊三角形在△中，若(a＋)sin(－B)＝(a－，則△的形狀是

()．A．銳角角形

B．直角三角形

C．等腰三角形

D．等腰或直角三角形解析

11a＋b－c1由2c＝2a＋2b＋ab得a＋b－＝－ab所以cos＝＝＝－＜，所以90°＜180°即△ABC為鈍角三角形．由已知(＋－B)(a－，b[sin(A)＋C]a[sinCsin(－B)]即bsinA＝aAsinB即sinBsinA＝sinAcosAsin，所以2＝sin2A由于，B三角形的內(nèi)角，故02＜2，02＜2π★★★★＝2B2Aπ－2B即AB＋B.故△ABC為等腰三角形或直角三角形．答案

(1)A(2)D考點(diǎn)三

解三角形實(shí)際應(yīng)用【例題】如圖所示位于A處的信息中心獲悉在其正東方向相距40里的處有一艘漁船遇險(xiǎn)，/6

2277142226在原地等待營(yíng)救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距海里的處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向即沿直線前往B救援，則θ等2277142226

217

B.

2114

C.

32114

D.

2128解析

如圖所示，在△ABC中，＝40海里，AC20海里，∠BAC，由余弦定理，得BC

2＝＋AC－·cos＝2800故BC20海里)．由正弦定理，得sinACB·sin＝2由∠BAC＝120°知∠ACB為銳角，故cos＝.21故cosθ＝cos(ACB30°)cos∠－sin∠ACB30°答案

B基礎(chǔ)鞏固題組建議用時(shí)：分鐘)一、選擇題1．紹興模擬)在△ABC中，若－＋b＝3ab則()A．BC．D．120°32．合肥模擬)在△ABC中，＝60°，AB＝2，且△ABC的面積為，則的長(zhǎng)為()．

32

B.3．23D．ππ3eq\o\ac(△,．)ABC的內(nèi)角AC的對(duì)邊別為ac知b＝2＝C＝則△ABC的面積為()．A．232B.C．23D.3－14．△的內(nèi)角，B，所對(duì)的邊分別為a，b，.B＝2A，a＝1，b＝，則＝()．/6

2242A．23B．2C.222425．陜西卷)設(shè)△的內(nèi)角，B，所對(duì)的邊分別為，，，若bcosC＋B＝，則△ABC的形狀為()．A．直角角形

B．銳角三角形

C．鈍角三角形

D．不確定二、填空題6．在△ABC中，角，B所對(duì)的邊分別為，，，若a＝b＝2，＋cosB＝，則角的大小為_(kāi)______．7．惠州模擬)在△ABC中，角，B，對(duì)邊分別為a，b，.(a＋c－b)tanB＝ac，則角的值為_(kāi)_______．18煙臺(tái)一模)設(shè)△ABC內(nèi)角，