第一講 等腰三角形2

第一講

等腰三角知點(diǎn)一認(rèn)三形、三角形的概念由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。組成三角形的線段叫做三角形的邊鄰邊公共端點(diǎn)叫做三角形的頂點(diǎn)鄰邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角。、三角形中的主要線段（1）三角形的一個(gè)角的分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角分。（2）在三角形中，連接個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形中。（3）從三角形一個(gè)頂點(diǎn)它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形高線、三角形的穩(wěn)定性三角形的形狀是固定的，三角形的這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性。需要穩(wěn)定的東西一般都制成三角形的形狀。、三角形的分類(lèi)三角形按邊的關(guān)系分類(lèi)如下：不等邊三角形三角形

底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等邊三角形三角形按角的關(guān)系分類(lèi)如下：直角三角形（有一個(gè)角為直角的三角形）三角形銳三形（三個(gè)角都是銳角的三角形）斜三角形鈍角三角形（有一個(gè)角為鈍角的三角形）把邊和角聯(lián)系在一起，有一種特殊的三角形：等腰直角三角形。它是兩條直角邊相等的直角三角形。、三角形的三邊關(guān)系定理及推論（1三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊。推論：三角形的兩邊之差小于第三邊。（2三角形三邊關(guān)系定理及推論的作用：①判斷三條已知線段能否組成三角形②當(dāng)已知兩邊時(shí)，可確定第三邊的范圍。③證明線段不等關(guān)系。、三角形的內(nèi)角和定理及推論三形內(nèi)和理三角形三個(gè)內(nèi)角和等180。推論：①直角三角形的兩個(gè)銳角互余。②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的來(lái)兩個(gè)內(nèi)角的和。③三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。注在同一個(gè)三角形中：等角對(duì)等；等邊對(duì)等角；大角對(duì)大邊；大邊對(duì)大角。、三角形的面積：三角形的面=二等三形關(guān)識(shí)、腰角的質(zhì)

×底×高

（1等腰三角形的性質(zhì)定理及推論：定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角）推論腰角形頂角平線平分底邊并且垂直于底邊腰角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高重合。推論：等邊三角形的各個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于°。（2等腰三角形的其他性質(zhì)：①等腰直角三角形的兩個(gè)底角相等且等于45②等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角角可為鈍角（或直角③等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長(zhǎng)為a，底邊長(zhǎng)為b則

<a④等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為頂角為A，底角為∠∠，則∠°—∠B∠∠C=

180、腰角的定等腰三角形的判定定理及推論：定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱(chēng)：等角對(duì)等邊個(gè)定定理常用于證同一個(gè)三角形中的邊相等。推論：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形推論：有一個(gè)角是°的等腰三角形是等邊三角形。推論：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊一半。等腰三角形的性質(zhì)與判定中線

等腰三角形性質(zhì)等腰三角形底邊上的中線垂直底邊，平分頂角；等三角形兩腰的中線相等并且它們的交點(diǎn)與底邊兩端點(diǎn)距離相等。

等腰三角形判定邊中線相等的三角形是等腰三角形；果個(gè)三角形的一邊中線垂直這條邊（平分這個(gè)邊的對(duì)角那么這個(gè)三角形是等腰三角形角平

腰三角形頂角平分線垂直平分底1果角形的頂角平分線垂直于分線

邊；等三角形兩底平分線相等并且它們的交點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)的距離相等。

這個(gè)角的對(duì)邊（平分對(duì)邊么這個(gè)三角形是等腰三角形；、三角形中兩個(gè)角的平分線相等，那么這個(gè)三角形是等腰三角形。高線

、等腰三角形底邊上的高平分頂角、果個(gè)三角形一上的高平分平分底邊；

這條邊（平分這條邊的對(duì)角等三角形兩腰的高相等并且那么這個(gè)三角形是等腰三角形；它們的交點(diǎn)和底邊兩端點(diǎn)距離相兩高相等的三角形是等腰三角邊

等。等邊對(duì)等角底的一<長(zhǎng)周長(zhǎng)的一半

角形。等角對(duì)等邊兩邊相等的三角形是等腰三角形、角中中線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。

（1三角形共有三條中位線，并且它們又重新構(gòu)成一個(gè)新的三角形。（2要會(huì)區(qū)別三角形中線與中位線。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。常用結(jié)論：任一個(gè)三角形都有三條中位線，由此有：結(jié)論：三條中位線組成一個(gè)三角形，其周長(zhǎng)為原三角形周長(zhǎng)的一半。結(jié)論：三條中位線將原三角形分割成四個(gè)全等的三角形。結(jié)論：三條中位線將原三角形劃分出三個(gè)面積相等的平行四邊形。結(jié)論：三角形一條中線和與它相交的中位線互相平分。結(jié)論：三角形中任意兩條中位線的夾角與這夾角所對(duì)的三角形的頂角相等經(jīng)例講知識(shí)點(diǎn)一等腰三角形的性質(zhì)—等邊對(duì)等角例1如圖△中＝AC在ACBDBCAD∠等）A．B．40C．45．（）△中，AB＝AC，①∠＝70°，則B°，C＝°②若∠＝40°，則A＝°（知等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50個(gè)等腰三角形的頂角）Ａ．50°Ｂ．80°Ｃ50或80°Ｄ40或65°知識(shí)點(diǎn)二：等腰三角形的性質(zhì)——三線合一

A例21如圖，eq\o\ac(△,在)中，＝，＝，求＝（）△中，AB＝AC，為BC的點(diǎn)，B70°BC＝10㎝則BD＝，BAD＝°知識(shí)點(diǎn)三：等腰三角形的判定——等角對(duì)等邊例31如圖，知BD是∠ABC的角平分線，DE∥交AB于E，求證：BED是等三角形．

B

DFEAEDBC

C（）△ABC中∠＝°，∠＝80°BC10㎝則AB知識(shí)點(diǎn)四：等邊三角形的性質(zhì)與判定

㎝例4:（1如圖，為線AB上一，ACD△是等邊三角形，

AE與CD交點(diǎn)M，與CE交點(diǎn)N，AE交BD于．求證：⑴AE＝BD⑵AOB＝120°⑶CMN是邊三角形

D

M

O

（）△是等邊三角形，的中點(diǎn)，則DBC＝°（）列三角形：①有兩個(gè)角等于60°三角形②有一個(gè)角為60°的等腰三角形；③三個(gè)外角（每個(gè)頂點(diǎn)處各取一個(gè)外角均相等的三角④一腰上的中線也是這條腰上的高的等腰三角形中可以確定是等邊三角形的是。知點(diǎn)：30°的角角的質(zhì)

A例5（1如圖，有一塊形狀為等邊ABC的空DE、地塊中的兩條路，且D為AB的點(diǎn)⊥AC∥已AE＝5m能求出地eq\o\ac(△,塊)EFC的長(zhǎng)嗎？

EDB（）eq\o\ac(△,Rt)ABC中CD是斜AB的高，若A＝30°BC2㎝，則＝

㎝，AD＝

㎝等三形題習(xí)11．等邊三角形中D為AC的中，延長(zhǎng)BC到E使＝CD，若AB＝，BE＝

BA

AADD

C

B

第1題圖

CE

O

第2題圖

B

B

F

第6題圖

C2．如圖，已知OC平分∠，CDOB，若OD3㎝，則＝

㎝3．等腰三角形的一個(gè)外角為°，則這個(gè)三角形的頂角為°4．等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為9和4它的周長(zhǎng)為．5．△ABC中∠∶B∶∠＝∶∶3，＝，則BC

㎝．6eq\o\ac(△,，)中AC，∠B＝30°垂直平分AB如CF＝BF＝．

A7．如圖７，在eq\o\ac(△,Rt)中，90，=＝，E為AC的點(diǎn)，點(diǎn)F在

E底邊BC上，且BEA．16B．18C．

，則△66

的面積是（）D．76

B

圖７

F

C8．腰三角形一腰上的高與另腰的夾角為30o，長(zhǎng)為4cm，其腰上的高為

cm.9．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝ADDC,∠＝60o.(1)求證：AB⊥AC；

AD(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面

B

C第9題10.已知：如圖，平分∠BACBCAF垂為，點(diǎn)D與點(diǎn)A關(guān)點(diǎn)E對(duì)，分與線段CF，相于P，．

(1)求證：=；(2)若∠BAC=2∠MPC，請(qǐng)你判斷與∠MCD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明由．

PEDMF等三形題習(xí)21．如圖，已知是邊三角形AD∥，⊥，則ACD＝，＝㎝，則△ABC的周長(zhǎng)為

㎝A

D

BA第題圖2．等腰三角形一腰上的高與底所成的角等于（）

D第題圖

BA．頂角B．頂角的一半．頂角的兩倍．底角的一半3．如圖，在△ABC中，∠＝°∠ABC60°BD平分ABC，若AD＝，則CD＝4．若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為50，則其底角為5．方程x

x

的兩個(gè)根是等腰三角形的底和腰，則這個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（）A．B．12或15．15D．不能確定6．在等腰△ABCABAC中線將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15和12兩部分，則這個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為（）

A．7．11C．或7

A7．如圖，在等邊

△

中，

D、

分別是

、AC

的中點(diǎn)，

，則

△ABC

的D

E周長(zhǎng)是（）A．6B．9C．18．24

B

C8．圖所示，

△ABC

是等邊三角形，D

點(diǎn)是

的中點(diǎn)，延長(zhǎng)

到E

，使

ACD

，

D（）用規(guī)作圖的方法，過(guò)點(diǎn)作DMBE，足是M（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡

B

C

E（）證：EM

．

第9．已知：在△中，＝．(1)