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PAGEPAGE4課時(shí)跟蹤檢測(cè)(十二)直線的傾斜角與斜率[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1.若A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,則直線AB的傾斜角和斜率分別是()A.45°,1 B.135°,-1C.90°,不存在 D.180°,不存在解析:選C由于A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相等,所以直線與x軸垂直,傾斜角為90°,斜率不存在.故選C.2.(多選)下列說(shuō)法中,正確的是()A.直線的傾斜角為α,且tanα>0,則α為銳角B.直線的斜率為tanα,則此直線的傾斜角為αC.若直線的傾斜角為α,則sinα>0D.任意直線都有傾斜角α,且α≠90°時(shí),斜率為tanα解析:選AD對(duì)于A,因0°≤α<180°,且tanα>0,則α為銳角,A正確;對(duì)于B,雖然直線的斜率為tanα,但只有0°≤α<180°時(shí),α才是此直線的傾斜角,故B不正確;對(duì)于C,當(dāng)直線平行于x軸時(shí),α=0°,sinα=0,故C不正確,顯然D正確.3.已知a,b,c是兩兩不等的實(shí)數(shù),則經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(b,b+c)和點(diǎn)Q(a,c+a)的直線的傾斜角為()A.30° B.45°C.60° D.135°解析:選B顯然,經(jīng)過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的直線的斜率存在,由直線的斜率公式,得kPQ=eq\f((c+a)-(b+c),a-b)=1.又tan45°=1,所以直線PQ的傾斜角為45°.故選B.4.若三點(diǎn)A(2,3),B(3,2),Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),m))共線,則實(shí)數(shù)m的值為()A.2 B.eq\f(7,2)C.eq\f(9,2) D.eq\f(11,2)解析:選C根據(jù)斜率公式得kAB=-1,kAC=eq\f(6-2m,3),∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴kAB=kAC,∴eq\f(6-2m,3)=-1,∴m=eq\f(9,2).5.已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,2),且不經(jīng)過(guò)第四象限,則直線l的斜率k的取值范圍是()A.(-1,0] B.[0,1]C.[1,2] D.[0,2]解析:選D由圖,可知當(dāng)直線位于如圖陰影部分所示的區(qū)域內(nèi)時(shí),滿足題意,所以直線l的斜率滿足0≤k≤2.故選D.6.已知點(diǎn)A(2,-1),若在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)P,使直線PA的傾斜角為45°,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______.解析:設(shè)x軸上點(diǎn)P(m,0)或y軸上點(diǎn)P(0,n).由kPA=1,得eq\f(0+1,m-2)=eq\f(n+1,0-2)=1,得m=3,n=-3.故點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0)或(0,-3).答案:(3,0)或(0,-3)7.在平面直角坐標(biāo)系中,正三角形ABC的邊BC所在直線的斜率是0,則AC,AB所在直線的斜率之和為_(kāi)_______.解析:如圖,易知kAB=eq\r(3),kAC=-eq\r(3),則kAB+kAC=0.答案:08.已知直線l上的兩個(gè)點(diǎn)M(1,2),N(5,4),則直線l的一個(gè)法向量為_(kāi)_______.解析:∵直線經(jīng)過(guò)M(1,2),N(5,4),∴eq\o(MN,\s\up7(→))=(4,2),∴eq\o(MN,\s\up7(→))是直線l一個(gè)方向向量,又直線的法向量與方向向量互相垂直,∴直線l的一個(gè)法向量為(2,-4).答案:(2,-4)(答案不唯一)9.已知直線l上兩點(diǎn)A(-2,3),B(3,-2),求其斜率及直線的一個(gè)方向向量.若點(diǎn)C(a,b)在直線l上,求a,b間應(yīng)滿足的關(guān)系,并求當(dāng)a=eq\f(1,2)時(shí),b的值.解:由斜率公式得kAB=eq\f(-2-3,3+2)=-1.則直線l的一個(gè)方向向量為(1,-1).∵C在l上,∴kAC=-1,即eq\f(b-3,a+2)=-1.∴a+b-1=0.當(dāng)a=eq\f(1,2)時(shí),b=1-a=eq\f(1,2).10.已知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍;(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.解:如圖,由題意可知kPA=eq\f(4-0,-3-1)=-1,kPB=eq\f(2-0,3-1)=1,(1)要使l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞).(2)由題意可知直線l的傾斜角介于直線PB與PA的傾斜角之間,又PB的傾斜角是45°,PA的傾斜角是135°,∴α的取值范圍是45°≤α≤135°.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11.(多選)直線l過(guò)原點(diǎn)(0,0)且不過(guò)第三象限,那么l的傾斜角α可能是()A.0° B.120°C.90° D.60°解析:選ABC當(dāng)直線與x軸重合時(shí)α=0°,與y軸重合時(shí)α=90°,又直線l不經(jīng)過(guò)第三象限,∴斜率k<0,由斜率與傾斜角的關(guān)系知90°<α<180°,故B也正確.12.過(guò)P(6,eq\r(3))的直線l與x軸,y軸分別交于A,B兩點(diǎn),若eq\o(AP,\s\up7(→))=eq\o(PB,\s\up7(→)),則直線l的斜率為_(kāi)_______,直線l的一個(gè)法向量為_(kāi)_______.解析:由eq\o(AP,\s\up7(→))=eq\o(PB,\s\up7(→))知P為AB的中點(diǎn),所以A(12,0),B(0,2eq\r(3)).kAB=eq\f(2\r(3)-0,0-12)=-eq\f(\r(3),6),所以直線l的一個(gè)方向向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1,-\f(\r(3),6))).則直線l的一個(gè)法向量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6),1)).答案:-eq\f(\r(3),6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6),1))13.若三點(diǎn)A(3,1),B(-2,k),C(8,1)能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為_(kāi)_______.解析:kAB=eq\f(k-1,-2-3)=eq\f(1-k,5),kAC=eq\f(1-1,8-3)=eq\f(0,5)=0.要使A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,需三點(diǎn)不共線,即kAB≠kAC,∴eq\f(1-k,5)≠0.∴k≠1.答案:(-∞,1)∪(1,+∞)14.已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).(1)求直線AB和AC的斜率;(2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí),求直線AD的斜率的變化范圍.解:(1)由斜率公式可得直線AB的斜率kAB=eq\f(2-3,-4-3)=eq\f(1,7).直線AC的斜率kAC=eq\f(-2-3,0-3)=eq\f(5,3).故直線AB的斜率為eq\f(1,7),直線AC的斜率為eq\f(5,3).(2)如圖所示,當(dāng)D由B運(yùn)動(dòng)到C時(shí),直線AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直線AD的斜率的變化范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,7),\f(5,3))).[C級(jí)拓展探究]15.已知實(shí)數(shù)x,y滿足y=x2-2x+2(-1≤x≤1),試求eq\f(y+3,x+2)的最大值和最小值.解:如圖,可知eq\f(y+3,x+2
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