-新教材高中數(shù)學(xué)第一章預(yù)備知識1.1第2課時集合的表示學(xué)案北師大版必修第一冊

PAGEPAGE7第2課時集合的表示語言是人與人之間相互聯(lián)系的一種方式，同樣的祝福又有著不同的表示方法．例如，簡體中文中的“生日快樂”，用繁體中文為“生日快樂”，英文為“HappyBirthday”……[問題]對于一個集合，有哪些不同的表示方法呢？知識點一列舉法把集合中的元素一一列舉出來寫在花括號“{}”內(nèi)表示集合的方法，一般可將集合表示為{a，b，c，…}．eq\a\vs4\al()用列舉法表示集合時的注意點(1)元素與元素之間必須用“，”隔開；(2)集合中的元素必須是明確的；(3)集合中的元素不能重復(fù)；(4)集合中的元素可以是任何事物．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)由1，1，2，3組成的集合可用列舉法表示為{1，1，2，3}．()(2)集合{(1，2)}中的元素是1和2.()答案：(1)×(2)×2．不等式x－3<2且x∈N＋的解集用列舉法可表示為____________．答案：{1，2，3，4}知識點二描述法通過描述元素滿足的條件表示集合的方法叫作描述法．一般可將集合表示為{x及x的范圍|x滿足的條件}，即在花括號內(nèi)先寫出集合中元素的一般符號及范圍，再畫一條豎線“|”，在豎線后寫出集合中元素所具有的共同特征．eq\a\vs4\al()用描述法表示集合的注意點(1)寫清楚集合中的代表元素，如數(shù)或點等；(2)說明該集合中元素的共同特征，如滿足的方程、不等式、函數(shù)或幾何圖形等；(3)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)，用于描述內(nèi)容的語言力求簡潔、準(zhǔn)確；(4)“{}”有“所有”“全體”的含義，因此自然數(shù)集可以表示為{x|x為自然數(shù)}或N，但不能表示為{x|x為所有自然數(shù)}或{N}．1．用描述法表示函數(shù)y＝3x＋1圖象上的所有點的是()A．{x|y＝3x＋1} B．{y|y＝3x＋1}C．{(x，y)|y＝3x＋1} D．{y＝3x＋1}解析：選C該集合是點集，故可表示為{(x，y)|y＝3x＋1}，故選C.2．用描述法表示不等式4x－5＜7的解集為________．解析：用描述法可表示為{x|x＜3}．答案：{x|x＜3}知識點三集合的分類1．有限集：含有有限個元素的集合．2．無限集：含有無限個元素的集合．3．空集：不含任何元素的集合，記作eq\a\vs4\al(?)．{0}與?相同嗎？提示：不同．{0}表示一個集合，且集合中有且僅有一個元素0；而?表示空集，其不含有任何元素，故{0}與?不相同．1．下列集合中，是空集的為________．(填序號)①{0}；②{x|x>8，且x<5}；③{x∈N|x2＋1＝0}；④{x|x>4}；⑤{(x，y)|x2＝－y2，y∈R}．答案：②③2．下列集合中________是有限集，________是無限集．(填序號)①由小于8的正奇數(shù)組成的集合；②由大于5且小于20的實數(shù)組成的集合；③由小于1的自然數(shù)組成的集合．解析：①因為小于8的正奇數(shù)為1，3，5，7，所以其組成的集合是有限集．②因為大于5且小于20的實數(shù)有無數(shù)個，所以其組成的集合是無限集．③因為小于1的自然數(shù)為0，所以其組成的集合是有限集．答案：①③②知識點四區(qū)間及相關(guān)概念1．區(qū)間的概念及記法設(shè)a，b是兩個實數(shù)，且a<b，我們規(guī)定：定義名稱符號數(shù)軸表示{x|a≤x≤b}閉區(qū)間[a，b]{x|a<x<b}開區(qū)間(a，b){x|a≤x<b}半開半閉區(qū)間[a，b){x|a<x≤b}半開半閉區(qū)間(a，b]2．無窮大實數(shù)集R可以表示為(－∞，＋∞)，符號“∞”讀作“無窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無窮大”，“＋∞”讀作“正無窮大”．3．特殊區(qū)間的表示定義區(qū)間數(shù)軸表示{x|x≥a}[a，＋∞){x|x>a}(a，＋∞){x|x≤b}(－∞，b]{x|x<b}(－∞，b)eq\a\vs4\al()理解區(qū)間概念時的注意點(1)區(qū)間符號里面的兩個字母(或數(shù)字)之間用“，”隔開；(2)區(qū)間表示實數(shù)集的三個原則：連續(xù)的數(shù)集，左端點必須小于右端點，開或閉不能混淆；(3)“∞”讀作“無窮大”，是一個符號，不是數(shù)，以“－∞”或“＋∞”為區(qū)間的一端時，這一端必須用小括號．用區(qū)間表示下列數(shù)集：(1){x|x≥1}＝________；(2){x|2＜x≤3}＝________；(3){x|－1<x<2}＝________．答案：(1)[1，＋∞)(2)(2，3](3)(－1，2)用列舉法表示集合[例1](鏈接教科書第3頁例1)用列舉法表示下列集合：(1)方程x2－1＝0的解組成的集合；(2)單詞“see”中的字母組成的集合；(3)所有正整數(shù)組成的集合；(4)直線y＝x與y＝2x－1的交點組成的集合．[解](1)方程x2－1＝0的解為x＝－1或x＝1，所求集合用列舉法表示為{－1，1}．(2)單詞“see”中有兩個互不相同的字母，分別為“s”“e”，所求集合用列舉法表示為{s，e}．(3)正整數(shù)有1，2，3，…，所求集合用列舉法表示為{1，2，3，…}．(4)方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y＝2x－1))的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))所求集合用列舉法表示為{(1，1)}．eq\a\vs4\al()列舉法表示集合的步驟及注意點分清元素列舉法表示集合，要分清是數(shù)集還是點集書寫集合列元素時要做到不重復(fù)、不遺漏[提醒]二元方程組的解集、函數(shù)的圖象、點形成的集合都是點的集合，一定要寫成實數(shù)對的形式，元素與元素之間用“，”隔開．如{(2，3)，(5，－1)}．[跟蹤訓(xùn)練]把集合{x|x2－4x＋3＝0}用列舉法表示為()A．{1，3} B．{(1，3)}C．{x2－4x＋3＝0} D．{x＝1，x＝3}解析：選A解方程x2－4x＋3＝0得x＝1或x＝3，用列舉法表示解集為{1，3}．用描述法表示集合[例2](鏈接教科書第3頁例2)用描述法表示下列集合：(1)函數(shù)y＝－x的圖象上的點組成的集合；(2)數(shù)軸上離原點的距離大于3的點組成的集合；(3)不等式x－2＜3的解組成的集合．[解](1){(x，y)|y＝－x}．(2)數(shù)軸上離原點的距離大于3的點組成的集合等于絕對值大于3的實數(shù)組成的集合，則數(shù)軸上離原點的距離大于3的點組成的集合用描述法表示為{x∈R||x|＞3}．(3)不等式x－2＜3的解是x＜5，則不等式x－2＜3的解組成的集合用描述法表示為{x|x＜5}．eq\a\vs4\al()描述法表示集合的2個步驟[跟蹤訓(xùn)練]方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))的解集不能表示為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1))))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2))))))C．{1，2}D．{(x，y)|x＝1，y＝2}解析：選C二元一次方程組的解是一個有序?qū)崝?shù)對，故C錯．用區(qū)間表示集合[例3](鏈接教科書第5頁練習(xí)4題)用區(qū)間表示下列集合：(1){x|x＞－1}＝________；(2){x|2＜x≤5}＝________；(3){x|x≤－3}＝________；(4){x|2≤x≤4}＝________．[解析](1)集合{x|x＞－1}可用開區(qū)間表示為(－1，＋∞)；(2)集合{x|2＜x≤5}可用半開半閉區(qū)間表示為(2，5]；(3)集合{x|x≤－3}可用半開半閉區(qū)間表示為(－∞，－3]；(4)集合{x|2≤x≤4}可用閉區(qū)間表示為[2，4]．[答案](1)(－1，＋∞)(2)(2，5](3)(－∞，－3](4)[2，4]eq\a\vs4\al()用區(qū)間表示數(shù)集的方法(1)區(qū)間左端點值小于右端點值；(2)區(qū)間兩端點之間用“，”隔開；(3)含端點值的一端用中括號，不含端點值的一端用小括號；(4)以“－∞”，“＋∞”為區(qū)間的一端時，這端必須用小括號．[跟蹤訓(xùn)練]1．區(qū)間(－3，2]用集合可表示為()A．{－2，－1，0，1，2} B．{x|－3＜x＜2}C．{x|－3＜x≤2} D．{x|－3≤x≤2}解析：選C由區(qū)間和集合的關(guān)系，可得區(qū)間(－3，2]可表示為{x|－3＜x≤2}，故選C.2．已知區(qū)間(4p－1，2p＋1)為一確定區(qū)間，則p的取值范圍為________．解析：由題意，得4p－1<2p＋1，所以p<1.答案：(－∞，1)集合表示法的應(yīng)用[例4]若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一個元素，試求實數(shù)k的值，并用列舉法表示集合A.[解]當(dāng)k＝0時，原方程變?yōu)椋?x＋16＝0，x＝2.此時集合A＝{2}．當(dāng)k≠0時，則關(guān)于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有兩個相等實數(shù)根，只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此時方程的解為x1＝x2＝4，集合A＝{4}，滿足題意．綜上所述，實數(shù)k的值為0或1.當(dāng)k＝0時，A＝{2}；當(dāng)k＝1時，A＝{4}．[母題探究]1．(變條件)若集合A中有2個元素，求k的取值集合．解：由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝（－8）2－4×k×16>0，))解得k<1，且k≠0.故實數(shù)k的取值集合為{k|k<1，且k≠0}．2．(變條件)若集合A中至多有一個元素，求k的取值集合．解：①當(dāng)集合A中含有1個元素時，由例題知，k＝0或k＝1；②當(dāng)集合A中沒有元素時，方程kx2－8x＋16＝0無解，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k≠0，,Δ＝（－8）2－4×k×16<0，))解得k>1.綜上，實數(shù)k的取值集合為{k|k＝0或k≥1}．eq\a\vs4\al()集合與方程的綜合問題的解題策略(1)弄清方程與集合的關(guān)系，往往是用集合表示方程的解集，集合中的元素就是方程的實數(shù)根；(2)當(dāng)方程中含有參數(shù)時，一般要根據(jù)方程實數(shù)根的情況來確定參數(shù)的值或取值范圍，必要時要分類討論；(3)求出參數(shù)的值或取值范圍后還要檢驗是否滿足集合中元素的互異性．[跟蹤訓(xùn)練]已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2，3}，求a，b的值．解：由A＝{2，3}，知方程x2－ax＋b＝0的兩根為2，3，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3＝a，,2×3＝b，))因此a＝5，b＝6.1．(2021·北京育才學(xué)校月考)集合{x∈N＋|x＜6}的另一種表示方法是()A．{0，1，2，3，4} B．{1，2，3，4}C．{0，1，2，3，4，5} D．{1，2，3，4，5}解析：選D易知集合化簡為{1，2，3，4，5}．故選D.2．集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(3，\f(5,2)，\f(7,3)，\f(9,4)，…))用描述法可表示為()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,2n)，n∈N＋))))B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋3,n)，n∈N＋))))C.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n－1,n)，n∈N＋))))D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,n)，n∈N＋))))解析：選D由3，eq\f(5,2)，eq\f(7,3)，eq\f(9,4)，即eq\f(3,1)，eq\f(5,2)，eq\f(7,3)，eq\f(9,4)，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，x＝eq\f(2n＋1,n)，n∈N＋，故可用描述法表示為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x＝\f(2n＋1,n)，n∈N＋)))).3．(多選)M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}中的元素有()A．(0，0) B．(0，1)C．(1，0) D．(2，－1)解析：選ABC∵M＝{(x，y)|x＋y≤1，x∈N，y∈N}，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))∴M＝{(0，0)，(0，1)，(1，0)}．4．若(a，3a－1]為一確定區(qū)間，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析：∵(a，3a－1]為一確定區(qū)間，∴a＜3a－1