-新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何3.4圓與圓的位置關(guān)系學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE10圓與圓的位置關(guān)系新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.能根據(jù)給定圓的方程，判斷圓與圓的位置關(guān)系直觀想象2.能用圓和圓的方程解決一些簡單的問題，體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想數(shù)學(xué)運(yùn)算下圖為1973年12月24日在哥斯答黎加拍到的日環(huán)食全過程．可以用兩個圓來表示變化過程．[問題](1)根據(jù)上圖，結(jié)合平面幾何，圓與圓的位置關(guān)系有幾種？(2)能否通過一些數(shù)量關(guān)系表示這些圓的位置關(guān)系？(3)直線與圓的位置關(guān)系可利用幾何法與代數(shù)法判斷，那么圓與圓的位置關(guān)系能否利用代數(shù)法判斷？知識點(diǎn)圓與圓的位置關(guān)系1．種類：圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．2．判定方法(1)幾何法：若兩圓的半徑分別為r1，r2，兩圓連心線的長為d，則兩圓的位置關(guān)系的判斷方法如下：位置關(guān)系外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圖示d與r1，r2的關(guān)系d＞r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|＜d＜r1＋r2d＝|r1－r2|d＜|r1－r2|(2)代數(shù)法：設(shè)兩圓的一般方程為C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(Deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋Eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－4F1>0)，C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(Deq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋Eeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))－4F2>0)，聯(lián)立方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))則方程組解的個數(shù)與兩圓的位置關(guān)系如下：方程組解的個數(shù)2組1組0組兩圓的公共點(diǎn)個數(shù)2個1個0個兩圓的位置關(guān)系相交內(nèi)切或外切外離或內(nèi)含1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)如果兩個圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切．()(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交．()(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．()(4)過圓O：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．圓(x＋2)2＋y2＝4與圓(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置關(guān)系為()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離解析：選B兩圓的圓心分別為(－2，0)，(2，1)，半徑分別為r＝2，R＝3，兩圓的圓心距離為eq\r(（－2－2）2＋（0－1）2)＝eq\r(17)，則R－r<eq\r(17)<R＋r，所以兩圓相交，故選B.3．已知兩圓x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B兩點(diǎn)，則直線AB的方程是________．解析：圓的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化為x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，兩式相減得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝0圓與圓位置關(guān)系的判斷[例1](鏈接教科書第113頁例1)已知兩圓C1：x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，C2：x2＋y2－2x－8y－8＝0，判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系．[解]法一(幾何法)：把圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x＋2)2＋(y＋2)2＝10.圓C1的圓心坐標(biāo)為(－2，－2)，半徑長r1＝eq\r(10).把圓C2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得(x－1)2＋(y－4)2＝25.圓C2的圓心坐標(biāo)為(1，4)，半徑長r2＝5.圓C1和圓C2的圓心距d＝eq\r(（－2－1）2＋（－2－4）2)＝3eq\r(5)，又圓C1與圓C2的兩半徑之和是r1＋r2＝5＋eq\r(10)，兩半徑之差是r2－r1＝5－eq\r(10).而5－eq\r(10)<3eq\r(5)<5＋eq\r(10)，即r2－r1<d<r1＋r2，所以兩圓的位置關(guān)系是相交．法二(代數(shù)法)：將兩圓的方程聯(lián)立得到方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋4x＋4y－2＝0，①,x2＋y2－2x－8y－8＝0，②))由①－②得x＋2y＋1＝0，③由③得x＝－2y－1，把此式代入①，并整理得y2－1＝0，④所以y1＝1，y2＝－1，代入x＋2y＋1＝0得x1＝－3，x2＝1.所以圓C1與圓C2有兩個不同的公共點(diǎn)(－3，1)，(1，－1)，即兩圓的位置關(guān)系是相交．eq\a\vs4\al()判斷兩圓位置關(guān)系的兩種方法(1)幾何法：將兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之差的絕對值，半徑之和進(jìn)行比較，進(jìn)而判斷出兩圓的位置關(guān)系，這是在解析幾何中主要使用的方法；(2)代數(shù)法：將兩圓的方程組成方程組，通過解方程組，根據(jù)方程組解的個數(shù)進(jìn)而判斷兩圓位置關(guān)系．[跟蹤訓(xùn)練]1．已知圓C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，圓C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，則圓C1和圓C2的位置關(guān)系為()A．相切 B．內(nèi)含C．外離 D．相交解析：選B圓C1：x2＋y2＋2x＋3y＋1＝0，即(x＋1)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(9,4)，∴C1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(3,2)))，圓C1的半徑r1＝eq\f(3,2).圓C2：x2＋y2＋4x－3y－36＝0，即(x＋2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(169,4)，∴C2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(3,2)))，圓C2的半徑r2＝eq\f(13,2).∴兩圓的圓心距|C1C2|＝eq\r(（－2＋1）2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋\f(3,2)))\s\up12(2))＝eq\r(10).又∵r1＋r2＝eq\f(3,2)＋eq\f(13,2)＝8，r2－r1＝eq\f(13,2)－eq\f(3,2)＝5，∴|C1C2|＝eq\r(10)<r2－r1＝5，故兩圓內(nèi)含．故選B.2．已知兩圓(x－3)2＋(y－4)2＝25和(x－1)2＋(y－2)2＝r2相切，則半徑長r的值是________．解析：因?yàn)閑q\r(（3－1）2＋（4－2）2)＝2eq\r(2)＜5＋r，所以兩圓不能外切，故兩圓內(nèi)切，所以eq\r(（3－1）2＋（4－2）2)＝|5－r|，解得r＝5±2eq\r(2).答案：5±2eq\r(2)與兩圓相交有關(guān)的問題[例2]求經(jīng)過兩圓x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交點(diǎn)且圓心在直線x－y－4＝0上的圓的方程．[解]法一：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0，))得兩圓的交點(diǎn)A(－1，3)，B(－6，－2).設(shè)所求圓的圓心為(a，b)，因?yàn)閳A心在直線x－y－4＝0上，故b＝a－4.則有eq\r(（a＋1）2＋（a－4－3）2)＝eq\r(（a＋6）2＋（a－4＋2）2)，解得a＝eq\f(1,2)，故圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半徑為eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)－3))\s\up12(2))＝eq\r(\f(89,2)).故圓的方程為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.法二：因?yàn)閳Ax2＋y2＋6y－28＝0的圓心(0，－3)不在直線x－y－4＝0上，故可設(shè)所求圓的方程為x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－y－4＝0，求得λ＝－7.故所求圓的方程為x2＋y2－x＋7y－32＝0.eq\a\vs4\al()1．圓系方程一般地過圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交點(diǎn)的圓的方程可設(shè)為：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，然后再由其他條件求出λ，即可得圓的方程．2．兩圓相交時，公共弦所在的直線方程若圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0與圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，則兩圓公共弦所在直線的方程為(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.3．公共弦長的求法(1)代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長；(2)幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成的直角三角形，根據(jù)勾股定理求解．[跟蹤訓(xùn)練]求兩圓x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的公共弦所在直線的方程及公共弦長．解：聯(lián)立兩圓的方程得方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x＋10y－24＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))兩式相減得x－2y＋4＝0，此為兩圓公共弦所在直線的方程．法一：設(shè)兩圓相交于點(diǎn)A，B，則A，B兩點(diǎn)滿足方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2.))所以|AB|＝eq\r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq\r(5)，即公共弦長為2eq\r(5).法二：由x2＋y2－2x＋10y－24＝0，得(x－1)2＋(y＋5)2＝50，其圓心坐標(biāo)為(1，－5)，半徑長r＝5eq\r(2)，圓心到直線x－2y＋4＝0的距離為d＝eq\f(|1－2×（－5）＋4|,\r(1＋（－2）2))＝3eq\r(5).設(shè)公共弦長為2l，由勾股定理得r2＝d2＋l2，即50＝(3eq\r(5))2＋l2，解得l＝eq\r(5)，故公共弦長2l＝2eq\r(5).圓與圓的相切問題[例3]求與圓x2＋y2－2x＝0外切且與直線x＋eq\r(3)y＝0相切于點(diǎn)M(3，－eq\r(3))的圓的方程．[解]設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，由題知所求圓與圓x2＋y2－2x＝0外切，則eq\r(（a－1）2＋b2)＝r＋1.①又所求圓過點(diǎn)M的切線為直線x＋eq\r(3)y＝0，故eq\f(b＋\r(3),a－3)＝eq\r(3)，②eq\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r.③解由①②③組成的方程組得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6.故所求圓的方程為(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.[母題探究]1．(變條件)將本例變?yōu)椤扒笈c圓x2＋y2－2x＝0外切，圓心在x軸上，且過點(diǎn)(3，－eq\r(3))的圓的方程”．解：因?yàn)閳A心在x軸上，所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(a，0)，半徑為r，則所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2，又因?yàn)榕c圓x2＋y2－2x＝0外切，且過點(diǎn)(3，－eq\r(3))，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(（a－1）2＋02)＝r＋1，,（3－a）2＋（－\r(3)）2＝r2，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝4，,r＝2，))所以圓的方程為(x－4)2＋y2＝4.2．(變條件、變設(shè)問)將本例改為“若圓x2＋y2－2x＝0與圓x2＋y2－8x－8y＋m＝0相外切，試求實(shí)數(shù)m的值．”解：圓x2＋y2－2x＝0的圓心為A(1，0)，半徑為r1＝1，圓x2＋y2－8x－8y＋m＝0的圓心為B(4，4)，半徑為r2＝eq\r(32－m).因?yàn)閮蓤A相外切，所以eq\r(（4－1）2＋（4－0）2)＝1＋eq\r(32－m)，解得m＝16.eq\a\vs4\al()處理兩圓相切問題的兩個步驟(1)定性，即必須準(zhǔn)確把握是內(nèi)切還是外切，若只是告訴相切，則必須分兩圓內(nèi)切還是外切兩種情況討論；(2)轉(zhuǎn)化思想，即將兩圓相切的問題轉(zhuǎn)化為兩圓的圓心距等于兩圓半徑之差的絕對值(內(nèi)切時)或兩圓半徑之和(外切時)．[跟蹤訓(xùn)練]求與圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于點(diǎn)A(4，－1)且半徑為1的圓的方程．解：設(shè)所求圓的圓心為P(a，b)，則eq\r(（a－4）2＋（b＋1）2)＝1.①(1)若兩圓外切，則有eq\r(（a－2）2＋（b＋1）2)＝1＋2＝3，②聯(lián)立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圓的方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若兩圓內(nèi)切，則有eq\r(（a－2）2＋（b＋1）2)＝|2－1|＝1，③聯(lián)立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圓的方程為(x－3)2＋(y＋1)2＝1.綜上所述，所求圓的方程為(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.兩圓的公切線問題同時與兩個圓相切的直線稱為兩圓的公切線，探索平面內(nèi)兩個圓的公切線條數(shù)與它們的位置有什么關(guān)系，并求出圓C1：x2＋y2＝2與圓C2：(x－2)2＋y2＝8的公切線．[問題探究]1．兩圓公切線的條數(shù)(1)兩圓外離，公切線有4條(外公切線2條，內(nèi)公切線2條)，如圖①；(2)兩圓外切，公切線有3條(外公切線2條，內(nèi)公切線1條)，如圖②；(3)兩圓相交，公切線有2條(外公切線2條，內(nèi)公切線0條)，如圖③；(4)兩圓內(nèi)切，公切線有1條(外公切線1條，內(nèi)公切線0條)，如圖④.2．公切線交點(diǎn)設(shè)⊙O1的半徑為r，⊙O2的半徑為R，則外公切線的交點(diǎn)P滿足eq\f(R,r)＝eq\f(|PO2|,|PO1|)；內(nèi)公切線的交點(diǎn)Q滿足eq\f(R,r)＝eq\f(|QO2|,|QO1|).[遷移應(yīng)用]如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O1，圓O2都與直線l：y＝kx及x軸正半軸相切．若兩圓的半徑之積為2，兩圓的一個交點(diǎn)為P(2，2)，求直線l的方程．解：由題意，圓心O1，O2都在x軸與直線l組成角的角平分線上．若直線l的斜率k＝tanα，設(shè)t＝taneq\f(α,2)，則k＝eq\f(2t,1－t2).圓心O1，O2在直線y＝tx上，可設(shè)O1(m，mt)，O2(n，nt).交點(diǎn)P(2，2)在第一象限，m，n，t＞0，所以⊙O1：(x－m)2＋(y－mt)2＝(mt)2，⊙O2：(x－n)2＋(y－nt)2＝(nt)2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－m）2＋（2－mt）2＝（mt）2，,（2－n）2＋（2－nt）2＝（nt）2，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－（4＋4t）m＋8＝0，,n2－（4＋4t）n＋8＝0，))所以m，n是方程x2－(4＋4t)x＋8＝0的兩根，于是mn＝8.由半徑的積(mt)(nt)＝2，得t2＝eq\f(1,4)，故t＝eq\f(1,2).所以k＝eq\f(2t,1－t2)＝eq\f(1,1－\f(1,4))＝eq\f(4,3)，直線l的方程為y＝eq\f(4,3)x.1．兩圓x2＋(y－2)2＝1和(x＋2)2＋(y＋1)2＝16的位置關(guān)系是()A．相離 B．相交C．內(nèi)切 D．外切解析：選B兩圓圓心分別為(0，2)和(－2，－1)，半徑分別為1和4，圓心距d＝eq\r(4＋9)＝eq\r(13)，|r1－r2|＜d＜|r1＋r2|，故兩圓相交．2．若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋n＝0內(nèi)切，則n＝()A．21 B．9C．19 D．－11解析：選DC2化為標(biāo)準(zhǔn)方程(x－3)2＋(y－4)2＝25－n，其圓心為(3，4)，半徑r＝eq\r(25－n)，C1圓心為(0，0)，半徑為1.若兩圓內(nèi)切，則有eq