復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)自測題

nninnnninn第4—5復(fù)自題一、選題：復(fù)數(shù)

u

n

收斂的必要條件[].(A)

nlim(B)limnnn(C)

limnu0nn

(D)

limnn若級(jí)數(shù)

u

n

收斂，則[](A)

nlim(B)limnn(C)

limnu0nn

(D)

limsin0nn下復(fù)級(jí)數(shù)收斂的是

[].(A)

n

i

n

(B)

n

(n

1in

(C)

n

1n2

(D)

n

下復(fù)級(jí)數(shù)發(fā)散的[].in(A)（中q(B)(C)(D)innnnn冪數(shù)

z

2n

的收斂半徑和收斂圓為[(A)

nRz和z

(C)R和.(D)和z已冪級(jí)數(shù)

11(1)zn的函數(shù)為，則(1)z2(z2nnn

n

的收斂半徑和收斂圓為[(A)

R

和

z

(B)

R

和

z

(C)

R

和

z

(D)

33和z22是fz)

z

2

是[].（A階零點(diǎn)

(B)4階點(diǎn)(C)3階零點(diǎn)D)2階點(diǎn)設(shè)

分別是函數(shù)

f()

和

(

的

階零點(diǎn)（

n2

必為

f(z(z)

的/

(A)

n

階零點(diǎn)B)

n

階零點(diǎn)

(C)至多

n

階零點(diǎn)或

f()

(D)

f()設(shè)z別是函數(shù)

f()的階零點(diǎn)和g()的m零點(diǎn)，則必

f(z)(z)

的

[].(A)零點(diǎn).(B)極.(C)可去奇點(diǎn)或極(D)可奇點(diǎn)10.設(shè)

分別是函數(shù)

f()

和

(

的

n

階極點(diǎn)（

n2

必為

f(z)z)

的

[(A)階點(diǎn)

(B)至少n階點(diǎn)

(C)至多n階點(diǎn)或可去奇點(diǎn)(D)可奇點(diǎn)11.設(shè)分是函數(shù)

f()的n階點(diǎn)和(的m階點(diǎn)，則z必

f(z)(z)

的[(A)階點(diǎn)(B)n階極點(diǎn)

(C)非孤立奇點(diǎn)

(D)可奇點(diǎn)或極點(diǎn)12.設(shè)

為

f()

的可去奇點(diǎn)或極點(diǎn)在

z

內(nèi)，

f()

為

(

的本性奇點(diǎn)

為

(()

的[].(A)解點(diǎn)

(B)本奇點(diǎn)極點(diǎn)

(D)可奇點(diǎn)13.設(shè)z為(z

的可去奇點(diǎn)或極點(diǎn)在

z內(nèi)(z)z為()

的本性奇點(diǎn)

為

()f()

的[].(A)解點(diǎn)

(B)本奇點(diǎn)極點(diǎn)

(D)可奇點(diǎn)14.設(shè)z為(z(z)為的[].f(z)

的可去奇點(diǎn)或極點(diǎn)在

z內(nèi)(z)z為()

的本性奇點(diǎn)

(A)解點(diǎn)

(B)本奇點(diǎn)極點(diǎn)

(D)可去奇點(diǎn)15.設(shè)

z

為函數(shù)

1

sinz

的

[].(A)可奇點(diǎn)

(B)極點(diǎn)(本奇點(diǎn)

(D)非孤立奇點(diǎn)1z的16.設(shè)z為數(shù)z(A)可奇.(B)2階點(diǎn)

階點(diǎn)

(D)本奇點(diǎn)

[二、填題：冪數(shù)

n

2

(n

的收斂半徑收斂圓為，斂圓周為．n(z)n冪數(shù)的斂半徑nnn

R

，收斂圓為．/

設(shè)

1

，

R2

，

3

分別冪級(jí)數(shù)

n

c(z)n

n

，

n

nc(n

n

和

n

cn(z)nn

的收斂半徑，則

，R1

，3

的關(guān)系是．分別寫出ez，，，ln(1（)

表示以

(

為割線且滿足

ln(1)

的單值解析分析和

)

(1)

表示以

(

為割線且滿足

)

的單值解析分析在

處的基本展式（注意指出展式成立的最大范圍）

cos)(1)

．寫函數(shù)

(zz2)zz

在指定圓域或圓環(huán)內(nèi)的洛朗展式：在z，

(z1)(z

；在

內(nèi)，

(z1)(z

；在

z

內(nèi)，

(z1)(z

；在

z

內(nèi)，

(z1)(z

．設(shè)數(shù)

f()

在原點(diǎn)

z

解析，且對(duì)

n

，有

1f)n

11

，由解析函數(shù)的惟一性，可得

f(

．寫為析函數(shù)．

f()的階零點(diǎn)定義：

為解析函數(shù)

f()

的

m

階零點(diǎn)等價(jià)于設(shè)

f(z)

(zz

，則

f()

在孤立奇點(diǎn)主要部分為，從而孤立奇點(diǎn)z的類型

f(z)

的；f()

在孤立奇點(diǎn)

z

的主要部分為，而孤立奇點(diǎn)

z

的類型為

f()

的．10.設(shè)

f(

z

，則

f()

在孤立奇點(diǎn)

z0

的主要部分為，從而孤立奇點(diǎn)

z0

的類型為

f()

的；

f()

在孤立奇點(diǎn)要部分為，從而孤立奇點(diǎn)z類型為z)

的．/

三、解或計(jì)算題：求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂圓：(()（1））!n

!

．求列函數(shù)在處泰勒展式，并指出展式成立的范圍：（1

(z2)(

1），）(1)

cos

；（4

sinz，z，2z

）e）

，．判z是列函數(shù)的零點(diǎn)，并求出零點(diǎn)的階數(shù)：（1

z

）

6sin

）

sinztanz

．求列函數(shù)在指定圓環(huán)內(nèi)的洛朗展式：（1

f(z)

(zz

，①

z

；②

；③

z

．（2

f(z)sin

1z

，

z

．（3z)，

．（4

f()

，

z

．求列函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面上的所有孤立奇點(diǎn)并分別求出數(shù)在各孤立奇點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)的洛朗展（注意指出展式成立的范圍（1

f(z)

）f(）(z)(zzz(z)(z)

（

（4f)．求下列函數(shù)在擴(kuò)充平面上的所有奇點(diǎn)（注意包括

是立奇點(diǎn)還要指出類型（1）cot））e）．z四、證或討論題：用析函數(shù)的惟一性定理證明：/

ln(1)

(

z

，，其中

)以(

為割線，滿足

)

的單值解析分支．用析函數(shù)的惟一性定理證明：sin2z2sinz

．若

f()

在區(qū)域

D

內(nèi)解析C

為曲線或區(qū)域或有屬于

D

的聚點(diǎn)的平面點(diǎn)集在

C

上

f(

常數(shù)證明：在區(qū)域D內(nèi)f()常數(shù)．用證法及最大模，最小模原理證明：設(shè)C是條圍線，

f(z)在的部D解，在D

上連續(xù)，且在

上f()

為常數(shù)，若

f(

常數(shù)，則

f()

在

D

內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)．設(shè)數(shù)

f()

在區(qū)域解，閉圓域

zD，f(z)

在區(qū)域D內(nèi)足下列條件之一，則

f()

在區(qū)域內(nèi)為常數(shù)：（1在

z

內(nèi)，

f()

，且在

z

上，

f(z)

為常數(shù)；（2在

z內(nèi)

1f(1fd

為常數(shù)；（3

1f2

在

z

內(nèi)解析．設(shè)z別為f(z)的階零點(diǎn)和g()n零點(diǎn)，試討論下列函數(shù)在的性質(zhì)：（1

f((z)

；（）

f(g(z)

；（3）

f(z)(z)

．設(shè)分為f(z)

的階極點(diǎn)和g()

的n階點(diǎn)，試討論下列函數(shù)在的質(zhì)：（1

f((z)

；（）

f(g(z)

；（3）

f(z)(z)

．設(shè)zf()

的可去起點(diǎn)（看成解析點(diǎn)）或極點(diǎn)，且在

內(nèi)f(z)，z為(

的本/

性奇點(diǎn)，試討論下列函數(shù)在的質(zhì)：（1

(f(

；（）

()f(

；（3）

(z)f(z)

．設(shè)f()

的孤立奇點(diǎn)（即

f()在z

內(nèi)解析在

z內(nèi)f(z)

不恒為零，若存在

z

內(nèi)的一列收斂于

a

的點(diǎn)列

n

，使得

f(z)

，

1,2,

，則

a

是

f()

的本性奇點(diǎn)．10.試孤奇點(diǎn)的特征證明下面有關(guān)整函數(shù)的命題：（1設(shè)

f()

為整函數(shù)，若

f()在，f()

恒為常數(shù)劉維定）（2設(shè)（3設(shè)

f()f()

為整函數(shù)，若為整函數(shù)，若

limlim

fz)zf(z)zm

或

存在，則

f()是次項(xiàng)式．f(z)zm

f(z在即存在M使得在，zm則

f()

是至多

次多項(xiàng)式．五、綜題：設(shè)

f(n

是定義在區(qū)域D的解析函數(shù)列，試按下面的步驟探索

f(n

n

在區(qū)域D內(nèi)閉一致收斂的關(guān)系：（1）試用有限覆蓋定理明()D內(nèi)閉致收斂對(duì)意zD，在鄰U(z)D，n使得在鄰域U(z)內(nèi)(z)斂n（2若(zD內(nèi)閉一致收斂，則D內(nèi)內(nèi)閉一致收斂；nn（3）(z)D內(nèi)斂且內(nèi)閉一致收斂則z域內(nèi)閉一nn致收斂；（4若

f(n

在區(qū)域

D

內(nèi)收斂，則

f(zn

在區(qū)域

D

內(nèi)內(nèi)閉一致收斂

n

在區(qū)域

D

內(nèi)