（浙江專用）2023年高考數學總復習第十章計數原理、概率第6講離散型隨機變量及其分布列學案

PAGE1-第6講離散型隨機變量及其分布列最新考綱1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現象的重要性；2.理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單應用.知識梳理1.離散型隨機變量隨著試驗結果變化而變化的變量稱為隨機變量，所有取值可以一一列出的隨機變量，稱為離散型隨機變量.2.離散型隨機變量的分布列及性質(1)一般地，假設離散型隨機變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，那么表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機變量X的概率分布列.(2)離散型隨機變量的分布列的性質：①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝13.常見離散型隨機變量的分布列(1)兩點分布：假設隨機變量X服從兩點分布，其分布列為X01P1－pp，其中p＝P(X＝1)稱為成功概率.(2)超幾何分布：在含有M件次品的N件產品中，任取n件，其中恰有X件次品，那么P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,M)Ceq\o\al(n－k,N－M),Ceq\o\al(n,N))，k＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱隨機變量X服從超幾何分布.X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n－0,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)Ceq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)Ceq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))診斷自測1.判斷正誤(在括號內打“√〞或“×〞)(1)離散型隨機變量的概率分布列中，各個概率之和可以小于1.()(2)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的.()(3)如果隨機變量X的分布列由下表給出，X25P0.30.7那么它服從兩點分布.()(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數X服從超幾何分布.()解析對于(1)，離散型隨機變量所有取值的并事件是必然事件，故各個概率之和等于1，故(1)不正確；對于(3)，X的取值不是0，1，故不是兩點分布，所以(3)不正確.答案(1)×(2)√(3)×(4)√2.袋中有3個白球、5個黑球，從中任取兩個，可以作為隨機變量的是()A.至少取到1個白球 B.至多取到1個白球C.取到白球的個數 D.取到的球的個數解析選項A，B表述的都是隨機事件，選項D是確定的值2，并不隨機；選項C是隨機變量，可能取值為0，1，2.答案C3.(選修2－3P49A4改編)設隨機變量X的分布列如下：X12345Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p那么p為()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,3) C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,12)解析由分布列的性質，eq\f(1,12)＋eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＋p＝1，∴p＝1－eq\f(3,4)＝eq\f(1,4).答案C4.設隨機變量X等可能取值1，2，3，…，n，如果P(X<4)＝0.3，那么n＝______.解析由于隨機變量X等可能取1，2，3，…，n.所以取到每個數的概率均為eq\f(1,n).∴P(X<4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.答案105.袋中裝有10個紅球、5個黑球.每次隨機抽取1個球后，假設取得黑球那么另換1個紅球放回袋中，直到取到紅球為止.假設抽取的次數為ξ，那么表示“放回5個紅球〞事件的是()A.ξ＝4 B.ξ＝5C.ξ＝6 D.ξ≤5解析“放回五個紅球〞表示前五次摸到黑球，第六次摸到紅球，故ξ＝6.答案C6.從裝有3個紅球，2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有X個紅球，那么隨機變量X＝1的概率為________.解析P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).答案eq\f(3,5)考點一離散型隨機變量分布列的性質【例1】設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列.解由分布列的性質知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.首先列表為X012342X＋113579|X－1|10123從而由上表得兩個分布列為(1)2X＋1的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列為|X－1|0123P0.10.30.30.3規(guī)律方法(1)利用分布列中各概率之和為1可求參數的值，此時要注意檢驗，以保證兩個概率值均為非負數.(2)假設X是隨機變量，那么η＝|X－1|等仍然是隨機變量，求它的分布列可先求出相應隨機變量的值，再根據互斥事件概率加法求對應的事件概率，進而寫出分布列.【訓練1】(2022·麗水月考)設隨機變量X的概率分布列如下表，那么P(|X－2|＝1)＝()X1234Peq\f(1,6)eq\f(1,4)meq\f(1,3)A.eq\f(7,12) B.eq\f(1,2) C.eq\f(5,12) D.eq\f(1,6)解析由|X－2|＝1得X＝1或3，m＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)＋\f(1,4)＋\f(1,3)))＝eq\f(1,4)，∴P(|X－2|＝1)＝P(X＝1)＋P(X＝3)＝eq\f(1,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,12).答案C考點二離散型隨機變量的分布列【例2】(2022·天津卷節(jié)選)某小組共10人，利用假期參加義工活動.參加義工活動次數為1，2，3的人數分別為3，3，4.現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.(1)設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；(2)設X為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列.解(1)由，有P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3).所以，事件A發(fā)生的概率為eq\f(1,3).(2)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(7,15)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,4),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(4,15).所以，隨機變量X的分布列為X012Peq\f(4,15)eq\f(7,15)eq\f(4,15)規(guī)律方法求離散型隨機變量X的分布列的步驟：(1)找出隨機變量X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…，n)；(2)求出各取值的概率P(X＝xi)＝pi；(3)列成表格并用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確.提醒求離散型隨機變量的分布列的關鍵是求隨機變量所有取值對應的概率，在求解時，要注意應用計數原理、古典概型等知識.【訓練2】某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據：日銷售量(件)0123頻數1595試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結束后檢查存貨，假設發(fā)現存量少于2件，那么當天進貨補充至3件，否那么不進貨，將頻率視為概率.(1)求當天商店不進貨的概率；(2)記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數，求X的分布列.解(1)P(當天商店不進貨)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為1件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,10).(2)由題意知，X的可能取值為2，3.P(X＝2)＝P(當天商品銷售量為1件)＝eq\f(5,20)＝eq\f(1,4)；P(X＝3)＝P(當天商品銷售量為0件)＋P(當天商品銷售量為2件)＋P(當天商品銷售量為3件)＝eq\f(1,20)＋eq\f(9,20)＋eq\f(5,20)＝eq\f(3,4).所以X的分布列為X23Peq\f(1,4)eq\f(3,4)考點三超幾何分布【例3】(2022·嘉興模擬)某外語學校的一個社團中有7名同學，其中2人只會法語；2人只會英語，3人既會法語又會英語，現選派3人到法國的學校交流訪問.(1)在選派的3人中恰有2人會法語的概率；(2)在選派的3人中既會法語又會英語的人數X的分布列.解(1)設事件A：選派的三人中恰有2人會法語，那么P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(4,7).(2)依題意知X的取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(4,35)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，∴X的分布列為X0123Peq\f(4,35)eq\f(18,35)eq\f(12,35)eq\f(1,35)規(guī)律方法超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數.超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)各類對象的個數；(3)從中抽取假設干個個體，考查某類個體數X的概率分布.超幾何分布主要用于抽檢產品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型.【訓練3】(2022·昆明調研)PM2.5是指懸浮在空氣中的空氣動力學當量直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物.根據現行國家標準GB3095－2022，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質量為二級；在75微克/立方米以上空氣質量為超標.從某自然保護區(qū)2022年全年每天的PM2.5監(jiān)測數據中隨機地抽取10天的數據作為樣本，監(jiān)測值頻數如下表所示：PM2.5日均值(微克/立方米)[25，35](35，45](45，55](55，65](65，75](75，85]頻數311113(1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數據中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質量到達一級的概率；(2)從這10天的數據中任取3天數據，記X表示抽到PM2.5監(jiān)測數據超標的天數，求X的分布列.解(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數據中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質量到達一級〞為事件A，那么P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(21,40).(2)依據條件，X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機變量X的可能取值為0，1，2，3.P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,3)·Ceq\o\al(3－k,7),Ceq\o\al(3,10))(k＝0，1，2，3).∴P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,24)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(21,40)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(7,40)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(0,7),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,120).因此X的分布列為X0123Peq\f(7,24)eq\f(21,40)eq\f(7,40)eq\f(1,120)[思想方法]1.對于隨機變量X的研究，需要了解隨機變量取哪些值以及取這些值或取某一個集合內的值的概率，對于離散型隨機變量，它的分布正是指出了隨機變量X的取值范圍以及取這些值的概率.2.求離散型隨機變量的分布列，首