中考數(shù)學(xué)一輪知識復(fù)習(xí)和鞏固練習(xí)考點(diǎn)18 特殊的四邊形（基礎(chǔ)鞏固） (含詳解)

考向18特殊的四邊形【知識梳理】考點(diǎn)一、幾種特殊四邊形性質(zhì)、判定四邊形性質(zhì)判定邊角對角線矩形對邊平行且相等四個角是直角相等且互相平分1、有一個角是直角的平行四邊形是矩形；2、有三個角是直角的四邊形是矩形；3、對角線相等的平行四邊形是矩形中心、軸對稱圖形菱形四條邊相等對角相等，鄰角互補(bǔ)垂直且互相平分，每一條對角線平分一組對角1、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；2、四條邊都相等的四邊形是菱形；3、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.中心、軸對稱圖形正方形四條邊相等四個角是直角相等、垂直、平分，并且每一條對角線平分一組對角1、鄰邊相等的矩形是正方形2、對角線垂直的矩形是正方形3、有一個角是直角的菱形是正方形4、對角線相等的菱形是正方形中心、軸對稱圖形等腰梯形兩底平行，兩腰相等同一底上的兩個角相等相等1、兩腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；3、對角線相等的梯形是等腰梯形.軸對稱圖形方法指導(dǎo)：矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形，它們具有平行四邊形的一切性質(zhì).考點(diǎn)二、梯形1．解決梯形問題常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一個平行四邊形和一個三角形（圖1）；

（2）“作高”：使兩腰在兩個直角三角形中（圖2）；

（3）“平移對角線”：使兩條對角線在同一個三角形中（圖3）；

（4）“延腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個三角形（圖4）；

（5）“等積變形”，連結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長與下底延長線交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形（圖5）．

圖1圖2圖3圖4圖5

方法指導(dǎo)：解決梯形問題的基本思想和方法就是通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的平行四邊形和三角形問題來解決．在學(xué)習(xí)時注意它們的作用，掌握這些輔助線的使用對于學(xué)好梯形內(nèi)容很有幫助．2.特殊的梯形（1）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．性質(zhì)：①等腰梯形的同一底邊上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等．②同一底邊上的兩個角相等的梯形是等腰梯形．③等腰梯形是軸對稱圖形，它的對稱軸是經(jīng)過兩底中點(diǎn)的一條直線．（2）直角梯形：有一個角是直角的梯形叫做直角梯形．考點(diǎn)三、中點(diǎn)四邊形相關(guān)問題1.中點(diǎn)四邊形的概念：把依次連接任意一個四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形叫做中點(diǎn)四邊形．2.若中點(diǎn)四邊形為矩形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直；

若中點(diǎn)四邊形為菱形，則原四邊形滿足條件對角線相等；

若中點(diǎn)四邊形為正方形，則原四邊形滿足條件對角線互相垂直且相等．方法指導(dǎo)：中點(diǎn)四邊形的形狀由原四邊形的對角線的位置和數(shù)量關(guān)系決定．【專項(xiàng)訓(xùn)練】一、選擇題1.如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF，若AB=1，BC=2，則△ABE和BC′F的周長之和為（）A．3 B．4 C．6 D．82.如圖，有一矩形紙片ABCD，AB=10，AD=6，將紙片折疊，使AD邊落在AB邊上，折痕為AE，再將△AED以DE為折痕向右折疊，AE與BC交于點(diǎn)F，則△CEF面積為()．

A．4B．6C．8D．103．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一點(diǎn)，PE⊥AC，垂足為E，PF⊥BD，垂足為F，則PE+PF的值為()．A．

B．

C．2D．

第3題第4題4.如圖，E、F、G、H分別是四邊形ABCD四條邊的中點(diǎn)，要使EFGH為矩形，四邊形應(yīng)該具備的條件是（）.

A．一組對邊平行而另一組對邊不平行B．對角線相等

C．對角線相互垂直D．對角線互相平分5.如圖，正方形ABCD中，O是對角線AC、BD的交點(diǎn)，過O點(diǎn)作OE⊥OF分別交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，則EF等于（）.A.7B.5C.4D.3

6.如圖，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，則∠BDE的度數(shù)為（）.

A．15°B．18°C．36°D．54°二、填空題7.直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分別為AB、BC、AC的中點(diǎn)，已知DF=3，則AE=．8.如圖，菱形ABCD中，于E，于F，，則等于___________．9.正方形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，BE=，CE=，P在BD上，則PE+PC的最小值可能為__________．10.如圖，M為正方形ABCD中BC邊的中點(diǎn)，將正方形折起，使點(diǎn)A與M重合，設(shè)折痕為EF，若正方形的面積為64，則△AEM的面積為____________．

11.如圖，△ABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC=4，BC=3，P為AB上一動點(diǎn)，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，則線段EF長度的最小值是_______________.12.如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=2SKIPIF1<0，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，△DEF是等邊三角形，DF交AB于點(diǎn)G，則△BFG的周長為________．三、解答題13．如圖1，圖2，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點(diǎn)．直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點(diǎn)D，且直角頂點(diǎn)E在AB邊上滑動(點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合)，另一條直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點(diǎn)F．

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊的中點(diǎn)位置時：

①猜想DE與EF滿足的數(shù)量關(guān)系是__________；

②連接點(diǎn)E與AD邊的中點(diǎn)N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關(guān)系是__________；

③請證明你的上述兩個猜想．

(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在AB邊上的任意位置時，請你在AD邊上找到一點(diǎn)N，使得NE=BF，進(jìn)而猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關(guān)系．

14.如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，

(1)求BC、AD的長度；

(2)若點(diǎn)P從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/秒的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始沿CD邊向點(diǎn)D以1cm/秒的速度運(yùn)動，當(dāng)P、Q分別從B、C同時出發(fā)時，寫出五邊形ABPQD的面積S與運(yùn)動時間t之間的關(guān)系式，并寫出t的取值范圍(不包含點(diǎn)P在B、C兩點(diǎn)的情況)；

(3)在(2)的前提下，是否存在某一時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

15.已知正方形ABCD的邊長為a，兩條對角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P是射線AB上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F．（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時，PE+PF的值是否為定值？如果是，請求出它的值；如果不是，請加以說明．（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB的延長線上時，求PE﹣PF的值．16.如圖，十三個邊長為正整數(shù)的正方形紙片恰好拼成一個大矩形（其中有三個小正方形的邊長已標(biāo)出字母x，y，z）．試求滿足上述條件的矩形的面積最小值．答案與解析一．選擇題1．【答案】C．【解析】將矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在C′處，折痕為EF，由折疊特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周長=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周長=2△ABE的周長=2×3=6．故選：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可證△OEB≌△OFC，則EB=FC=3，AE=BF=4，EF=SKIPIF1<0=5.6．【答案】B.【解析】由題意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空題7．【答案】3．【解析】如圖，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴DF是△ABC的中位線，∴DF=BC．又∵點(diǎn)E是直角△ABC斜邊BC的中點(diǎn)，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：設(shè)AE=x=EM,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,從而算出面積.11.【答案】SKIPIF1<0.【解析】連接PC．

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；

又∵∠ACB=90°，∴四邊形ECFP是矩形，

∴EF=PC，∴當(dāng)PC最小時，EF也最小，

即當(dāng)CP⊥AB時，PC最小，

∵AC=4，BC=3，∴AB=5，

∴SKIPIF1<0AC?BC=SKIPIF1<0AB?PC，∴PC=SKIPIF1<0．

∴線段EF長的最小值為SKIPIF1<0；故答案是：SKIPIF1<0．12．【答案】3+SKIPIF1<0.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，推出四邊形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等邊三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，進(jìn)而求得FG，再證△AGD≌△BGF，得到BF=AD，從而求出△BFG的周長．三.綜合題13．【解析】（1）①DE=EF；

②NE=BF；

③∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，

∵N，E分別為AD，AB中點(diǎn)，

∴AN=DN=SKIPIF1<0AD，AE=EB=SKIPIF1<0AB，

∴DN=BE，AN=AE，

∵∠DEF=90°，

∴∠AED+∠FEB=90°，

又∵∠ADE+∠AED=90°，

∴∠FEB=∠ADE，

又∵AN=AE，

∴∠ANE=∠AEN，

又∵∠A=90°，

∴∠ANE=45°，

∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，

又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，

∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，

∴△DNE≌△EBF（ASA），

∴DE=EF，NE=BF．

（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），

連接NE，則點(diǎn)N可使得NE=BF．

此時DE=EF．

證明方法同（1），證△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°,

∴∠DBC=30°,

∴BC=2CD=6cm.

由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,

∴∠ABC=∠C=60°,

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC=30°,

∴∠ABD=∠ADB,

∴AD=AB=3cm.

（2）當(dāng)P、Q分別從B、C同時出發(fā)運(yùn)動t秒時，BP=2t，CQ=t,

∴PC=6-2t,

過Q作QE⊥BC于E，則QE=CQsin60°=SKIPIF1<0t,

∴S梯形ABCD-S△PCQ=SKIPIF1<0-SKIPIF1<0（6-2t）t=SKIPIF1<0（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.

（3）存在時刻t，使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5.

∵S梯形ABCD=SKIPIF1<0，S△ABD=SKIPIF1<0×3×SKIPIF1<0×3,

∴S△ABD=SKIPIF1<0×S梯形ABCD,

∴五邊形ABPQD的面積不可能是梯形ABCD面積的SKIPIF1<0.

∴S△PCQ：S五邊形ABPQD=1：5，

即S五邊形ABPQD=SKIPIF1<0S梯形ABCD

∴SKIPIF1<0（2t2-6t+27）=SKIPIF1<0×SKIPIF1<0,

整理得：4t2-12t+9=0,

∴t=SKIPIF1<0，即當(dāng)t=SKIPIF1<0秒時，PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四邊形ABCD為正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四邊形PFOE為矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三個小正方形的邊長為x，y，z，我們通過x，y，z表示其余