大學(xué)文科數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)

一、選擇題（每小題3分，共15分）.下列函數(shù)為初等函數(shù)的是（B）(A).7sinx-2(B).y=22-cosx(C).y=<.當(dāng)x-0時，與sinx等價的無窮小是（A）(A)x2+x(B)xsinx(C)3tanx(D)2x.設(shè)尸(0)存在，則limf(0)一fl)=(D)xf0 x(A)一/(0) (B)一2/(0) (C)2f'(0) (D)/(0).物體在某時刻的瞬時速度，等于物體運動在該時刻的(D)(A)函數(shù)值(B)極限(C)積分 (D)導(dǎo)數(shù).若f(x)的導(dǎo)函數(shù)是sinx，則f(x)有一個原函數(shù)為(C)(A)1+cosx(B)x+sinx(C) x-sinx (D)1-8sx填空題（每小題3分，共15分）cosx,x<0.設(shè)函數(shù)f(x)=\ 、八在x=0點連續(xù)，則a= -1Ix一a,x>0.設(shè)f(x)=x2,則Uf'[f(x)]= 2x23．sinxlim3．xf+8x.曲線y=1在點（1,1）處的法線方程為x.j(1-cosx)dx=x-sinx+c三、計算題（每小題5分，共40分）.求函數(shù)f(x)=ln(2x-1)+J2的定義域.

n l—T LLr、I一1L^ 1LJ\、，I31解：9-X2>0且2x-1>0,所以函數(shù)f(x)=ln(2x-1)+ 的定乂域：—<x<3J9-X2 2.設(shè)y=ln(2-X)，求其反函數(shù)解：由ey=2-x得x=2+ey所以函數(shù)y=ln(2-x)的反函數(shù)是：y=2+ex,xe(-8,+s).求極限lim空二1)x-0sin2x解：limx(ex_1)=limxlimex~-二1"lim&=1x-0sin2x x-0sinxx-0x x-01.求極限limtanx-xx-0 x3解：tanx-x解：tanx-x sec2x-1lim -lim x-0 x3 x-0 3x21-cos2xsin2x=lim =lim x-03x2cos2xx-03x2.已矢口y=ln(x2+1)-lnx，求dy解：因為y'=工-1所以dy=上二Ldxx2+1x x(x2+1).求y=e2xcosx的微分y解：y=2e2xcosx-e2xsinx=e2x(2cosx-sinx).求不定積分J1-xdxx2解：J3dx=J

解：J3dx=J

x21-1dx二x2xJ—dx-

x2J1dx=-

x--ln|x|+Cx.求定積分Jex2lnxdx1解：Jex解：Jex2lnxdx=1x3lnx3x3■?=1(2e3+1)91四、綜合應(yīng)用題(每小題10分，共30分)1.證明方程x.2x-1=0至少有一個小于1的正實數(shù)根.解：令f(x)=x.2x-1,f(0)=-1<0,f(D=1>0,f(x)閉區(qū)間［0,1］上連續(xù)，由根的存在性定理，有&e(0,1)，使得fG)=0，即x.2x-1=0至少有一個小于1的正實數(shù)根.欲做一個體積為72立方厘米的帶蓋箱子，其底面長方形的兩邊成一比二的關(guān)系，怎樣做法所用的材料最??？解：設(shè)底面長方形的兩邊的邊長為X厘米，2X厘米，則高為二=36厘米x.2xx2表面積S=(x.2x).2+(x.36).2+(2x.36).2=4x2+216X2 X2 X求導(dǎo)S,=8x-216=0x2所以在區(qū)間(0,+8)上只有唯一的駐點x=3又因為在實際問題中存在最值，所以駐點X=3就是所求的最值點。即當(dāng)?shù)酌孢呴L為3厘米，6厘米，高為4厘米時所用的材料最省。.求由曲線y=1與直線y二4x及X二2所圍成的平面圖形的面積.x解：由曲線y=1與直線y=4X得到交點