（浙江專用）2023年高考數(shù)學總復習第六章不等式第3講基本不等式學案

PAGE1-第3講根本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)最新考綱1.了解根本不等式的證明過程；2.會用根本不等式解決簡單的最大(小)值問題.知識梳理1.根本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)根本不等式成立的條件：a≥0，b≥0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號.(3)其中eq\f(a＋b,2)稱為正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)稱為正數(shù)a，b的幾何平均數(shù).2.幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.(2)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.(3)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))eq\s\up12(2)(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號.(4)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號.3.利用根本不等式求最值x≥0，y≥0，那么(1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，x＋y有最小值是2eq\r(p)(簡記：積定和最小).(2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y(tǒng)時，xy有最大值是eq\f(s2,4)(簡記：和定積最大).診斷自測1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“√〞或“×〞)(1)當a≥0，b≥0時，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab).()(2)兩個不等式a2＋b2≥2ab與eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是相同的.()(3)函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)的最小值是2.()(4)函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值為2.()(5)x＞0且y＞0是eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2的充要條件.()解析(2)不等式a2＋b2≥2ab成立的條件是a，b∈R；不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立的條件是a≥0，b≥0.(3)函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x)值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，沒有最小值.(4)函數(shù)f(x)＝sinx＋eq\f(4,sinx)的最小值為－5.(5)x>0且y>0是eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2的充分條件.答案(1)√(2)×(3)×(4)×(5)×2.設(shè)x>0，y>0，且x＋y＝18，那么xy的最大值為()A.80 B.77 C.81 解析xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝81，當且僅當x＝y(tǒng)＝9時等號成立，應選C.答案C3.(2022·福建卷)假設(shè)直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)過點(1，1)，那么a＋b的最小值等于()A.2 B.3 C.4解析因為直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1(a＞0，b＞0)過點(1，1)，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1.所以a＋b＝(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2＋2eq\r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，當且僅當a＝b＝2時取“＝〞，應選C.答案C4.假設(shè)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a處取最小值，那么a等于()A.1＋eq\r(2) B.1＋eq\r(3) C.3 D.4解析當x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(〔x－2〕×\f(1,x－2))＋2＝4，當且僅當x－2＝eq\f(1,x－2)(x>2)，即x＝3時取等號，即當f(x)取得最小值時，即a＝3，選C.答案C5.(必修5P100A2改編)一段長為30m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18m，那么這個矩形的長為______m，寬為________m時菜園面積最大.解析設(shè)矩形的長為xm，寬為ym.那么x＋2y＝30，所以S＝xy＝eq\f(1,2)x·(2y)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(225,2)，當且僅當x＝2y，即x＝15，y＝eq\f(15,2)時取等號.答案15eq\f(15,2)6.(2022·浙江五校聯(lián)考)正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，那么x－y的取值范圍為________，eq\f(1,x)＋eq\f(x,y)的最小值為________.解析∵正數(shù)x，y滿足x＋y＝1，∴y＝1－x，0<x<1，∴－y＝－1＋x，∴x－y＝2x－1，又0<x<1，∴0<2x<2，∴－1<2x－1<1，即x－y的取值范圍為(－1，1).eq\f(1,x)＋eq\f(x,y)＝eq\f(x＋y,x)＋eq\f(x,y)＝1＋eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥1＋2eq\r(\f(y,x)·\f(x,y))＝1＋2＝3，當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(1,2)時取“＝〞；∴eq\f(1,x)＋eq\f(x,y)的最小值為3.答案(－1，1)3考點一配湊法求最值【例1】(1)x＜eq\f(5,4)，求f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值；(2)求函數(shù)y＝eq\f(\r(x－1),x＋3＋\r(x－1))的最大值.解(1)因為x＜eq\f(5,4)，所以5－4x＞0，那么f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2eq\r(〔5－4x〕\f(1,5－4x))＋3＝－2＋3＝1.當且僅當5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時，等號成立.故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值為1.(2)令t＝eq\r(x－1)≥0，那么x＝t2＋1，所以y＝eq\f(t,t2＋1＋3＋t)＝eq\f(t,t2＋t＋4).當t＝0，即x＝1時，y＝0；當t＞0，即x＞1時，y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)，因為t＋eq\f(4,t)≥2eq\r(4)＝4(當且僅當t＝2時取等號)，所以y＝eq\f(1,t＋\f(4,t)＋1)≤eq\f(1,5)，即y的最大值為eq\f(1,5)(當t＝2，即x＝5時y取得最大值).規(guī)律方法(1)應用根本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正〞“二定〞“三相等〞.所謂“一正〞是指正數(shù)，“二定〞是指應用根本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等〞是指滿足等號成立的條件.(2)在利用根本不等式求最值時，要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用根本不等式.【訓練1】(1)(2022·麗水模擬)假設(shè)對任意的x≥1，不等式x＋eq\f(1,x＋1)－1≥a恒成立，那么實數(shù)a的取值范圍是________.(2)函數(shù)y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值為________.解析(1)因為函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)－1在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)＝x＋1＋eq\f(1,x＋1)－2在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以函數(shù)g(x)在[1，＋∞)的最小值為g(1)＝eq\f(1,2)，因此對?x≥1不等式x＋eq\f(1,x＋1)－1≥a恒成立，所以a≤g(x)最小值＝eq\f(1,2)，故實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2))).(2)y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(〔x2－2x＋1〕＋〔2x－2〕＋3,x－1)＝eq\f(〔x－1〕2＋2〔x－1〕＋3,x－1)＝(x－1)＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2.當且僅當x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝eq\r(3)＋1時，等號成立.答案(1)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))(2)2eq\r(3)＋2考點二常數(shù)代換或消元法求最值【例2】(1)假設(shè)正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，那么3x＋4y的最小值為________.(2)x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，那么x＋3y的最小值為________.解析(1)法一由x＋3y＝5xy可得eq\f(1,5y)＋eq\f(3,5x)＝1，∴3x＋4y＝(3x＋4y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5y)＋\f(3,5x)))＝eq\f(9,5)＋eq\f(4,5)＋eq\f(3x,5y)＋eq\f(12y,5x)≥eq\f(13,5)＋eq\f(12,5)＝5(當且僅當eq\f(3x,5y)＝eq\f(12y,5x)，即x＝1，y＝eq\f(1,2)時，等號成立)，∴3x＋4y的最小值是5.法二由x＋3y＝5xy，得x＝eq\f(3y,5y－1)，∵x>0，y>0，∴y>eq\f(1,5)，∴3x＋4y＝eq\f(9y,5y－1)＋4y＝eq\f(13\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5)))＋\f(9,5)＋\f(4,5)－4y,5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5))))＋4y＝eq\f(13,5)＋eq\f(9,5)·eq\f(\f(1,5),y－\f(1,5))＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,5)))≥eq\f(13,5)＋2eq\r(\f(36,25))＝5，當且僅當y＝eq\f(1,2)時等號成立，∴(3x＋4y)min＝5.(2)由得x＝eq\f(9－3y,1＋y).法一(消元法)因為x＞0，y＞0，所以0＜y＜3，所以x＋3y＝eq\f(9－3y,1＋y)＋3y＝eq\f(12,1＋y)＋3(y＋1)－6≥2eq\r(\f(12,1＋y)·3〔y＋1〕)－6＝6，當且僅當eq\f(12,1＋y)＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3時，(x＋3y)min＝6.法二∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝eq\f(1,3)x·(3y)≤eq\f(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋3y,2)))eq\s\up12(2)，當且僅當x＝3y時等號成立.設(shè)x＋3y＝t＞0，那么t2＋12t－108≥0，∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故當x＝3，y＝1時，(x＋3y)min＝6.答案(1)5(2)6規(guī)律方法條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據(jù)條件建立兩個量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)代換的方法構(gòu)造和或積為常數(shù)的式子，然后利用根本不等式求解最值；三是對條件使用根本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解.易錯警示(1)利用根本不等式求最值，一定要注意應用條件；(2)盡量防止屢次使用根本不等式，假設(shè)必須屢次使用，一定要保證等號成立的條件一致.【訓練2】(1)x>0，y>0且x＋y＝1，那么eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)的最小值為________.(2)(2022·東陽檢測)正數(shù)x，y滿足x＋2y－xy＝0，那么x＋2y的最小值為()A.8 B.4 C.2 D.0解析(1)(常數(shù)代換法)因為x>0，y>0，且x＋y＝1，所以eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))(x＋y)＝10＋eq\f(8y,x)＋eq\f(2x,y)≥10＋2eq\r(\f(8y,x)·\f(2x,y))＝18，當且僅當eq\f(8y,x)＝eq\f(2x,y)，即x＝2y時等號成立，所以當x＝eq\f(2,3)，y＝eq\f(1,3)時，eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)有最小值18.(2)由x＋2y－xy＝0，得eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)＝1，且x>0，y>0.∴x＋2y＝(x＋2y)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)＋4≥4＋4＝8.答案(1)18(2)A考點三根本不等式在實際問題中的應用【例3】運貨卡車以每小時x千米的速度勻速行駛130千米，按交通法規(guī)限制50≤x≤100(單位：千米/時).假設(shè)汽油的價格是每升2元，而汽車每小時耗油eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))升，司機的工資是每小時14元.(1)求這次行車總費用y關(guān)于x的表達式；(2)當x為何值時，這次行車的總費用最低，并求出最低費用的值.解(1)設(shè)所用時間為t＝eq\f(130,x)(h)，y＝eq\f(130,x)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(x2,360)))＋14×eq\f(130,x)，x∈[50，100].所以，這次行車總費用y關(guān)于x的表達式是y＝eq\f(130×18,x)＋eq\f(2×130,360)x，x∈[50，100](或y＝eq\f(2340,x)＋eq\f(13,18)x，x∈[50，100]).(2)y＝eq\f(130×18,x)＋eq\f(2×130,360)x≥26eq\r(10)，當且僅當eq\f(130×18,x)＝eq\f(2×130,360)x，即x＝18eq\r(10)時等號成立.故當x＝18eq\r(10)千米/時，這次行車的總費用最低，最低費用的值為26eq\r(10)元.規(guī)律方法(1)設(shè)變量時一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用根本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時，一定要在定義域(使實際問題有意義的自變量的取值范圍)求解.【訓練3】(2022·湖州月考)某項研究說明：在考慮行車平安的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)，平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l).(1)如果不限定車型，l＝6.05，那么最大車流量為______輛/時；(2)如果限定車型，l＝5，那么最大車流量比(1)中的最大車流量增加________輛/時.解析(1)當l＝6.05時，F(xiàn)＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20×6.05)，∴F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋121)＝eq\f(76000,v＋\