（全國通用）2023屆高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第七章不等式7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題學(xué)案

PAGEPAGE1§7.3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題最新考綱考情考向分析1.會從實際情境中抽象出二元一次不等式組．2.了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組．3.會從實際情境中抽象出一些簡單的二元一次線性規(guī)劃問題，并能加以解決.以畫二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域、目標(biāo)函數(shù)最值的求法為主，兼顧由最優(yōu)解(可行域)情況確定參數(shù)的范圍，以及簡單線性規(guī)劃問題的實際應(yīng)用，加強轉(zhuǎn)化與化歸和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用意識．本節(jié)內(nèi)容在高考中以選擇、填空題的形式進行考查，難度中低檔.1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線Ax＋By＋C＝0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域．我們把直線畫成虛線，以表示區(qū)域不包括邊界直線．當(dāng)我們在坐標(biāo)系中畫不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面區(qū)域時，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，那么把邊界直線畫成實線．(2)對于直線Ax＋By＋C＝0同一側(cè)的所有點，把它的坐標(biāo)(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符號都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個特殊點(x0，y0)作為測試點，由Ax0＋By0＋C的符號即可斷定Ax＋By＋C>0表示的是直線Ax＋By＋C＝0哪一側(cè)的平面區(qū)域．2．線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題3．重要結(jié)論畫二元一次不等式表示的平面區(qū)域的直線定界，特殊點定域：(1)直線定界：不等式中無等號時直線畫成虛線，有等號時直線畫成實線．(2)特殊點定域：假設(shè)直線不過原點，特殊點常選原點；假設(shè)直線過原點，那么特殊點常選取(0,1)或(1,0)來驗證．知識拓展1．利用“同號上，異號下〞判斷二元一次不等式表示的平面區(qū)域?qū)τ贏x＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，那么有(1)當(dāng)B(Ax＋By＋C)>0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的上方；(2)當(dāng)B(Ax＋By＋C)<0時，區(qū)域為直線Ax＋By＋C＝0的下方．2．最優(yōu)解和可行解的關(guān)系題組一思考辨析1．判斷以下結(jié)論是否正確(請在括號中打“√〞或“×〞)(1)二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的交集．(√)(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面區(qū)域一定在直線Ax＋By＋C＝0的上方．(×)(3)點(x1，y1)，(x2，y2)在直線Ax＋By＋C＝0同側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，異側(cè)的充要條件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.(√)(4)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy<0表示．(√)(5)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是唯一的．(×)(6)最優(yōu)解指的是使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．(√)(7)目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(b≠0)中，z的幾何意義是直線ax＋by－z＝0在y軸上的截距．(×)題組二教材改編2．[P86T3]不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋6≥0，,x－y＋2<0))表示的平面區(qū)域是()答案B解析x－3y＋6≥0表示直線x－3y＋6＝0及其右下方局部，x－y＋2<0表示直線x－y＋2＝0的左上方局部，故不等式組表示的平面區(qū)域為選項B中的陰影局部．3．[P91T2]投資生產(chǎn)A產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金200萬元，需場地200平方米；投資生產(chǎn)B產(chǎn)品時，每生產(chǎn)100噸需要資金300萬元，需場地100平方米．現(xiàn)某單位可使用資金1400萬元，場地900平方米，那么上述要求可用不等式組表示為__________________．(用x，y分別表示生產(chǎn)A，B產(chǎn)品的噸數(shù)，x和y的單位是百噸)答案eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(200x＋300y≤1400，,200x＋100y≤900，,x≥0，,y≥0))解析用表格列出各數(shù)據(jù)AB總數(shù)產(chǎn)品噸數(shù)xy資金200x300y1400場地200x100y900所以不難看出，x≥0，y≥0,200x＋300y≤1400,200x＋100y≤900.題組三易錯自糾4．以下各點中，不在x＋y－1≤0表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A．(0,0) B．(－1,1)C．(－1,3) D．(2，－3)答案C解析把各點的坐標(biāo)代入可得(－1,3)不適合，應(yīng)選C.5．(2022·日照一模)變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y≤0，,x－2y＋3≥0，,x≥0，))那么z＝(eq\r(2))2x＋y的最大值為()A.eq\r(2)B．2eq\r(2)C．2D．4答案D解析作出滿足不等式組的平面區(qū)域，如圖陰影局部所示，令m＝2x＋y，那么當(dāng)m取得最大值時，z＝(eq\r(2))2x＋y取得最大值．由圖知直線m＝2x＋y經(jīng)過點A(1,2)時，m取得最大值，所以zmax＝(eq\r(2))2×1＋2＝4，應(yīng)選D.6．x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0，,x＋y≥0，,x≤3，))假設(shè)使得z＝ax＋y取最大值的點(x，y)有無數(shù)個，那么a的值為________．答案－1解析先根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影局部所示，當(dāng)直線z＝ax＋y和直線AB重合時，z取得最大值的點(x，y)有無數(shù)個，∴－a＝kAB＝1，∴a＝－1.題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域命題點1不含參數(shù)的平面區(qū)域問題典例(2022·黃岡模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，平面區(qū)域A＝{(x，y)|x＋y≤1，且x≥0，y≥0}，那么平面區(qū)域B＝{(x＋y，x－y)|(x，y)∈A}的面積為()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,4)答案B解析對于集合B，令m＝x＋y，n＝x－y，那么x＝eq\f(m＋n,2)，y＝eq\f(m－n,2)，由于(x，y)∈A，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(m＋n,2)＋\f(m－n,2)≤1，,\f(m＋n,2)≥0，,\f(m－n,2)≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤1，,m＋n≥0，,m－n≥0，))因此平面區(qū)域B的面積即為不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≤1，,m＋n≥0，,m－n≥0))所對應(yīng)的平面區(qū)域(陰影局部)的面積，畫出圖形可知，該平面區(qū)域的面積為2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×1))＝1，應(yīng)選B.命題點2含參數(shù)的平面區(qū)域問題典例假設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0，,x＋y≤a))表示的平面區(qū)域的形狀是三角形，那么a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥eq\f(4,3) B．0<a≤1C．1≤a≤eq\f(4,3) D．0<a≤1或a≥eq\f(4,3)答案D解析作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,2x＋y≤2，,y≥0))表示的平面區(qū)域(如圖中陰影局部所示)．由圖知，要使原不等式組表示的平面區(qū)域的形狀為三角形，只需動直線l：x＋y＝a在l1，l2之間(包含l2，不包含l1)或l3上方(包含l3)．應(yīng)選D.思維升華(1)求平面區(qū)域的面積對平面區(qū)域進行分析，假設(shè)為三角形應(yīng)確定底與高，假設(shè)為規(guī)那么的四邊形(如平行四邊形或梯形)，可利用面積公式直接求解，假設(shè)為不規(guī)那么四邊形，可分割成幾個三角形，分別求解再求和即可．(2)利用幾何意義求解的平面區(qū)域問題，也應(yīng)作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．跟蹤訓(xùn)練(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐標(biāo)平面內(nèi)表示的區(qū)域(用陰影局部表示)，應(yīng)是以下圖形中的()答案C解析由(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0.))畫出平面區(qū)域后，只有選項C符合題意．(2)約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,kx－y≤0))表示面積為1的直角三角形區(qū)域，那么實數(shù)k的值為()A．1B．－1C．0D．－2答案A解析由于x＝1與x＋y－4＝0不可能垂直，所以只有可能x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直或x＝1與kx－y＝0垂直．①當(dāng)x＋y－4＝0與kx－y＝0垂直時，k＝1，檢驗知三角形區(qū)域面積為1，即符合要求．②當(dāng)x＝1與kx－y＝0垂直時，k＝0，檢驗不符合要求．題型二求目標(biāo)函數(shù)的最值問題命題點1求線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例(2022·全國Ⅱ)設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋3y－3≤0，,2x－3y＋3≥0，,y＋3≥0，))那么z＝2x＋y的最小值是()A．－15B．－9C．1D．9答案A解析不等式組表示的可行域如圖中陰影局部所示．將目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y化為y＝－2x＋z，作出直線y＝－2x，并平移該直線知，當(dāng)直線y＝－2x＋z經(jīng)過點A(－6，－3)時，z有最小值，且zmin＝2×(－6)－3＝－15.應(yīng)選A.命題點2求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例(2022·山東)假設(shè)變量x，y滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0，))那么x2＋y2的最大值是()A．4B．9C．10D．12答案C解析滿足條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,2x－3y≤9，,x≥0))的可行域如圖陰影局部(包括邊界)所示，x2＋y2是可行域上動點(x，y)到原點(0,0)距離的平方，顯然，當(dāng)x＝3，y＝－1時，x2＋y2取得最大值，最大值為10.應(yīng)選C.命題點3求參數(shù)值或取值范圍A．－2B．－1C．1D．2答案C解析對于選項A，當(dāng)m＝－2時，可行域如圖(1)，直線y＝2x－z的截距可以無限小，z不存在最大值，不符合題意，故A不正確；對于選項B，當(dāng)m＝－1時，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如圖(2)，直線y＝2x－z的截距可以無限小，z不存在最大值，不符合題意，故B不正確；對于選項C，當(dāng)m＝1時，可行域如圖(3)，當(dāng)直線y＝2x－z過點A(2,2)時截距最小，z最大為2，滿足題意，故C正確；對于選項D，當(dāng)m＝2時，可行域如圖(4)，直線y＝2x－z與直線OB平行，截距最小值為0，z最大為0，不符合題意，故D不正確．應(yīng)選C.思維升華(1)先準(zhǔn)確作出可行域，再借助目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求目標(biāo)函數(shù)的最值．(2)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是非線性的函數(shù)時，常利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義來解題，常見代數(shù)式的幾何意義有①eq\r(x2＋y2)表示點(x，y)與原點(0,0)的距離，eq\r(x－a2＋y－b2)表示點(x，y)與點(a，b)的距離；②eq\f(y,x)表示點(x，y)與原點(0,0)連線的斜率，eq\f(y－b,x－a)表示點(x，y)與點(a，b)連線的斜率．(3)當(dāng)目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)時，要根據(jù)臨界位置確定參數(shù)所滿足的條件．跟蹤訓(xùn)練(1)實數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－6>0，,y≥\f(1,2)x－3，,x＋4y≤12，))那么z＝eq\f(y－3,x－2)的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2))) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,3))) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，＋∞))答案B解析不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影局部所示，z＝eq\f(y－3,x－2)表示點D(2,3)與平面區(qū)域內(nèi)2)，故由圖知，z＝eq\f(y－3,x－2)的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))，應(yīng)選B.(2)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y≤2，,y≥0，))假設(shè)z＝ax＋y的最大值為4，那么a等于()A．3 B．2C．－2 D．－3答案B解析根據(jù)條件，畫出可行域，如圖陰影局部所示．由z＝ax＋y，得y＝－ax＋z，直線的斜率k＝－a.當(dāng)0<k≤1，即－1≤a<0時，無選項滿足此范圍；當(dāng)k>1，即a<－1時，由圖形可知此時最優(yōu)解為點(0,0)，此時z＝0，不合題意；當(dāng)－1≤k<0，即0<a≤1時，無選項滿足此范圍；當(dāng)k<－1，即a>1時，由圖形可知此時最優(yōu)解為點(2,0)，此時z＝2a＋0＝4，得a＝2.題型三線性規(guī)劃的實際應(yīng)用問題典例某玩具生產(chǎn)公司每天方案生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個，生產(chǎn)一個衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個傘兵需4分鐘，總生產(chǎn)時間不超過10小時．假設(shè)生產(chǎn)一個衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個傘兵可獲利潤3元．(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個數(shù)x與騎兵個數(shù)y表示每天的利潤ω(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個數(shù)為100－x－y，所以利潤ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.(2)約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5x＋7y＋4100－x－y≤600，,100－x－y≥0，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y≤200，,x＋y≤100，,x≥0，y≥0，x，y∈N.))目標(biāo)函數(shù)為ω＝2x＋3y＋300，作出可行域，如圖陰影局部所示，作初始直線l0：2x＋3y＝0，平移l0，當(dāng)l0經(jīng)過點A時，ω有最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋3y＝200，,x＋y＝100，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝50，,y＝50.))∴最優(yōu)解為A(50,50)，此時ωmax＝550元．故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個，騎兵50個，傘兵0個時利潤最大，且最大利潤為550元．思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟(1)審題：仔細閱讀材料，抓住關(guān)鍵，準(zhǔn)確理解題意，明確有哪些限制條件，借助表格或圖形理清變量之間的關(guān)系．(2)設(shè)元：設(shè)問題中起關(guān)鍵作用(或關(guān)聯(lián)較多)的量為未知量x，y，并列出相應(yīng)的不等式組和目標(biāo)函數(shù)．(3)作圖：準(zhǔn)確作出可行域，平移找點(最優(yōu)解)．(4)求解：代入目標(biāo)函數(shù)求解(最大值或最小值)．(5)檢驗：根據(jù)結(jié)果，檢驗反應(yīng)．跟蹤訓(xùn)練(2022·全國Ⅰ)某高科技企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)品A和產(chǎn)品B需要甲、乙兩種新型材料．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5個工時；生產(chǎn)一件產(chǎn)品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3個工時．生產(chǎn)一件產(chǎn)品A的利潤為2100元，生產(chǎn)一件產(chǎn)品B的利潤為900元．該企業(yè)現(xiàn)有甲材料150kg，乙材料90kg，那么在不超過600個工時的條件下，生產(chǎn)產(chǎn)品A、產(chǎn)品B的利潤之和的最大值為________元．答案216000解析設(shè)生產(chǎn)A產(chǎn)品x件，B產(chǎn)品y件，根據(jù)所消耗的材料要求、工時要求等其他限制條件，得線性約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x≥0，x∈N*，,y≥0，y∈N*，))目標(biāo)函數(shù)z＝2100x＋900y.作出可行域為圖中的四邊形，包括邊界，頂點為(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)處取得最大值，zmax＝2100×60＋900×100＝216000(元)．線性規(guī)劃問題考點分析線性規(guī)劃是高考重點考查的一個知識點．這類問題一般有三類：①目標(biāo)函數(shù)是線性的；②目標(biāo)函數(shù)是非線性的；③最優(yōu)解求參數(shù)，處理時要注意搞清是哪種類型，利用數(shù)形結(jié)合解決問題．典例(2022·天津)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2≥0，,2x＋3y－6≥0，,3x＋2y－9≤0，))那么目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋5y的最小值為()A．－4B．6C．10D．17答案B解析由約束條件作出可行域如圖(陰影局部)所示，目標(biāo)函數(shù)可化為y＝－eq\f(2,5)x＋eq\f(1,5)z，在圖中畫出直線y＝－eq\f(2,5)x，平移該直線，易知經(jīng)過點A時z最?。种cA的坐標(biāo)為(3,0)，∴zmin＝2×3＋5×0＝6.應(yīng)選B.1．以下二元一次不等式組可表示圖中陰影局部平面區(qū)域的是()A.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1，,2x－y＋2≥0))B.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1，,2x－y＋4≤0))C.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥－2，,2x－y＋2≥0))D.eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y≥－2，,2x－y＋4≤0))答案C解析將原點坐標(biāo)(0,0)代入2x－y＋2，得2>0，于是2x－y＋2≥0所表示的平面區(qū)域在直線2x－y＋2＝0的右下方，結(jié)合所給圖形可知C正確．2．(2022·天津)設(shè)變量x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y≥0，,x＋2y－2≥0，,x≤0，,y≤3，))那么目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最大值為()A.eq\f(2,3)B．1C.eq\f(3,2)D．3答案D解析畫出可行域，如圖中陰影所示．由目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y，結(jié)合圖象易知y＝－x＋z過(0,3)點時z取得最大值，即zmax＝0＋3＝3.應(yīng)選D.3．直線2x＋y－10＝0與不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥0，,x－y≥－2，,4x＋3y≤20))表示的平面區(qū)域的公共點有()A．0個B．1個C．2個D．無數(shù)個答案B解析由不等式組畫出可行域的平面區(qū)域如圖陰影局部所示．直線2x＋y－10＝0恰過點A(5,0)，且其斜率k＝－2<kAB＝－eq\f(4,3)，即直線2x＋y－10＝0與平面區(qū)域僅有一個公共點A(5,0)．4．(2022·上海調(diào)研)假設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x＋2y－2≥0，,x－y＋2m≥0))表示的平面區(qū)域為三角形，且其面積等于eq\f(4,3)，那么m的值為()A．－3B．1C.eq\f(4,3)D．3答案B解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影局部，那么圖中A點縱坐標(biāo)yA＝1＋m，B點縱坐標(biāo)yB＝eq\f(2m＋2,3)，C點橫坐標(biāo)xC＝－2m∴S△ABD＝S△ACD－S△BCD＝eq\f(1,2)×(2＋2m)×(1＋m)－eq\f(1,2)×(2＋2m)×eq\f(2m＋2,3)＝eq\f(m＋12,3)＝eq\f(4,3)，∴m＝1或m＝－3，又∵當(dāng)m＝－3時，不滿足題意，應(yīng)舍去，∴m＝1.5．某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品．生產(chǎn)甲產(chǎn)品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生產(chǎn)乙產(chǎn)品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克．每桶甲產(chǎn)品的利潤是300元，每桶乙產(chǎn)品的利潤是400元．公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的方案中，要求每天消耗A、B原料都不超過12千克．通過合理安排生產(chǎn)方案，從每天生產(chǎn)的甲、乙兩種產(chǎn)品中，公司共可獲得的最大利潤是()A．1800元 B．2400元C．2800元 D．3100元答案C解析設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品x桶，乙種產(chǎn)品y桶，那么根據(jù)題意得x，y滿足的約束條件為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≤12，,2x＋y≤12，,x≥0，x∈N，,y≥0，y∈N.))設(shè)獲利z元，那么z＝300x＋400y.畫出可行域如圖陰影局部．畫出直線l：300x＋400y＝0，即3x＋4y＝0.平移直線l，從圖中可知，當(dāng)直線l過點M時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y＝12，,2x＋y＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4，))即M的坐標(biāo)為(4,4)，∴zmax＝300×4＋400×4＝2800(元)．應(yīng)選C.6．(2022·棗莊模擬)實數(shù)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,4x＋3y≤4，,y≥0，))那么ω＝eq\f(y＋1,x)的最小值是()A．－2 B．2C．－1 D．1答案D解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖陰影局部所示，ω＝eq\f(y＋1,x)的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點P(x，y)與定點A(0，－1)所在直線的斜率，由圖象可知當(dāng)P位于點D(1,0)時，直線AP的斜率最小，此時ω＝eq\f(y＋1,x)的最小值為eq\f(－1－0,0－1)＝1.應(yīng)選D.7．(2022·開封一模)假設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－y≥－1，,2x－y≤2，))且目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋2y僅在點(1,0)處取得最小值，那么a的取值范圍是()A．[－4,2] B．(－4,2)C．[－4,1] D．(－4,1)答案B解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影局部所示，直線z＝ax＋2y的斜率為k＝－eq\f(a,2)，從圖中可看出，當(dāng)－1<－eq\f(a,2)<2，即－4<a<2時，僅在點(1,0)處取得最小值，應(yīng)選B.8．(2022·河北“五個一名校聯(lián)盟〞質(zhì)檢)點P的坐標(biāo)(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤4，,y≥x，,x≥1，))過點P的直線l與圓C：x2＋y2＝14相交于A，B兩點，那么|AB|的最小值是________．答案4解析根據(jù)約束條件畫出可行域，如圖中陰影局部所示，設(shè)點P到圓心的距離為d，那么求最短弦長，等價于求到圓心的距離d最大的點，即為圖中的P點，其坐標(biāo)為(1,3)，那么d＝eq\r(12＋32)＝eq\r(10)，此時|AB|min＝2eq\r(14－10)＝4.9．(2022·全國Ⅲ)假設(shè)x，y滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0，))那么z＝3x－4y的最小值為________．答案－1解析不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋y－2≤0，,y≥0))表示的可行域如圖陰影局部所示．由z＝3x－4y，得y＝eq\f(3,4)x－eq\f(1,4)z.平移直線y＝eq\f(3,4)x，易知經(jīng)過點A時，直線在y軸上的截距最大，z有最小值．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))∴A(1,1)．∴zmin＝3－4＝－1.10．(2022·滕州模擬)O是坐標(biāo)原點，點M的坐標(biāo)為(2,1)，假設(shè)點N(x，y)為平面區(qū)域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤2，,x≥\f(1,2)，,y≥x))上的一個動點，那么eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))的最大值是________．答案3解析依題意，得不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影局部所示，其中Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2)))，C(1,1)．設(shè)z＝eq\o(OM,\s\up6(→))·eq\o(ON,\s\up6(→))＝2x＋y，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z＝2x＋y過點C(1，1)時，z＝2x＋y取得最大值3.11．(2022·衡水中學(xué)月考)假設(shè)直線y＝2x上存在點(x，y)滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m，))那么實數(shù)m的最大值為____________．答案1解析約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3≤0，,x－2y－3≤0，,x≥m))表示的可行域如圖中陰影局部所示．當(dāng)直線x＝m從如下圖的實線位置運動到過A點的虛線位置時，m取最大值．解方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－3＝0，,y＝2x))得A點坐標(biāo)為(1,2)．∴m的最大值為1.12．假設(shè)點(1,1)在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx＋ny≤2，,ny－mx≤2，,ny≥1))表示的平面區(qū)域內(nèi)，那么m2＋n2的取值范圍是__________．答案[1,4]解析由點(1,1)在不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx＋ny≤2，,ny－mx≤2，,ny≥1))表示的平面區(qū)域內(nèi)可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＋n≤2，,n－m≤2，,n≥1，))畫出不等式組表示的平面區(qū)域(如圖陰影局部所示)，那么m2＋n2表示區(qū)域上的點到原點的距離的平方，所以1≤m2＋n2≤4.13．(2022·石家莊二模)在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤0，,x－y≤0，,x2＋y2≤r2))(r為常數(shù))表示的平面區(qū)域的面積為π，假設(shè)x，y滿足上述約束條件，那么z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)的最小值為()A．－1 B．－eq\f(5\r(2)＋1,7)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(7,5)答案D解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影局部所示，由題意，知eq\f(1,4)πr2＝π，解得r＝2.z＝eq\f(x＋y＋1,x＋3)＝1＋eq\f(y－2,x＋3)，易知eq\f(y－2,x＋3)表示可行域內(nèi)的點(x，y)與點P(－3,2)的連線的斜率，由圖可知，當(dāng)點(x，y)與點P的連線與圓x2＋y2＝r2相切時斜率最?。O(shè)切線方程為y－2＝k(x＋3)，即kx－y＋3k＋2＝0，那么有eq\f(|3k＋2|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(12,5)或k＝0(舍)，所以zmin＝1－eq\f(12,5)＝－eq\f(7,5)，應(yīng)選D.14．(2022·吉林質(zhì)檢)設(shè)P是不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x，y≥0，,x－y≥－1，,x＋y≤3))表示的平面區(qū)域內(nèi)的任意一點，向量m＝(1,1)，n＝(2,1)，假設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝λm＋μn，那么2λ＋μ的最大值為________．答案5解析首先根據(jù)約束條件畫出其所在的平面區(qū)域，如圖陰影局部所示．設(shè)點P(x，y)，然后由m＝(1,1)，n＝(2,1)，且eq\o(OP,\s\up6(→))＝λm＋μn，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝λ＋2μ，,y＝λ＋μ，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(μ＝x－y，,λ＝－x＋2y，))所以令z＝2λ＋μ＝(－x＋2y)×2＋(x－y)＝－x＋3y，最后根據(jù)圖形可得在點B處取得最大值，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1，))得B(1,2)，即zmax＝(2λ＋μ)max＝－1＋3×2＝5.15．(2022·河北衡水中學(xué)模擬)點P(x，y)的坐標(biāo)滿足約束條件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y>x，,y<2x＋1，))那么eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))的取值范圍為______．答案(－eq\r(2)，1]解析方法一作出不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤0，,y>x，,y<2x＋1))表示的平面區(qū)域，如圖中陰影局部所示，其中B(－1，－1)，C(0,1)．設(shè)A(1,1)，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))的夾角為θ，∵eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OP,\s\up6(→))＝x＋y，|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2)，∴cosθ＝eq\f(\o(OA,\s\up6(→))·\o(OP,\s\up6(→)),|\o(OA,\s\up6(→))||\o(OP,\s\up6(→))|)＝eq\f(x＋y,\r(2)×\r(x2＋y2))＝eq\f(\r(2),2)×eq\f(x＋y,\r(x2＋y2))，由圖可知∠AOC≤θ<∠AOB，即eq\f(π,4)≤θ<π，∴－1<cosθ≤eq\