高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)28 求空間距離

2222222222難點(diǎn)28求空間離空間中距離的求法是歷年高考考查的重點(diǎn)中以點(diǎn)與點(diǎn)點(diǎn)到線點(diǎn)到面的距離為基礎(chǔ)，求其他幾種距離一般化歸為這三種距●難點(diǎn)磁場(chǎng)(★★★★如圖，已知ABCD是形a,=b,⊥面ABCDPA=2Q是的中點(diǎn)求：(1)QBD的離；(2)P平面BQD的離●案例探究［例］把正方形ABCD沿角線折成直二面角，點(diǎn)、F分是AD、的點(diǎn)，點(diǎn)O是正方形的中心，求：長(zhǎng)；折起后∠的小.命題意圖：考查利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算來解決立體幾何問題，屬★★★★級(jí)題知識(shí)依托：空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積公.錯(cuò)解分析：建立正確的空間直角坐標(biāo)其中必須保證軸、y軸兩兩互相垂直.技巧與方法：建系方式有多種中O點(diǎn)原點(diǎn)，以O(shè)B、、OD的向分別為軸、y軸z的正方向最為簡(jiǎn)單解圖點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz,正方形ABCD邊為a,，－

22,0),BCa,0),),E－,),(442223(1)|EFa))aEF44222OE,a),OF,,0)4222aa)()a4444aaOE1|OE,|OF,cosOEOF22|||OF|

,0)∴∠EOF=120°［例］正方體—ACD的棱長(zhǎng)為，求異面直線AC與間的距離.112111132222211121111322222111命題意圖：本題主要考查異面直線間距離的求法，屬★★★級(jí)題.知識(shí)依托求面直線的距離可求兩異面直線的公垂線，或轉(zhuǎn)化為求線面距離面面距離，亦可由最值法求錯(cuò)解分析：本題容易錯(cuò)誤認(rèn)為B是A與的離，這主要是對(duì)異面直線定義不1熟悉，異面直線的距離是與兩條異面直線垂直相交的直線上垂足間的距.技巧與方法：求異面直線的距離，有時(shí)較難作出它們的公垂線，故通常采用化歸思想，轉(zhuǎn)化為求線面距、面面距、或由最值法求解法一：如圖，連結(jié)，在正方體中∵AC∥AC∴A∥面C，111111與平面ABC間距離等于異面直線A與間距離.11連結(jié)、，設(shè)D∩CO∩ACO111∵⊥BDAC⊥DD，∴⊥平面BBD11∴平面C⊥平面DD，連，則平面ABC∩面BBD=B11111作G于G，則G⊥平面ABC111∴OG為線AC與面間距離，即為異面線A與AB間的距111111在eq\o\ac(△,Rt)OOB中∵OB111

，OO=1，∴OB=OOB=2∴OG1

OOB111OB1

3，即異面直線AC與間距離為.11解法二如在C任取一點(diǎn)作AB于作MRAB于R連RN1111∵平面BD⊥平面ABB，MR平面ABB，MR1111∵AB⊥RN，設(shè)R則=1－x111∵∠CA=AB°，111∴=NB1

(1)MNMRRN)

1(x)(0＜x＜1)3∴當(dāng)x=

13

3時(shí)，MN有小值即異面直線AC與距為.3●錦囊妙記空間中的距離主要指以下七種：兩點(diǎn)之間的距離.點(diǎn)到直線的距離.點(diǎn)到平面的距離.兩條平行線間的距離.兩條異面直線間的距.平面的平行直線與平面之間的距兩個(gè)平行平面之間的距離.七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離.種距離之間有密切聯(lián)系有些可以相互轉(zhuǎn)化兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面的距.在七種距離中，求點(diǎn)到平面的距離是重點(diǎn)，求兩條異面直線間的距離是難求點(diǎn)到平面的距離：直接法，即直接由點(diǎn)作垂線，垂線段的轉(zhuǎn)移法，轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離.體積法求異面直線的距離：(1)定法，即求公垂線段的長(zhǎng).(2)轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離.(3)函數(shù)極值法，依據(jù)是兩條異面直線的距離是分別在兩條異面直線上兩點(diǎn)間距離中最小●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題★★★★正方形ABCD邊為、F分是和CD的中點(diǎn)，將正方形沿EF折成直二面(如圖，M為矩形AEFD內(nèi)點(diǎn)，如果=MB和面BCF所成角的正切值為，么點(diǎn)M到線的離()

1★★★★三柱ABCAB中AA=1=4∠ABC=90,平面11111與平面ABC的線為l，則AC與l的離()110

11

二、填空題如左下圖，空間四點(diǎn)、、、中，每?jī)牲c(diǎn)所連線段的長(zhǎng)都等于，動(dòng)點(diǎn)P在段上，動(dòng)點(diǎn)Q在段CD，則與的短距離★★★★)如右上圖，與ABEF均正方形，如果二面角E——C的數(shù)為30，那么與面ABCD的距離三、解答題★★★★在長(zhǎng)方體ABCD—BCD中，，CC，如圖：1111(1)求證：平面BC∥面；111求(1)中兩個(gè)平行平面間的距離；求點(diǎn)到面A的距離11★★★★★已知正四棱柱ABCD—BD點(diǎn)在棱D上11截面∥D且面與面ABCD所成的角為45,AB=a求1截面的面；異面直線B與AC之的距離；11(3)三棱錐—的體.1★★★★)如圖，已知三棱柱AB—的底面是邊長(zhǎng)為2的11正三角形，側(cè)棱A與AC均45角，且A⊥B于E，AF1111⊥于F.1(1)求點(diǎn)到平面B的距離；11(2)當(dāng)AA多時(shí)，點(diǎn)A到面與面BBCC的離相111★★★★如圖，在梯形中，AD，∠ABC

=AD∠=arccos

,⊥面ABCD且PA=.求異面直線AD與的距離；在線段AD是否存在一點(diǎn)F，點(diǎn)到平面的離為參考答案難點(diǎn)磁場(chǎng)解：(1)在矩形，作⊥BD為足

22)c22)c2AABD22連結(jié)QE，∵⊥平面ABCD，由三垂線定理得⊥BE∴QE的為Q到BD的離在矩形ABCD中，=aAD∴AE22在eq\o\ac(△,Rt)QAE中QA∴QE=

c∴Q到BD距離為c

b(2)解法一：∵平面BQD經(jīng)線段PA的點(diǎn)∴到面的離于到面的離在△中作⊥，H為垂足∵⊥⊥∴BD平面AQEBDAH∴⊥平面，A到平面的在eq\o\ac(△,Rt)AQE中∵==

∴=

abc(

2∴到面BD距離為

abc()b解法二：設(shè)點(diǎn)A到平面QBD的離為h由V=V得

S△·=·BQDeq\o\ac(△,S)ABD=

S

ABDS

abc(a)b殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：過點(diǎn)M作MM′,MM′⊥平面∵∠MBE=∠∴BM為∠為角平分線，∴∠EBM=45BM=從而MN

答案：A解析：線l過B與平行，作CDl于，連D，則D為A與l距離，111而CD等于AC上高，即=

13,Rteq\o\ac(△,C)eq\o\ac(△,)易求得=1121BC11EAC21BC11EAC答案：二、3.解析：以、B、D為點(diǎn)的四形為空間四邊形，且為正四面體，取P、Q分別為、的中點(diǎn)，因?yàn)锳QBQ

a∴⊥同理可得⊥，故線段的長(zhǎng)為P兩間的最短距離eq\o\ac(△,Rt)APQ中PQ=AQ(

2))22

答案：

解析∠FAD二面角E—AB—的面°過F作⊥平面于，必在AD上由EF平面ABCD.∴EF與面ABCD的距離即FG答案：

三、證：由于∥AD，BC∥平面ACD1同理，A∥平面ACD，平面∥面ACD11111(2)解：設(shè)兩平行平面ABC與間的距離為d則等D到平面的離111易求AC=5B=25BC13ABC=111

265

則11

6165

則S

BC

=,由于

D

BC

1，則=ADD)BB,入求得d=332

61

即兩平行平面間的距離為

(3)解：由于線段D被平面所分則D到面A的離相等，則由1111知點(diǎn)B到面ABC的距離等于11

解：(1)連結(jié)DB交于O連結(jié)，∵底面ABCD是方形∴DO，ED面ABCD∴EO⊥，即∠EOD=45又DO

DO，=2，==，∴=2(2)∵A⊥底面ABCD，∴⊥，又AA⊥AB11∴A是面直線與間公垂線111又EO∥，O為BD中，BEO=21∴D2，∴A與距為211(3)連結(jié)交于，交EO于Q，推證出BD⊥面EAC1∴是棱錐—的高，得Q11

V

BEAC

32aa2

11111111解：(1)∵BB⊥A，CC⊥FBBCC11111∴BB⊥面AEF11即面EF⊥面BBCC1在eq\o\ac(△,Rt)AEB中，11∵∠A=45°，A=11∴=1

2,理AFa又EF=，∴AE=a2同理F又=a∴eq\o\ac(△,EA)eq\o\ac(△,)F等腰直角三角形，EA=901過作ANEF，則N為點(diǎn)，且AN⊥平面1111即N點(diǎn)A到面B的距離11∴N2又∵AA∥面BCCB，A到面的距離為111

∴a=2，∴所求距離為2(2)設(shè)、C的點(diǎn)分別為D、，連結(jié)AD、和AD則DD必點(diǎn)N易證11111為行四邊.1∵CDD,BC⊥N1111∴C⊥面1∴⊥平面ADD1得平面ABC平面ADD，作A⊥平面，M11若=AN又∠=∠A，∠AMA=ND=90111∴△AMA≌eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)∴=D=即AA3滿足條件111解：(1)∵∥AD,面∴∥面PBC從而AD與PC間距離就是直線AD與面PBC間距過作AE⊥，又AEBC∴AE平面PBCAE為求.在等腰直角三角形PAB中=AB∴AE

(2)作CM，由已知cos1∴tan即CM=DM

∴為方形，AC=a,PC過作AHPC,在eq\o\ac(△,Rt)PAC中，得=

下面在AD找一點(diǎn)，PCCF取MD中，、△FCM均等腰直角三角形∴∠+FCM=45°°°∴⊥AC即FCPC在存在滿足條件的點(diǎn)F［學(xué)法指導(dǎo)］立體幾何中的策略思想及方法立體幾何中的策略思想及方法近年來，高考對(duì)立體幾何的考查仍然注重于空間觀點(diǎn)的建立和空間想象能力的培養(yǎng)目起點(diǎn)低，步步升高，給不同層次的學(xué)生有發(fā)揮能力的余地.題綜合性強(qiáng)，有幾何組合體中深層次考查空間的線面關(guān)系.因此，高考復(fù)習(xí)應(yīng)在抓好基本概念、定理、表述語言的基礎(chǔ)上總空間線面關(guān)系在幾何中的確定方法入手出數(shù)學(xué)思想方法在解題中的指導(dǎo)作用，并積極探尋解答各類立體幾何問題的有效的策略思想及方一、領(lǐng)悟解題的基本策略思想高考改革穩(wěn)中有變.運(yùn)用基本數(shù)學(xué)思想如轉(zhuǎn)化，類比，函數(shù)觀點(diǎn)仍是考查中，選擇好典型例題本學(xué)思想指導(dǎo)一套合乎一般思維規(guī)律的解題模式是受學(xué)生歡迎的，學(xué)生通過熟練運(yùn)用，逐步內(nèi)化為自己的經(jīng)驗(yàn)，解決一般基本數(shù)學(xué)問題就會(huì)自然流二、探尋立體幾何圖形中的基面