第九章第02節(jié)-第一類曲面積分

一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)類似求平面薄板質(zhì)量的思想,接受可得

“大化小,常代變,近似和,求極限”

的方法,其中,表示n小塊曲面的直徑的最大值(曲面的直徑為其上隨意兩點(diǎn)間距離的最大者).2.定義:設(shè)為光滑曲面,“乘積和式極限”都存在,的曲面積分其中f(x,y,z)叫做被積據(jù)此定義,曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為曲面面積為f(x,y,z)是定義在上的一個(gè)有界函數(shù),記作或第一類曲面積分.若對做隨意分割和局部區(qū)域隨意取點(diǎn),則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在曲面上對面積函數(shù),叫做積分曲面.則對面積的曲面積分存在.在光滑曲面上連續(xù),對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似.積分的存在性.假如是閉合曲面上的積分，習(xí)慣上寫成記作3.性質(zhì)【見書P86】1.定理:設(shè)有光滑曲面f(x,y,z)在上連續(xù),存在,且有二、對面積的曲面積分的計(jì)算法

則曲面積分證明:由定義知而(光滑)三代：二換：一投：則即類似的，還有公式.則則則2.奇偶函數(shù)在對稱曲面上的積分性質(zhì)1)若曲面關(guān)于xoy面對稱，1為在xoy面上方的部分，則有2)若曲面關(guān)于xoz面對稱3)若曲面關(guān)于yoz面對稱自己總結(jié)例1.計(jì)算曲面積分其中是球面被平面截出的頂部.解:思索:若是球面被平行平面z=±h截出的上下兩部分,則例2.

計(jì)算其中是由平面坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面.解:

設(shè)上的部分,則與原式=分別表示在平面例3.

計(jì)算其中是平面在第一卦限的部分.解1:從原式解出ABC【P87例1】例3.

計(jì)算其中是平面在第一卦限的部分.解2:所以原式ABC因?yàn)樵谏隙蚶?設(shè)計(jì)算解:錐面與上半球面交線為為上半球面夾于錐面間的部分,它在xoy面上的投影域?yàn)閯t機(jī)動書目上頁下頁返回結(jié)束思索:若例3中被積函數(shù)改為計(jì)算結(jié)果如何?例4.求半徑為R的勻整半球殼的重心.解:設(shè)的方程為利用對稱性可知重心的坐標(biāo)而用球坐標(biāo)思索題:例4是否可用球面坐標(biāo)計(jì)算?例5.計(jì)算解:取球面坐標(biāo)系,則機(jī)動書目上頁下頁返回結(jié)束例6.計(jì)算其中是球面利用對稱性可知解:明顯球心為半徑為利用重心公式例7.

計(jì)算其中是介于平面之間的圓柱面分析:若將曲面分為前后(或左右)則解:取曲面面積元素兩片,則計(jì)算較繁.【比較P87例2】例8.

求橢圓柱面位于xoy面上方及平面

z=y下方那部分柱面的側(cè)面積S.解:取說明：此題也可用曲線積分計(jì)算，見P84例5例9.

設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星,距地面高度

h=36000km,運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.(地球半徑R=6400km)解:

建立坐標(biāo)系如圖,覆蓋曲面的半頂角為,利用球坐標(biāo)系,則衛(wèi)星覆蓋面積為故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為由以上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了地球以上的面積,故運(yùn)用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球全表面.說明:此題也可用二重積分求A三、小結(jié)2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計(jì)算.1、對面積的曲面積分的概念;（依據(jù)曲面的不同狀況分為三種）留意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、重心公式簡化計(jì)算的技巧.思索題在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中,有因子,試說明這個(gè)因子的幾何意義.思索題解答是曲面元的面積,故是曲面法線與軸夾角的余弦的倒數(shù).設(shè)一卦限中的部分,則有().(2000考研)練習(xí)題練習(xí)題答案備用題1.已知曲面殼求此曲面殼在平面z＝1以上部分的的面密度質(zhì)量M.解:

在xoy面上的投影為

故2.設(shè)是四面體面,計(jì)算解:在四面體的四個(gè)面上同上平面方程投影域機(jī)動書目上頁下頁返回結(jié)束例1解解依對稱性知：例3解（左右兩片投影相同）例4解精品課件