2022年中考數(shù)學復習之小題狂練（解答題）：軌跡

2022年中考數(shù)學復習之小題狂練450題（解答題）：軌跡（10

題）

一.解答題（共10小題）

1.（2021?長沙模擬）如圖，已知在△ABC中，AC=5,BC=12,AB=13,點E是邊AB上

一動點，ERLAC于點凡ED_LBC于點。，點G為尸。的中點.

（1）求證：四邊形CDEF是矩形：

（2）當點E由點4運動到點B時，求點G的運動路徑長.

2.（2020?香洲區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（3,0）,點3的

坐標為（-3,0）.過點B的直線繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，過程中與），軸交于點C.過點

A作AO_L8C于點。，求在點C坐標由（0,遍）至IJ（0,3匾）的過程中點。運動的路

3.（2021?金華模擬）桔椽俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1,是我國古代農(nóng)用工具，桔棒始見

于（墨子?備城門），是一種利用杠桿原理的取水機械.如圖2所示的是桔椽示意圖，

是垂直于水平地面的支撐桿，AB是杠桿，且A8=5.4米，OA-.08=2：1.當點A位于

最高點時，/AOM=127°；當點A從最高點逆時針旋轉(zhuǎn)54.5°到達最低點Ai.（結(jié)果精

確到0.1〃?；參考數(shù)據(jù):sin37°-0.6,sin17.5°-0.3,tan37°*0.8）

（1）求此時水桶B所經(jīng)過的路徑長；

（2）求此時水桶B上升的高度.

4.（2021?江西模擬）圖1是可折疊啞鈴凳的示意圖，其側(cè)面可抽象成圖2,E,F為固定支

撐點，AB//CD,M為CH的中點，點N在C8處滑動，使靠背CH可繞點C轉(zhuǎn)動（100°

W/OCHW180。）.已知CH=90c〃i,AD^40cm,ZDAB=10°.

（1）當/OCH從最小角轉(zhuǎn)動到最大角時，求點M運動的路徑長.

（2）在點C轉(zhuǎn)動過程中，求，點到地面/的最大距離.（結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù):

sin700也0.94,cos700-0.34,tan70°弋2.75,sin80°七0.98,cos80°?0.17,tan80°

—5.67,11^3,14）

5.（2021?尋烏縣模擬）為了加強鍛煉，王老師家里買了是一張多功能的啞鈴凳，如圖（1）

所示，其側(cè)面可抽象成圖（2）,MN為支撐桿，M為靠背CH的中點，點N可在上滑

動，通過調(diào)節(jié)螺母可將點N固定在BC上六個孔位處，靠背CH隨之繞點C轉(zhuǎn)動，當點

N位于點E處時NDCH=100°,當點N位于點F處時，C7/〃AB,CH=90cm,AD=40cm,

ZDAB=10°,坐凳￡>C〃AB.

（1）當點N從點E滑動到點尸處時，求點M運動的路徑長.

（2）在CH轉(zhuǎn)動的過程中，求點H到水平地面/的最大距離.

（結(jié)果精確到O.lc/M.參考數(shù)據(jù)：sin70°?=0.94,cos70°-0.34,sin80°~0.98,cos80°

^0.17,ir^S.W)

圖⑵

6.（2021?灤州市一模）如圖，在△AOB中，/AOB=90°,AO=6,BO=/，以點O

為圓心，以2為半徑作優(yōu)弧DME，交A。于點￡>,交8。于點￡點時在優(yōu)弧DME上從點

。開始移動，到達點E時停止,

(1)當AM與優(yōu)弧DHE相切時，求線段AM的長;

(2)當MO//AB時，求點/在優(yōu)弧DME上移動的路線長及線段AM的長.

7.（2020?荊州）如圖，將aABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△QBE,點C的對應(yīng)點E恰

好落在48的延長線上，連接AQ.

(1)求證：BC//AD-,

（2）若AB=4,BC=\,求A,C兩點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和.

8.（2021?碑林區(qū)校級模擬）如圖①，是某小轎車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCZ）表示該車

的后備箱.在打開后備箱的過程中，箱蓋4OE可以繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角為

60°時，箱蓋AOE落在了A。'E'的位置（如圖②所示）.己知AD=80c”,DE=20cm,

EC=30cm.

(1)求點。'到BC的距離；

(2)求點E在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路線長.(結(jié)果保留根號和TT)

圖1圖2

9.(2019?惠山區(qū)二模)如圖，己知矩形A8CD中，4B=3,BC=5,P是線段BC上的一動

點.

(1)請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，按下列要求作圖：(不要求寫作法，但保留作圖痕跡),

在CD邊上確定一點E,使得NDEP+/APB=180°:

(2)在(1)的條件下，點P從點8移動到點C的過程中，對應(yīng)點E隨之運動，則移動

過程中點E經(jīng)過的總路程長為.

10.(2018?貴陽)如圖，48為。。的直徑，且A8=4,點C在半圓上，OCLAB,垂足為

點O,P為半圓上任意一點(不與點C重合)，過P點作PE_LOC于點E,設(shè)的

內(nèi)心為連接OM、PM.

(1)求/OMP的度數(shù)；

(2)當點P在半圓上從點8運動到點A時，求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長.

C

E--2^^

/

O

2022年中考數(shù)學復習之小題狂練450題(解答題)：軌跡(10

題)

參考答案與試題解析

一.解答題(共10小題)

1.(2021?長沙模擬)如圖，已知在△48C中，AC=5,8c=12,AB=13,點E是邊AB上

一動點，EFLAC于點尸，EDLBC于點。，點G為尸。的中點.

(1)求證：四邊形C0E尸是矩形；

(2)當點E由點4運動到點8時，求點G的運動路徑長.

【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理；矩形的判定與性質(zhì)；軌跡.

【專題】矩形菱形正方形；推理能力.

【分析】(1)根據(jù)勾股定理的逆定理得到/C=90°,根據(jù)矩形的判定定理證明結(jié)論；

(2)連接CE,根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點G為CE的中點，根據(jù)三角形中位線定理解答即

可.

【解答】(1)證明：［4C=5,BC=12,AB=13,

7^2+8^=169,4解=169,

.?.NC=90°,

,：EFLAC,EDLBC,

四邊形CQEF是矩形；

(2)連接CE,

,/四邊形CDEF是矩形，點G為尸。的中點，

二點G為CE的中點，

.?.點G的運動路徑是aABC的中位線，

...點G的運動路徑長=2AB=6.5.

【點評】本題考查的是點的軌跡、勾股定理的逆定理、矩形的判定，掌握矩形的判定定

理、點的軌跡的確定方法是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?香洲區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標系中，點4的坐標為（3,0）,點B的

坐標為（-3,0）.過點B的直線繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)，過程中與y軸交于點C.過點

A作AO_LBC于點D,求在點C坐標由（0,遍）至U（0,373）的過程中點。運動的路

【考點】軌跡；坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【專題】圓的有關(guān)概念及性質(zhì)；推理能力.

【分析】由題意可得點。在以。為圓心，OA為半徑的圓上，利用銳角三角函數(shù)可求/

BO￡>'=120°,/80力=60°,可求/。?！?gt;'=60°,由弧長公式可求解.

【解答】解：???點4的坐標為（3,0）,點B的坐標為（-3,0）,

.'.OA=OB—3,

；AD_LBC,

ZAZ）B=90°,

...點。在以。為圓心，0A為半徑的圓上，

如圖，當點。（0,V3）時，連接BC交。。于點。，

：.ZD,BO=30°,

*：BO=D'O,

：.ZBOD'=\20°,

tanNC80=線=土=如,

BO3

：.ZCBO=60°,

'：BO=DO,

：.ZB（?D=60°,

AZDOD'=60°,

?.?點C坐標由（0,M）到（0,3、用）,

.?.點D的運動的路徑長="±2￡2￡3=億

180°

【點評】本題考查了軌跡，圓的有關(guān)性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，求出/。0。=60°是本

題的關(guān)鍵.

3.（2021?金華模擬）桔椽俗稱“吊桿”“稱桿”，如圖1,是我國古代農(nóng)用工具，桔椽始見

于（墨子?備城門），是一種利用杠桿原理的取水機械.如圖2所示的是桔棒示意圖，OM

是垂直于水平地面的支撐桿，AB是杠桿，且AB=5.4米，OA：08=2：1.當點A位于

最高點時，ZAOM=]27°；當點A從最高點逆時針旋轉(zhuǎn)54.5°到達最低點Ai.（結(jié)果精

確到0.1/n；參考數(shù)據(jù)：sin37°-0.6,sin17.5°&0.3,tan37°g0.8）

（1）求此時水桶B所經(jīng)過的路徑長；

（2）求此時水桶5上升的高度.

【考點】軌跡；解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力.

【分析】（1）根據(jù)水桶B所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，

代入計算即可；

（2）過。作EF_LOM,過B作8C_LEF于C,過81作8iO_LEF于。，在RtZkOBC中

和在RtZ\O8iO中，分別利用三角函數(shù)求出BC和的長即可.

【解答】解：（1）丫48=5.4米,OA：08=2：1,

08=1.8米，

水桶B所經(jīng)過的路徑為圓心角度數(shù)為54.5度，半徑為1.8米的弧長，

.../=54.5X71X1.8。］7（米）；

180

（2）過。作EF_LOM,過8作BCJ_EP于C,過81作Bi￡>_LEF于。，

；/AOM=127°,ZEOM=90°,

；.NAOE=37°,

：.ZBOC=ZAOE=31°,ZB\OD=ZA\OE=U.5°,

；OBi=OB=1.8（米）,

在Rt^OBC中，5C=sinNOC8XO3=sin37°XOB=?0.6X1.8=1.08（米），

在Rt^OBiO中，BiD=sinl7.5°XO8i*0.3X1.8=0.54（米），

ABC+B\D=1.08+0.54^1.6（米），

【點評】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，弧長公式等知識，讀懂題意，構(gòu)造直角

三角形是解題的關(guān)鍵.

4.（2021?江西模擬）圖1是可折疊啞鈴凳的示意圖，其側(cè)面可抽象成圖2,E,尸為固定支

撐點，AB//CD,M為C”的中點，點N在C8處滑動，使靠背C”可繞點C轉(zhuǎn)動（100°

WNDCHW180°）.已知C”=90a",AD^AOcm,NDAB=1Q°.

（1）當/OC4從最小角轉(zhuǎn)動到最大角時，求點〃運動的路徑長.

（2）在點C轉(zhuǎn)動過程中，求“點到地面/的最大距離.（結(jié)果精確到0.1cm,參考數(shù)據(jù):

sin70°g0.94,cos70°g0.34,tan70°"75,sin80°=0.98,cos80°?=0.17,tan800

比5.67,Z3.14）

【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；軌跡；解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力.

【分析】（1）利用弧長公式求解即可.

（2）如圖2中，當N￡>CH=80°時，點H到地面的距離最大.過點。作。TLA8于T,

過點H作”兀LAB于點J,交DC于點K.則四邊形DTJK是矩形，求出KH,KJ,可得

結(jié)論.

【解答】解：（1）V100°WNOCHW180。，

.?.旋轉(zhuǎn)角為180°-100°=80。，

\'CM=MH=^CH=45(cm),

2

...當NZ)CH從最小角轉(zhuǎn)動到最大角時，點M運動的路徑長=8°兀'45=2o1T

180

(2)如圖2中，當NDCH=80。時，點H到地面的距離最大.

過點。作。兀LAB于7,過點，作HT_L4B于點交OC于點K.則四邊形力"K是矩

圖2

在RtZ\AQT中，CT=A￡>?sin70°=37.6(cm),

在RtZXCKH中，KH=CH?sin80°=88.2(cm),

：.KJ=DT=37.6(cW,

HJ=HK+KJ=37.6+88.2=125.8(cm),

/.在線段CH轉(zhuǎn)動過程中，H點到地面/的最大距離為125.8cm.

【點評】本題考查軌跡，解直角三角形，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用

輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題.

5.(2021?尋烏縣模擬)為了加強鍛煉，王老師家里買了是一張多功能的啞鈴凳，如圖(1)

所示，其側(cè)面可抽象成圖(2),MN為支撐桿，M為靠背C”的中點，點N可在CB上滑

動，通過調(diào)節(jié)螺母可將點N固定在8C上六個孔位處，靠背CH隨之繞點C轉(zhuǎn)動，當點

N位于點E處時/OCH=100°,當點N位于點F處時，CH//AB,CH=90cm,AD=40cm,

NDAB=70°,DC//AB.

(1)當點N從點E滑動到點F處時，求點"運動的路徑長.

(2)在CH轉(zhuǎn)動的過程中，求點”到水平地面/的最大距離.

(結(jié)果精確到0.1c7〃.參考數(shù)據(jù)：sin7到七0.94,cos70°—.34,sin80°-0.98,co精0°

弋0.17,TC^3.14)

H

AB

圖⑴圖⑵

【考點】平行線的判定與性質(zhì)；軌跡；解直角三角形的應(yīng)用.

【專題】線段、角、相交線與平行線；解直角三角形及其應(yīng)用；運算能力；應(yīng)用意識.

【分析】(1)先根據(jù)點M為CH的中點，CH=90cm,求出CM,再由當點N位于點E、

尸處求出NOCH,即可得知點歷運動的路徑是以點為圓心，CM的長為半徑，80°的圓

心角所對的弧，再求出該弧長即可；

(2)當點N位于點E處時，點H到水平地面/的距離最大，在Rt^/ZCJ中解三角形求

HJ,在Rt/\ADK中解三角形求DK,即可得知H到水平地面/的最大距離.

【解答】(1)?.?點M為C”的中點，CH=90C7〃，

.\CM=45cm.

???當點N位于點￡處時N￡>CH=100°,

當點N位于點F處時，CH//AB,又C￡>〃AB,

二此時NDCH=180°,

工當點N從點￡滑動到點尸處時，點M運動的路徑是以點為圓心，CM的長為半徑，80°

的圓心角所對的弧，

.?.點M運動的路經(jīng)長=絕口韭=201X^62.8(W；

180

(2)當點N位于點E處時，點H到水平地面/的距離最大,

如圖，過點。作。于點K,過點，作M/_LDC,交。的延長線于點J.

在RtZ^HC/中，〃J=CHsin80°^0.98^90=88.2(cm),

在RtZ\A￡>K中，QK=ACsin70°=0.94x40=37.6(cm),

.,.點H到水平地面/的最大距離=HJ+OK=88.2+37.6=125.8(cm).

【點評】本題主要考查了銳角三角函數(shù)的應(yīng)用、弧長的計算，確定出M運動的路徑以及

分析出點N位于點E處時點”到水平地面/的距離最大是解決此題的關(guān)鍵.

6.(2021?灤州市一模)如圖，在△402中，ZAOB=90°,AO=6,80=6^,以點O

為圓心，以2為半徑作優(yōu)弧碗，交AO于點。，交8。于點￡點M在優(yōu)弧南上從點

。開始移動，到達點E時停止，連接AM.

(1)當AM與優(yōu)弧DME相切時，求線段AM的長；

(2)當MO〃AB時，求點〃在優(yōu)弧3旅上移動的路線長及線段AM的長.

【考點】勾股定理；切線的性質(zhì)；軌跡.

【專題】與圓有關(guān)的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的計算；推理能力.

【分析】(1)在Rt^AMO中，利用勾股定理直接計算即可：

(2)分MO在直線AO的左側(cè)和在直線4。的右側(cè)，分別畫出圖形，可求出點M運

動的路徑長和AM的長.

【解答】解：(1)與優(yōu)弧硫相切，

...NAMO=90°,

在RtZ\AMO中，由勾股定理得：

(2)在Rtz^AOB中，

；A0=6,B0=6V3.

AZBOA=60°N。8A=30°,

當M0〃A8時，

第一種情況：如圖所示，

.60KX22k

-------=—TV'

DM1803

過點M作MG1AO于點G,

在Rt^MOG中，sin60°=對孌,且0M=2,

MO2

:?MG=yf^,OG=1,AG=5J

在RtAAMG中，據(jù)勾股定理可知，AM=VAG2+MG2=752+（V3）2=2V7;

第二種情況：如圖所示，當在直線AO的右側(cè)時，連接AM,

'JMO//AB,

：.A0MHs/\BAH,

在Rt^AOH中，據(jù)勾股定理得：皿上^0=工運,

77

AM=T-AH=V52=2A/13,

b

綜上所述，點M運動的路徑長為2；,AM=2夜或點M的運動路徑長為"，AM=

2任?

【點評】本題主要考查了切線的性質(zhì)，弧長公式，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)

等知識，運用分類思想是解題的關(guān)鍵.

7.(2020?荊州)如圖,將△ABC繞點8順時針旋轉(zhuǎn)60°得到肘點C的對應(yīng)點E恰

好落在AB的延長線上，連接AD

(1)求證：BC//AD-,

(2)若AB=4,BC=1,求A,C兩點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和.

【考點】平行線的判定與性質(zhì)；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】平移、旋轉(zhuǎn)與對稱；與圓有關(guān)的計算；應(yīng)用意識.

【分析】(1)只要證明NC8E=ND4B=60°即可，

(2)由題意，BA=BD=4,BC=BE=1,ZABD=ZCBE=60°,利用弧長公式計算即

可.

【解答】(1)證明：由題意，AABC注ADBE,且NAB￡>=/C8E=60°,

：.AB=DB,

/XABD是等邊三角形，

：.ZDAB=60°,

：?NCBE=/DAB,

：.BC//AD.

(2)解：由題意，BA=BD=4fBC=BE=1,ZABD=ZCBE=60°,

,1.A,C兩點旋轉(zhuǎn)所經(jīng)過的路徑長之和=迎兀晅+60"兀7=§三

1801803

【點評】本題考查軌跡，全等三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定，弧長公式等知識，解

題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

8.(2021?碑林區(qū)校級模擬)如圖①，是某小轎車的側(cè)面示意圖，其中矩形ABCD表示該車

的后備箱.在打開后備箱的過程中，箱蓋AQE可以繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)，當旋轉(zhuǎn)角為

60°時，箱蓋AOE落在了A。'E'的位置(如圖②所示).已知AO=80a〃，DE=20cm,

EC=30cm.

(1)求點。'到BC的距離；

(2)求點E在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路線長.(結(jié)果保留根號和n)

圖1圖2

【考點】矩形的性質(zhì)；軌跡；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì).

【專題】動點型；矩形菱形正方形；與圓有關(guān)的計算；解直角三角形及其應(yīng)用；推理

能力.

【分析】(1)過點。'作O'HLBC,垂足為點〃，交4。于點尸，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得

出A。'=AO=80厘米，ZDAD'=60°,利用矩形的性質(zhì)可得出/AFC'=NBHD'

=90°,在尸中，通過解直角三角形可求出尸的長，結(jié)合H/=OC=OE+CE

及進而得出點O'到BC的距離；

(2)連接AE,AE：EE',利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出AE'=AE,ZEAE1=60°,進

而可得出△AEE'是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可得出EE'=4E,在

中，利用勾股定理可求出AE的長度，結(jié)合EE'=AE可得出E、E'兩點的距離.

【解答】解：(1)過點。'作￡>'H±BC,垂足為點交于點F,如圖3所示.

由題意，得：AD'=AO=80厘米，ADAD'=60°.

?.?四邊形A8CO是矩形，

：.AD//BC,

：.ZAFD'=ZBHD'=90°.

在尸中，D'F=AD'-sinZDAD'=80Xsin600=40b（厘米）.

又：CE=430厘米，￡>E=20厘米，

AFH=DC=DE+CE=50厘米，

：.D'H=D'F+FH=（40A/3+50）厘米.

，點。'到8c的距離=（4073+50）厘米，

答：點￡>'到BC的距離為（40丁泉50）厘米.

（2）連接AE,AE',EE',如圖4所示.

由題意，得：AE'=AE,NEAE'=60°,

/XAEE'是等邊三角形，

：.EE'=AE.

?.?四邊形A8C。是矩形，

/.ZADE=90°.

在中，AD=80厘米，OE=20厘米，

，AE=YAD?+DE2=、8。2+202=2OVT?（厘米）,

.".EE7'的長=60兀?20百7=2WI7.（厘米）.

1803_

答：點E在旋轉(zhuǎn)過程中經(jīng)過的路線長3國①厘米.

【點評】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及

勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）通過解直角三角形求出D'F的長度；（2）利用勾股定

理求出AE的長度.

9.（2019?惠山區(qū)二模）如圖，已知矩形A8CZ）中，AB=3,BC=5,P是線段BC上的一動

點.

（1）請用不帶刻度的直尺和圓規(guī)，按下列要求作圖：（不要求寫作法，但保留作圖痕跡）,

在CQ邊上確定一點E,使得NQEP+NAP8=180°；

（2）在（1）的條件下，點P從點B移動到點C的過程中，對應(yīng)點E隨之運動，則移動

過程中點E經(jīng)過的總路程長為_至_.

【考點】矩形的性質(zhì)；作圖一復雜作圖；軌跡.

【專題】作圖題；動點型；矩形菱形正方形.

【分析】（1）過點P作PEYPA交CD于E,點E即為所求.

（2）設(shè)PB=x,EC=y,利用相似三角形的性質(zhì)構(gòu)建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解

決問題即可.

【解答】解：（1）如圖點E即為所求.

(2)設(shè)PB=x,EC=y,

?.?四邊形ABC。是矩形，

：.AB=CD=3,BC=AD=5fZB=ZC=90°,

VZAPE=90°,

ZAPB+ZEPC=9Q°,/EPC+NPEC=90°,

???NAPB=NPEC,

：.AABPsAPCE,

.AB=PB

**PCEC，

?3x

5-xy

??.y=--1^+—x=-—（X-—）2+義_,

333212

:-A<o,

3

.?.x=5時，y有最大值，最大值為空，

2-12

觀察圖象可知：當點P從B運動到C時，CE的值從。增加到空，然后逐漸減小到0,

12

...點E的運動路徑的長=2x25=空，

126

故答案為空.

6

【點評】本題考查軌跡，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

10.（2018?貴陽）如圖，AB為。。的直徑，且A8=4,點C在半圓上，OCLAB,垂足為

點O,P為半圓上任意一點（不與點C重合），過P點作PELOC于點E,設(shè)△OPE的

內(nèi)心為M,連接OM、PM.

（1）求NOMP的度數(shù)；

（2）當點P在半圓上從點8運動到點A時;求內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長.

【考點】勾股定理；垂徑定理：圓周角定理：三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；軌跡.

【專題】壓軸題.

【分析】（I）先判斷出/MOP=NMOC，ZMPO=ZMPE,再用三角形的內(nèi)角和定理即

可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況，當點”在扇形BOC和扇形AOC內(nèi)，先求出NCMO=135°,進而判

斷出點加的軌跡，再求出/。。。=90°,最后用弧長公式即可得出結(jié)論.

【解答】解：

(1);△OPE的內(nèi)心為M,

ZMOP=ZMOC,NMPO=NMPE,

：.ZPMO=\SO°-ZMPO-ZMOP=180°-A(ZEOP+ZOPE),

2

\'PE±OC,即/PEO=90°,

：.ZPMO^\SO°-A(ZEOP+ZOPE)=180°-A(180°-90°)=135°,

22

(2)如圖，：OP=OC,OM=OM,

而NMOP=NMOC,

.?.△OPMdOCM,

...NCMO=NPMO=135°,

所以點M在以O(shè)C為弦，并且所對的圓周角為135°的兩段劣弧上(笳和6筋);

點M在扇形BOC內(nèi)時，

me、M、O三點作。。'，連O'C,O'O,

在優(yōu)弧CO取點O,連。C,DO,

ZCMO=135°,

.?./C￡>O=180°-135°=45°,

ZCO'0=90°,而。4=2,

：.O'0=返oc=返X2:&,

22

...弧OMC的長=?0兀X返=返口,

1802_

同理：點M在扇形AOC內(nèi)時，同①的方法得，弧ONC的長為返m

2

所以內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長為2X_j_an=&ir.

【點評】本題考查了弧長的計算公式：/=史里，其中/表示弧長，〃表示弧所對的圓心

角的度數(shù).同時考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓

的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確尋找點M的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓

軸題.

考點卡片

1.平行線的判定與性質(zhì)

（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系.平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系

來尋找角的數(shù)量關(guān)系.

（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆.

（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別

區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導角的關(guān)系并計算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行.

聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān).

（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角.

2.全等三角形的判定與性質(zhì)

（1）全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具.在判定三

角形全等時，關(guān)鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件.

（2）在應(yīng)用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔

助線構(gòu)造三角形.

3.勾股定理

（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平

方.

如果直角三角形的兩條直角邊長分別是mb,斜邊長為c,那么/+/=02.

（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中.

（3）勾股定理公式/+62=°2的變形有：a=Ayc2_b2,分="二^及

（4）由于a2+/?=c2>?2,所以c>“，同理c>b,即直角三角形的斜邊大于該直角三角形

中的每一條直角邊.

4.勾股定理的逆定理

（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長”，b,C滿足/+62=02,那么這個三角形就

是直角三角形.

說明：

①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等.

②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形.必須滿足較

小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷.

（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質(zhì)就是判斷一個角是不是直角.然后進一步結(jié)合

其他已知條件來解決問題.

注意：要判斷一個角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩

條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是.

5.矩形的性質(zhì)

（1）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形.

（2）矩形的性質(zhì)

①平行四邊形的性質(zhì)矩形都具有；

②角：矩形的四個角都是直角；

③邊：鄰邊垂直；

④對角線：矩形的對角線相等：

⑤矩形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形.它有2條對稱軸，分別是每組對邊中點連線所在

的直線；對稱中心是兩條對角線的交點.

（3）由矩形的性質(zhì)，可以得到直角三角形的一個重要性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于

斜邊的一半.

6.矩形的判定與性