甘肅省蘭州市第五十八中學2022-2023學年高三上學期第一次模擬考試數(shù)學（理科）試題含答案

蘭州市五十八中2022-2023學年度第一次模擬考試數(shù)學試卷（理科）第I卷（選擇題）單選題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1．已知全集，集合，，則集合{1，4，7}為()A． B． C． D．2．若i是虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部與虛部之積為()A． B．C． D．3．直線與平行，則a＝()A．－1 B．2 C．－1或2 D．0或14．已知m，n是直線，是平面，且，則下列結論中正確的是()A．，都有B．，使m⊥nC．，都有D．，使5．等于()A． B．C． D．16．關于x，y的不等式組表示的平面區(qū)域的面積為()A．3 B．C．2 D．7．已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是它的前n項和．若，且，則()A．29 B．30C．31 D．328．如圖所示，在△ABC中，點D在線段BC上，且BD＝3DC．若，則()A． B．C．2 D．eq\f(2,3)9．已知函數(shù)，若對于任意的，都有成立，則的最小值為()A．2 B．1C．4 D．10．從5名同學中選若干名分別到圖書館、食堂做志愿者，若每個地方至少去2名，則不同的安排方法共有()A．20種 B．50種C．80種 D．100種11．已知雙曲線右焦點為，過且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點，拋物線的焦點為F，若△ABF為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是()A． B． C．(1，3) D．12．已知是偶函數(shù)，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是()A．B．C．D．第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在答題卡中的橫線上．）13．已知直線與函數(shù)的圖象恰有三個公共點，則實數(shù)m的取值范圍是．14．已知向量，滿足，，，則向量在向量上的投影為．15．袋中裝有3個紅球2個白球，從中隨機取球，每次一個，直到取得紅球為止，則取球次數(shù)的數(shù)學期望為．16．數(shù)列的前n項積為，那么當時，．三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．(12分)第23屆冬季奧運會于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行，期間正值我市學校放寒假，寒假結束后，某校工會對全校教職工在冬季奧運會期間每天收看比賽轉播的時間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：收看時間(單位：小時)[0，1)[1，2)[2，3)[3，4)[4，5)[5，6]收看人數(shù)143016282012(1)若將每天收看比賽轉播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達人”，否則定義為“非體育達人”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補全2×2列聯(lián)表：男女合計體育達人40非體育達人30合計并判斷能否有90%的把握認為該校教職工是否為“體育達人”與“性別”有關；(2)在全校“體育達人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“體育達人”中選取2名作冬奧會知識講座，求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率．附表及公式：P(K2≥k0)0．150．100．050．0250．0100．0050．001k02．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828．18．(12分)在直角梯形ABCD(如圖1)，∠ABC＝90°，，AD＝8，AB＝BC＝4，M為線段AD中點．將△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到幾何體B－ACD(如圖2)．(1)求證：CD⊥平面ABC；(2)求AB與平面BCM所成角的正弦值．19．(12分)已知各項都為正數(shù)的數(shù)列滿足．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若，，求的通項公式．20．(12分)已知函數(shù)，．(1)若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)在[1，4]上單調(diào)遞減，求實數(shù)a的取值范圍．21．(12分)已知，分別是橢圓C：的左、右焦點．(1)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，，求點P的坐標；(2)設過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，且∠AOB為銳角(其中O為坐標原點)，求直線l的斜率k的取值范圍．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22(10分)在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以該直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．(1)求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；(2)求直線l被曲線C截得的弦長是多少?[選修4-5：不等式]23．(10分)已知．(1)當時，求不等式的解集；(2)若時不等式成立，求a的取值范圍．答案及解析1．[解析]由已知得U＝{1，2，3，4，5，6，7}，N＝{2，6}，，，，，，，故選C．2．[解析]因為，所以實部為，虛部為，實部與虛部之積為．故選B．3．[解析]，解得a＝2．故選B．4．[解析]由m，n是直線，是平面，且，得：對于A，，則m，n平行或異面，故A不正確；對于B，，使m⊥n，故B正確；對于C，，則或，故C不正確；對于D，若，因為，所以m⊥n，故D不正確，故選B．5．[解析]原式．6．[解析]平面區(qū)域為一個直角三角形ABC，其中A(3，1)，B(2，0)，C(1，3)，所以面積為，故選C．7．[解析]本題考查等比數(shù)列性質(zhì)及基本量的運算．∵，且，∴．又，∴．設的公比為q，則，，∴，∴．8．[解析]本題考查向量的線性運算．，所以，，從而求得，故選B．9．[解析]對任意的，成立，所以，，所以，又的周期，所以，故選B．10．[解析]當去4個人時，則安排方法有種，當去5個人時，則安排方法有種，綜上，不同的安排方法共有50種．故選B．11．[解析]在雙曲線中，當x＝c時，，?。驗椤鰽BF是銳角三角形，所以，則，即．因為雙曲線中a＝2，所以，所以，解得，所以．因為，則，所以雙曲線的離心率的取值范圍是．故選D．12．[解析]時，即，∴在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增．∴，∴，故選A．13．[解析]畫出函數(shù)圖象，如圖所示．由圖可知，當m＝－1時，直線y＝x與函數(shù)圖象恰好有3個公共點，當m＝2時，直線y＝x與函數(shù)圖象只有2個公共點，故m的取值范圍是[－1，2)．14．[解析]∵向量，滿足，，．∴，．∴，，∴向量在向量上的投影為，．15．[解析]由題意得的所有可能值為1，2，3，，；，∴．16．[解析]設數(shù)列的前n項積為，則，當時，．17．[解析](1)由題意得下表：男女合計體育達人402060非體育達人303060合計7050120．所以有90%的把握認為該校教職工是“體育達人”與“性別”有關．(2)由題意知抽取的6名“體育達人”中有4名男職工，2名女職工，記“抽取的這兩人恰好是一男一女”為事件A，．18．[解析](1)由題設可知，，AD＝8，∴，∴CD⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，∴CD⊥平面ABC．(2)解法一：等體積法取AC的中點O連接OB，由題設可知△ABC為等腰直角三角形，所以OB⊥面ACM，∵且，而，∴A到面BCM的距離，所以．解法二：向量法取AC的中點O連接OB，由題設可知△ABC為等腰直角三角形，所以OB⊥面ACM，連接OM，因為M、O分別為AB和AC的中點，所以，由(1)可知OM⊥AC，故以OM、OC、OB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示．則，，，，∴，，，∴平面BCM的一個法向量，∴．19．[解析](1)∵，∴．又∵，∴，∴數(shù)列為等比數(shù)列．(2)由(1)得， ①∴ ②②－①得當n為奇數(shù)時，……相加得，∴．當n為偶數(shù)時由得．綜上所述．20．[解析](1)，，則．由h(x)在(0，＋∞)上存在單調(diào)遞減區(qū)間，知當x∈(0，＋∞)時，有解，即有解．設，則只要即可，而，所以，所以a>－1．(2)由h(x)在[1，4]上單調(diào)遞減，得當x∈[1，4]時，恒成立，即恒成立，設，則，而，又x∈[1，4]，所以，所以(此時x＝4)，所以．21．[解析](1)因為橢圓方程為，所以a＝2，b＝1，，可得，，設P(x，y)(x>0，y>0)，則，聯(lián)立解得，即．(2)顯然x＝0不滿足題意，可設l的方程為y＝kx＋2，，，聯(lián)立，由，得，，．又∠AOB為銳角，即，即，，，可得．又，即為，解得．22．解:(1)將消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為x-y-1=0．∵曲線C的極坐標方程為，即，∴曲線C的直角坐標