【同步習(xí)題】3．兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)3．兩點(diǎn)間的距離

[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．直線kx－y＋1－3k＝0，當(dāng)k變化時，所有直線都通過定點(diǎn)()A．(0，0) B．(0，1)C．(3，1) D．(2，1)解析：選C.直線方程整理為k(x－3)－(y－1)＝0，過定點(diǎn)(3，1)．2．直線y＝x上的兩點(diǎn)P、Q的橫坐標(biāo)分別是1、5，則|PQ|等于()A．4 B．4eq\r(2)C．2 D．2eq\r(2)解析：選B.由題意易知P(1，1)，Q(5，5)，所以|PQ|＝eq\r(2（5－1）2)＝4eq\r(2).3．直線ax＋by－2＝0的系數(shù)a，b滿足3a－4b＝1，則直線必過定點(diǎn)()A．(6，－8) B．(6，8)C．(－6，8) D．(－6，－8)解析：選A.因?yàn)?a－4b＝1，所以b＝eq\f(3,4)a－eq\f(1,4)，所以ax＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)a－\f(1,4)))y－2＝0.所以4ax＋3ay－y－8＝0，所以a(4x＋3y)－(y＋8)＝0，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x＋3y＝0，,y＋8＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝6，,y＝－8.))所以直線必過定點(diǎn)(6，－8)．4．x軸上任一點(diǎn)到定點(diǎn)(0，2)、(1，1)距離之和的最小值是()\r(2) B．2＋eq\r(2)\r(10) D．eq\r(5)＋1解析：選C.作點(diǎn)(1，1)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)(1，－1)，則距離之和最小值為eq\r(12＋（－1－2）2)＝eq\r(10).5．過直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線x－2y＝0的直線方程是()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0解析：選－y＋4＝0和x－y＋5＝0的交點(diǎn)為(1，6)，故所求直線方程為2x＋y－8＝0.6．已知點(diǎn)M(x，－4)與點(diǎn)N(2，3)間的距離為7eq\r(2)，則x的值為________．答案：－5或97．已知直線ax＋2y－1＝0與直線2x－5y＋c＝0垂直相交于點(diǎn)(1，m)，則a＝________，c＝________，m＝________．解析：由兩直線垂直得：2a－10＝0，解得a＝5.又點(diǎn)(1，m)在直線上得：a＋2m－1＝0，2－5m＋c＝0，所以m＝－2，c＝－12.答案：5－12－28．光線從B(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射后過點(diǎn)A(2，10)，則光線從B到A經(jīng)過的路程為________．解析：B(－3，5)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B′(－3，－5)，AB′交x軸于P點(diǎn)，所以|PA|＋|PB|＝|AB′|＝eq\r(（2＋3）2＋（10＋5）2)＝5eq\r(10)，即光線從B到A經(jīng)過的路程為5eq\r(10).答案：5eq\r(10)9．求經(jīng)過直線3x＋2y＋6＝0和2x＋5y－7＝0的交點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程．解：解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋2y＋6＝0，,2x＋5y－7＝0，))得交點(diǎn)(－4，3)，因此可設(shè)所求直線方程為y－3＝k(x＋4)，即y＝k(x＋4)＋3.令x＝0，得y＝4k＋3，令y＝0，得x＝－eq\f(4k＋3,k)，于是4k＋3＝－eq\f(4k＋3,k)，即4k2＋7k＋3＝0，解得k＝－eq\f(3,4)或k＝－1，故所求直線方程為3x＋4y＝0或x＋y＋1＝0.10．已知正三角形ABC的邊長為a，在平面上求一點(diǎn)P，使|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的值最小，并求最小值．解：以底邊BA所在的直線為x軸，BA的中垂線為y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．則Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)a)).設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋y2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋y2＋x2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),2)a))eq\s\up12(2)＝3x2＋3y2－eq\r(3)ay＋eq\f(5,4)a2＝3x2＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(\r(3),6)a))eq\s\up12(2)＋a2≥a2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0，y＝eq\f(\r(3),6)a時，等號成立，即所求最小值為a2，此時，P點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),6)a)).[B能力提升]1．直線x－2y＋1＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是()A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0解析：選D.設(shè)所求直線上任一點(diǎn)(x，y)，則它關(guān)于x＝1對稱的點(diǎn)(2－x，y)在直線x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，即x＋2y－3＝0.故選D.2．直線l1：3x－y＋12＝0和l2：3x＋2y－6＝0及y軸所圍成的三角形的面積為()A．6 B．9C．12 D．18解析：選B.三角形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(－2，6)、B(0，12)、C(0，3)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×9×2＝9.3．等腰△ABC的頂點(diǎn)是A(3，0)，底邊|BC|＝4，BC邊的中點(diǎn)為D(5，4)，則腰長為________．解析：|BD|＝eq\f(1,2)|BC|＝2，|AD|＝eq\r(（5－3）2＋（4－0）2)＝2eq\r(5)，在Rt△ADB中，由勾股定理得腰長為|AB|＝eq\r(22＋（2\r(5)）2)＝2eq\r(6).答案：2eq\r(6)4．(選做題)求函數(shù)f(x)＝eq\r(x2－10x＋34)＋eq\r(x2＋4)的最小值．解：(構(gòu)造法)f(x)＝eq\r(（x－5）2＋（0－3）2)＋eq\r(（x－0）2＋（0－2）2).設(shè)A(5，3)，B(0，2)，P(x，0)，則由兩點(diǎn)間的距離公式知f(x)＝|PA|＋|PB|.求函