導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)問題

利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根之宇文皓月創(chuàng)作函數(shù)與x軸即方程根的個(gè)數(shù)問題解題步伐第一步：畫出兩個(gè)圖像即“穿線圖”（即解導(dǎo)數(shù)不等式）和“趨向圖”即三次函數(shù)的大概趨向“是先增后減再增”仍是“先減后增再減”；第二步：由趨向圖聯(lián)合交點(diǎn)個(gè)數(shù)或根的個(gè)數(shù)寫不等式（組）；主要看極大值和極小值與0的關(guān)系；第三步：解不等式（組）即可；1、已知函數(shù)f(x)ex,xR.(Ⅰ)求f(x)的反函數(shù)的圖象上圖象上點(diǎn)(1,0)處的切線方程;(Ⅱ)證明:曲線y=f(x)與曲線y1x2x1有獨(dú)一公共點(diǎn).2【答案】解:(Ⅰ)f(x)的反函數(shù)g(x)lnx,則y=g(x)過點(diǎn)(1,0)的切線斜率k=g'(1).g'(x)1kg'(1)1.過點(diǎn)(1,0)的切線方程為:y=x+1x(Ⅱ)證明曲線y=f(x)與曲線y1x2x1有獨(dú)一公共點(diǎn),過程以下.2h'(x)exx的導(dǎo)數(shù)x且h(0)，，0所以,1,h'(x)h''(x)e1,0h'(0)0,h''(0)所以,曲線y=f(x)與曲線y1x2x1只有獨(dú)一公共點(diǎn)(0,1).(證畢)x1a(a22、已知函數(shù)f(x)R,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).xe求函數(shù)f(x)的極值;(2)當(dāng)a1的值時(shí),若直線l:ykx1與曲線yf(x)沒有公共點(diǎn),求k的最大值.(1)fxa1ex,①當(dāng)a0時(shí),fx0,fx為,上的增函數(shù),所以函數(shù)fx無極值.②當(dāng)a0時(shí),令fx0,得exa,xlna.x,lna,fx0;xlna,,fx0.所以fx在,lna上單一遞減,在lna,上單一遞加,1故fx在xlna處獲得極小值,且極小值為flnalna,無極大值.綜上,當(dāng)a0時(shí),函數(shù)fx無極小值;當(dāng)a0,fx在xlna處獲得極小值lna,無極大值.(2)當(dāng)a1時(shí),fxx11ex.直線l:ykx1與曲線yfx沒有公共點(diǎn),等價(jià)于對(duì)于x的方程kx1x1R上沒有實(shí)數(shù)解,即對(duì)于x的方程:1ex在k1x1(*)ex在R上沒有實(shí)數(shù)解.①當(dāng)k1時(shí),方程(*)可化為1x0,在R上沒有實(shí)數(shù)解.化為1e②當(dāng)k1時(shí),方程(*)xex.k1令gxxex,則有g(shù)x1xex.令gx0,得x1,當(dāng)x更改時(shí),gx的更改狀況以下表:x,111,gx0gx1e當(dāng)x1時(shí),gxmin1,同時(shí)當(dāng)x趨于時(shí),gx趨于,e進(jìn)而gx的取值范圍為1.,e所以當(dāng)11k1,e

時(shí),方程(*)無實(shí)數(shù)解,解得k的取值范圍是1e,1.綜上,得k的最大值為1.3、已知函數(shù)f(x)1x3(k1)x2，g(x)1kx，且f(x)在區(qū)間(2,)上為增323函數(shù)．21）務(wù)實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有三個(gè)分歧的交點(diǎn)，務(wù)實(shí)數(shù)k的取值范圍．解：（1）由題意f(x)x2(k1)x∵f(x)在區(qū)間(2,)上為增函數(shù)，∴f(x)x2(k1)x0在區(qū)間(2,)上恒建立即k1x恒建立，又x2，∴k12，故k1∴k的取值范圍為k1（2）設(shè)h(x)f(x)g(x)x3(k1)x2kx1，323令h(x)①當(dāng)k②當(dāng)kxh(x)h(x)

0得xk或x1由（1）知k1，1時(shí)，h(x)(x1)20，h(x)在R上遞加，明顯分歧題意1時(shí)，h(x)，h(x)隨x的更改狀況以下表：(,k)k(k,1)1(1,)0—0↗極大值k3k21↘k1↗623極小值2因?yàn)閗10，欲使f(x)與g(x)的圖象有三個(gè)分歧的交點(diǎn)，即方程2k3k2h(x)0有三個(gè)分歧的實(shí)根，故需10，即(k1)(k22k2)0∴623k1，解得k13k22k20綜上，所求k的取值范圍為k134、已知函數(shù)fxlnexa(a為常數(shù))是實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，函數(shù)gxfxsinx是區(qū)間[一1，1]上的減函數(shù)．求a的值；(II)若gxt2t1在x∈[一1，1]上恒建立，求t的取值范圍．(Ⅲ)議論對(duì)于x的方程lnxx22exm的根的個(gè)數(shù)。f(x)解：（I）f(x)ln(exa)是奇函數(shù)，則f(0)0恒建立.ln(e0a)0.e0a1,a0.（II）又g(x)在[－1，1]上單一遞減，g(x)maxg(1)sin1,只要sin1t2t1,(t1)t2sin110(此中1)恒建立.令h()(t1)t2sin11(1),3則t10t1sin110,t2tsin10t1.t1t2而t2tsin10恒建立,（III）由（I）知f(x)x,方程為lnxx22exm,lnx,f2(x)x1lnx令f1(x)x22exm，f1(x)，xx2當(dāng)x(0,e)時(shí),f1(x)0,f1(x)在(0,e]上為增函數(shù)；xe)時(shí),f1xf1(xe上為減函數(shù)，[,( )0,)在[0,)當(dāng)xe時(shí)，f1(x)maxf1(e)1.而f2(x)(xe)2me2，e函數(shù)f1(x)、f2(x)在同一坐標(biāo)系的大概圖象以下圖，∴①當(dāng)me21,即me21時(shí)，方程無解.②當(dāng)me2ee時(shí)，方程有一個(gè)根.③當(dāng)me21,即me21時(shí)，方程有兩個(gè)根.ee5、.已知函數(shù)f(x)axsinx3(aR),且在,0,上的最大值為22

1,即me21ee，21）求函數(shù)f(x)的分析式；判斷函數(shù)f(x)在（0，π）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明。（I）f(x)axsinx33在[0,]上恒建立，且能取到等號(hào)222g(x)xsinx在[0,]上恒建立，且能取到等號(hào)2a2g(x)sinxxcosx0yg(x)在[0,]上單一遞加2（II）f(x)xsinx3h(x)f(x)sinxxcosx2①當(dāng)x[0,]時(shí)，f(x)0yf(x)在(0,]上單一遞加22f(0)f()33222②當(dāng)x[2,]時(shí)，h(x)

0yf(x)在(0,]上有獨(dú)一零點(diǎn)22cosxxsinx0f(x)當(dāng)x[,]上單一遞減220存在獨(dú)一x0(,)使f(x0)0f( )f()2224得：f(x)在[,x0)上單一遞加，(x0,]上單一遞減2得：x[,x0]時(shí)，f(x)0，2x[x0,]時(shí)，f(x0)f()0，yf(x)在[x0,]上有獨(dú)一零點(diǎn)由①②得：函數(shù)f(x)在(0,)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)。6、已知函數(shù)f(x)ax3bx2cx在點(diǎn)x0處獲得極小值－4，使其導(dǎo)數(shù)f'(x)0的x的取值范圍為(1,3)，求：1）f(x)的分析式；2）若過點(diǎn)P(1,m)可作曲線yf(x)的三條切線，務(wù)實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：（1）由題意得：f'(x)3ax22bxc3a(x1)(x3),(a0)∴在(,1)上f'(x)0；在(1,3)上f'(x)0；在(3,)上f'(x)0所以f(x)在x01處獲得極小值4∴abc4①，f'(1)3a2bc0②，f'(3)27a6bc0③a1由①②③聯(lián)立得：b6，∴f(x)x36x29xc9（2）設(shè)切點(diǎn)Q(t,f(t))，yf(t)f,(t)(xt)(3t212t9)xt(2t26t)過(1,m)令g'(t)6t26t126(t2t2)0，求得：t1,t2，方程g(t)0有三個(gè)根。需：g(1)023129m0m16g(2)01612249m0m11故：11m16；所以所務(wù)實(shí)數(shù)m的范圍為：(11,16)7、已知f(x)x3ax24x（a為常數(shù)）在x2時(shí)獲得一個(gè)極值，（1）確立實(shí)數(shù)t的取值范圍，使函數(shù)f(x)在區(qū)間[t,2]上是單一函數(shù)；（2）若經(jīng)過點(diǎn)A（2，c）（c8）可作曲線yf(x)的三條切線，求c的取值范圍．解：（1）∵函數(shù)f(x)在x2時(shí)獲得一個(gè)極值，且f(x)3x22ax4，f(2)124a40，a2f(x)3x24x4(3x2)(x2)．x2或x2時(shí)，f(x)0,x2或x2時(shí)，f(x)0,2x2時(shí)，333f(x)0，f(x)在(2],[2,)上都是增函數(shù)，在[2,,2]上是減函335數(shù)．∴使f(x)在區(qū)間[t,2]上是單一函數(shù)的t的取值范圍是[2,2)3（2）由（1）知f(x)x32x24x．設(shè)切點(diǎn)為P(x0,y0)，則切線的斜率kf(x0)3x024x04，所以切線方程為：y(x032x024x0)(3x024x04)(xx0)．將點(diǎn)A(2,c)代人上述方程，整理得：2x038x028x08c0．