數(shù)學(xué)的美專(zhuān)題培訓(xùn)市公開(kāi)課金獎(jiǎng)市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

欣賞數(shù)學(xué)真善美第1頁(yè)第1頁(yè)世上萬(wàn)物，以真善美為最高境界?！敖逃螒B(tài)數(shù)學(xué)”與“學(xué)術(shù)形態(tài)數(shù)學(xué)”之間一個(gè)重大區(qū)別，就在于是否含有“數(shù)學(xué)欣賞”內(nèi)涵。冰涼美麗下火熱思考兩者都要欣賞。被淹沒(méi)在形式演繹海洋里真善美，需要大力挖掘、專(zhuān)心體察才干發(fā)覺(jué)，感受、體驗(yàn)和欣賞。第2頁(yè)第2頁(yè)語(yǔ)文教學(xué)與數(shù)學(xué)教學(xué)欣賞，是教育一部分。

語(yǔ)文教育重在欣賞，比如語(yǔ)文課教學(xué)生欣賞古文，欣賞唐詩(shī)，卻基本上不會(huì)作古詩(shī)，寫(xiě)古文。但是，從小學(xué)到大學(xué)，數(shù)學(xué)教育重點(diǎn)是“做題目”，幾乎不談“欣賞”二字。

第3頁(yè)第3頁(yè)數(shù)學(xué)欣賞需要“教”嗎？

需要，非常需要數(shù)學(xué)學(xué)好了，題目會(huì)做了，思維自然就嚴(yán)密了。數(shù)學(xué)“真”，也就在其中了，用不到什么尤其“數(shù)學(xué)欣賞”。形式化表示數(shù)學(xué)，如同曲折表示詩(shī)詞，其背后掩蔽著思想辦法和文化底蘊(yùn)，需要教師故意識(shí)地啟發(fā)、點(diǎn)撥、解釋?zhuān)鸥墒箤W(xué)生有所領(lǐng)悟。第4頁(yè)第4頁(yè)數(shù)學(xué)教學(xué)之貧困

數(shù)學(xué)各章小結(jié)就是一幅邏輯框圖。

數(shù)學(xué)思想呢？數(shù)學(xué)價(jià)值呢？……把數(shù)學(xué)等同與邏輯，就把美麗數(shù)學(xué)女王，描寫(xiě)成一幅X光片里一付骨架第5頁(yè)第5頁(yè)欣賞需要指導(dǎo)、哺育

提出問(wèn)題，揭示冰涼形式后面數(shù)學(xué)本質(zhì)；對(duì)比分析，體察古今中外數(shù)學(xué)

理性精神；梳理思想，領(lǐng)略抽象數(shù)學(xué)模型

智慧結(jié)晶；構(gòu)作意境，溝通數(shù)學(xué)思考背后

人文情景。第6頁(yè)第6頁(yè)欣賞就是講道理

既要講推理，更要講道理。

蕭樹(shù)鐵等《高等數(shù)學(xué)改革研究匯報(bào)》（非數(shù)學(xué)類(lèi)）。高等教育出版社第7頁(yè)第7頁(yè)一、欣賞數(shù)學(xué)之真愛(ài)因斯坦說(shuō)過(guò)“為何數(shù)學(xué)比其它一切學(xué)科受到特殊尊重?理由之一是數(shù)學(xué)命題絕對(duì)可靠性和無(wú)可爭(zhēng)辯性。至于其它各個(gè)學(xué)科命題則在某種程度上都是可爭(zhēng)辯，經(jīng)常處于會(huì)被新發(fā)覺(jué)事實(shí)推翻危險(xiǎn)之中”。

第8頁(yè)第8頁(yè)例1.

“對(duì)頂角相等”教學(xué)。欣賞點(diǎn)：這樣明顯命題為何要證實(shí)？（提出問(wèn)題）幾何原本。命題15：對(duì)頂角相等。用公理3：等量減等量，其差相等。定理本身非常直觀，無(wú)人質(zhì)疑。假如就事論事地解說(shuō)一番，或者時(shí)髦地讓學(xué)生“量一量”、“拼一拼”那樣地活動(dòng)一下，都不能使學(xué)生取得數(shù)學(xué)之“真”欣賞。數(shù)學(xué)與民主古希臘城邦實(shí)行奴隸主民主政治。民主要求說(shuō)服、說(shuō)服需要證實(shí)、公理化辦法得到應(yīng)用。中國(guó)古代數(shù)學(xué)是國(guó)家管理數(shù)學(xué)。第9頁(yè)第9頁(yè)向理性奔騰要點(diǎn)是要問(wèn)：“這樣明顯命題要不要證實(shí)？”中國(guó)古代數(shù)學(xué)沒(méi)有這樣命題。古希臘數(shù)學(xué)家提出這樣定理，認(rèn)為需要證實(shí)，并且使用“等量減等量其差相等”公理加以證實(shí)。兩相對(duì)照，才知道自己膚淺，古希臘理性精神偉大。從“顯然正確因而不必證實(shí)”，到“崇尚理性需要證實(shí)”，是一次思想上奔騰，能夠說(shuō)震撼了許多孩子們“靈魂”第10頁(yè)第10頁(yè)例2.“飛矢不動(dòng)”與“瞬時(shí)速度”。欣賞點(diǎn)：“辯證精密思維典范，微積分思維人文意境”。微分學(xué)精髓在于結(jié)識(shí)函數(shù)局部。如何透過(guò)微積分教材形式化陳說(shuō)，真正領(lǐng)略微積分思考本質(zhì)，是微積分教學(xué)一項(xiàng)主要任務(wù)。第11頁(yè)第11頁(yè)飛矢不動(dòng)靜止運(yùn)動(dòng)觀

函數(shù)描寫(xiě)運(yùn)動(dòng)不足古希臘哲學(xué)家芝諾問(wèn)他學(xué)生：“一支射出箭是動(dòng)還是不動(dòng)？”

“那還用說(shuō)，當(dāng)然是動(dòng)。”“那么，在這一瞬間里，這支箭是動(dòng)，還是不動(dòng)？”“不動(dòng)，老師?！薄斑@一瞬間是不動(dòng)，那么其它瞬間呢？”“也是不動(dòng)，老師”“因此，射出去箭是不動(dòng)”第12頁(yè)第12頁(yè)惠施（約前370—約前310）提出“飛鳥(niǎo)之景，未嘗動(dòng)也”，

把直覺(jué)瞬時(shí)速度，化為能夠言傳瞬時(shí)速度，需要克服“飛矢不動(dòng)“芝諾悖論?？疾旌瘮?shù)不能孤立地一點(diǎn)一點(diǎn)考察，而要聯(lián)系其周?chē)h(huán)境。這是微積分關(guān)鍵思想之一：考察“局部”。微積分“真”，通過(guò)局部精密分析顯示出來(lái)，使人覺(jué)得“妙不可言”。第13頁(yè)第13頁(yè)整體是由局部構(gòu)成常言道，“聚沙成塔，集腋成裘”，那是簡(jiǎn)樸堆砌。其實(shí)，科學(xué)地看待事物，其單元并非一個(gè)個(gè)孤立點(diǎn)，而是一個(gè)有內(nèi)涵局部。人體由細(xì)胞構(gòu)成，物體由分子構(gòu)成。社會(huì)由鄉(xiāng)鎮(zhèn)構(gòu)成，因此費(fèi)孝通“江村調(diào)查”，解剖一個(gè)鄉(xiāng)村以觀測(cè)整體，竟成為中國(guó)社會(huì)學(xué)典型之作。同樣，社會(huì)由更小局部–家庭構(gòu)成。因此，我們戶口以家庭為單位。第14頁(yè)第14頁(yè)“近朱者赤，近墨者黑”。

看人，要問(wèn)他/她身世、家庭、社會(huì)關(guān)系，孤立地考察一個(gè)人是不行。函數(shù)也是同樣，孤立地只看一點(diǎn)數(shù)值不行，還要和周?chē)鷤€(gè)點(diǎn)上函數(shù)值聯(lián)系起來(lái)看。微積分就是突破了初等數(shù)學(xué)“就事論事”、孤立地考察一點(diǎn)、不及周?chē)o態(tài)思考，轉(zhuǎn)而用動(dòng)態(tài)地考察“局部”思考辦法，終于創(chuàng)造了科學(xué)黃金時(shí)代。第15頁(yè)第15頁(yè)微分學(xué)告訴我們：

如何處理“變量”局部和整體局部是一個(gè)模糊名詞。沒(méi)有說(shuō)多大。就象一個(gè)人成長(zhǎng)，大局部能夠是社會(huì)變動(dòng)、鄉(xiāng)土文化、學(xué)校影響，小能夠是某老師、某熟人，再小些僅限父母家庭。各人環(huán)境是不同。最終我們把環(huán)境中各種影響聚集起來(lái)研究某人特性。一樣，微積分方法，就是考察函數(shù)在一點(diǎn)周?chē)缓笥脴O限方法，確定函數(shù)在該點(diǎn)性態(tài)。微積分闡述“局部”思維，是精密思維過(guò)程，表達(dá)了數(shù)學(xué)“真”。第16頁(yè)第16頁(yè)

震撼于數(shù)學(xué)模型之深刻

二、欣賞數(shù)學(xué)“善”第17頁(yè)第17頁(yè)

數(shù)學(xué)知識(shí)推動(dòng)社會(huì)科技與文明發(fā)展，以其獨(dú)特方式為人類(lèi)文明發(fā)展服務(wù)，這是數(shù)學(xué)“善”表現(xiàn)。第18頁(yè)第18頁(yè)例3勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)：

從數(shù)學(xué)文化高度欣賞當(dāng)前時(shí)髦勾股定理教學(xué)設(shè)計(jì)：發(fā)覺(jué)，探究，摸索1、探究、發(fā)覺(jué)勾股定理，工作單有6張之多。2、各種各樣證實(shí)，古希臘證實(shí)，趙爽證實(shí)……。幾百種之多。

換個(gè)思緒：欣賞勾股定理未嘗不可第19頁(yè)第19頁(yè)最后晚餐，達(dá).芬奇第20頁(yè)第20頁(yè)

第21頁(yè)第21頁(yè)像欣賞一幅名畫(huà)那樣

欣賞勾股定理之價(jià)值用歷史發(fā)展簡(jiǎn)介各種數(shù)學(xué)文化：陳子定理，勾三股四弦五；古希臘證實(shí)；巴比侖泥板中勾股數(shù)；中國(guó)趙爽代數(shù)證實(shí)。北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)；費(fèi)馬定理處理，與外星人通訊使用圖形。第22頁(yè)第22頁(yè)例4坐標(biāo)價(jià)值。欣賞點(diǎn)：用坐標(biāo)擬定位置，那是地理學(xué)目的。坐標(biāo)系數(shù)學(xué)價(jià)值遠(yuǎn)超出“擬定位置”。近年來(lái)，平面直角坐標(biāo)系引進(jìn)，成為中學(xué)數(shù)學(xué)公開(kāi)課熱門(mén)課題。大量教學(xué)案例，都只是讓學(xué)生用一對(duì)有序數(shù)來(lái)擬定位置。用縱橫交錯(cuò)辦法擬定位置，用經(jīng)緯度表示一個(gè)地點(diǎn)位置，乃是地理學(xué)常識(shí)。數(shù)學(xué)使用坐標(biāo)系，則遠(yuǎn)超于此，其實(shí)質(zhì)是要用坐標(biāo)表示數(shù)學(xué)對(duì)象。

第23頁(yè)第23頁(yè)上海長(zhǎng)寧區(qū)老師把教室課桌椅并攏，用塑料繩擺成直角坐標(biāo)系

“兩個(gè)坐標(biāo)都是負(fù)數(shù)同窗站起來(lái)（第三象限）“兩個(gè)坐標(biāo)都相同同窗站起來(lái)（直線y=x）“第一個(gè)坐標(biāo)為0同窗站起來(lái)（y軸）

……這樣“玩坐標(biāo)”，用坐標(biāo)表示“數(shù)學(xué)對(duì)象”，才是坐標(biāo)系數(shù)學(xué)價(jià)值所在。不欣賞坐標(biāo)系“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，膚淺地停留在“東大街、北大街”交匯處那樣膚淺常識(shí)，就談不上什么數(shù)學(xué)欣賞了。第24頁(yè)第24頁(yè)例5．微分方程y’=ay，表示數(shù)學(xué)模型。e價(jià)值欣賞點(diǎn)：人口增長(zhǎng)、碳14衰減，連續(xù)復(fù)利，它們有一個(gè)共同數(shù)學(xué)模型。常數(shù)e和他們密切相關(guān)，一付友好數(shù)學(xué)情景。復(fù)利公式A（1+α/n）n

（一年分為n期復(fù)利）。然后令n∞,就進(jìn)一步看出常數(shù)e“自然”特性了。數(shù)學(xué)“善”在這里表達(dá)為“友好”、“合理”、“自然”，而不是天上掉下來(lái)林妹妹“。第25頁(yè)第25頁(yè)例6代數(shù)模型：

三根導(dǎo)線例子。欣賞點(diǎn)：“在看不見(jiàn)數(shù)學(xué)地方，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。感受數(shù)學(xué)思維之深刻。代數(shù)建模關(guān)鍵思想是“文字參與運(yùn)算”。也就是說(shuō)，代數(shù)實(shí)質(zhì)是用文字代表未知數(shù)，并且由文字代表“未知數(shù)”和已知數(shù)能夠進(jìn)行運(yùn)算，即進(jìn)行“式”運(yùn)算。

“代數(shù)就是用文字代表數(shù)”？自然數(shù)互換律，就寫(xiě)了AB=BA,這里，用文字A,B代表任意自然數(shù)，可是這和代數(shù)無(wú)關(guān)。第26頁(yè)第26頁(yè)如何測(cè)三根導(dǎo)線電阻？電阻分別是x,y,z.于是，他列出下列三元一次聯(lián)立方程：

x+y=ay+z=bz+x=cxyz上海51中學(xué)陳振宣老師提供袁枚曾說(shuō)：“學(xué)如箭鏃，才如弓弩，識(shí)以領(lǐng)之，方能中鵠（gu)”。

第27頁(yè)第27頁(yè)

看不見(jiàn)數(shù)學(xué)領(lǐng)域利用數(shù)學(xué)

1948年數(shù)學(xué)地圖1948：美國(guó)仙農(nóng)發(fā)表《信息數(shù)學(xué)理論》1948：維納發(fā)表《控制論》。信息、控制是數(shù)學(xué)嗎？1948：馮·諾依曼：計(jì)算機(jī)方案形成

中國(guó)缺乏這樣數(shù)學(xué)偶像?。?！第28頁(yè)第28頁(yè)“三根導(dǎo)線”問(wèn)題啟發(fā)在看起來(lái)“沒(méi)有數(shù)學(xué)問(wèn)題”地方發(fā)覺(jué)數(shù)學(xué)問(wèn)題，那往往是“大”數(shù)學(xué)創(chuàng)造。只會(huì)把“別人已經(jīng)做過(guò)問(wèn)題重做一遍”是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。國(guó)際數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽金牌難拿，但是，三根導(dǎo)線作者所含有創(chuàng)新性，則愈加難能可貴。這樣優(yōu)秀案例為何進(jìn)不了數(shù)學(xué)教材？第29頁(yè)第29頁(yè)

三、欣賞數(shù)學(xué)美震撼于數(shù)學(xué)思維內(nèi)在之友好意境第30頁(yè)第30頁(yè)

數(shù)學(xué)美，不要老是拿“黃金分割”說(shuō)事；數(shù)學(xué)美，不能只是重復(fù)數(shù)學(xué)家已經(jīng)說(shuō)過(guò)“統(tǒng)一美，友好美，簡(jiǎn)樸美，奇異美……。要開(kāi)發(fā)更多數(shù)學(xué)美學(xué)價(jià)值；數(shù)學(xué)意境之美，為大眾容易理解。實(shí)無(wú)限和潛無(wú)限：杜甫：“無(wú)邊落木蕭蕭下，不盡長(zhǎng)江滾滾來(lái)”。第31頁(yè)第31頁(yè)例7．“無(wú)界變量”意境之美。欣賞點(diǎn)：用“滿園春色關(guān)不住，一枝紅杏出墻來(lái)”，加以描慕，人文意境和數(shù)學(xué)意境互相交融，渾然一體。對(duì)任意正數(shù)M，總存在一個(gè)下標(biāo)n，使得︱xn︱>M

（六盤(pán)水師院楊光老師提供）第32頁(yè)第32頁(yè)例8對(duì)稱(chēng)與對(duì)聯(lián)。不變量之美欣賞點(diǎn)：“數(shù)學(xué)美和文學(xué)美是相通，改變中不變量是數(shù)學(xué)美共同本源”。只說(shuō)改變，化歸是不夠，在改變中尋求不變性質(zhì)和不變量，是人類(lèi)文明發(fā)展正道。第33頁(yè)第33頁(yè)

對(duì)稱(chēng)和對(duì)仗對(duì)稱(chēng)是幾何變換。變換之后有不變量。軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)后圖形不變、長(zhǎng)度角度都不變。中國(guó)對(duì)仗：“明月松間照，清泉石上流”（王維詩(shī)句）?！懊髟隆睂?duì)“清泉”，變中有不變。形容詞對(duì)形容詞，名詞對(duì)名詞，自然景物仍然是自然景物。

文化上看，兩者異曲同工。只是數(shù)學(xué)愈加準(zhǔn)確、比較抽象而已。清泉石上流明月松間照第34頁(yè)第34頁(yè)守恒之科學(xué)美民族要發(fā)展，但是老式不變；物理上能量守恒；解方程：移項(xiàng)、變形但是保持“根”不變；拓?fù)鋵W(xué)：七橋問(wèn)題；第35頁(yè)第35頁(yè)不變性質(zhì)和不變量，是一篇大學(xué)問(wèn)?；瘹w，是一個(gè)將未知轉(zhuǎn)化為已知辦法，化歸是和不變性質(zhì)聯(lián)系在一起。方程變形，最后化為已知可解情形，但是“變形”“化歸”，必須保持原方程根不變。不等式證實(shí)，也通過(guò)不斷地放大和縮小化為已知情形，但是不等號(hào)方向不能變。一切化歸必須以某個(gè)“不變”為前提。流傳很廣“關(guān)系-映射-反演（RMI）原理，是一個(gè)特殊化歸。但是，這里映射，必須保持一個(gè)不變性。比如，這個(gè)映射是“同構(gòu)”和“同態(tài)”等等，然后才干處理問(wèn)題。第36頁(yè)第36頁(yè)例9拉格朗日微分中值定理“存在性定理”意境。欣賞點(diǎn)：“只知道它存在，卻不知道它在哪里”，拉格朗日中