向量組的相關(guān)性

關(guān)于向量組的相關(guān)性第1頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三第三節(jié)向量組的線性相關(guān)性

§1.3.1向量組的相關(guān)性定義1.6

（線性組合、線性表示）為向量組A的一個(gè)線性組合，b在該線性組合下的組合系數(shù).稱向量也稱b可由向量組A

線性表示或線性表出，第2頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例

設(shè)a1=(1,0,2,0),a2=(3,-1,0,1),a3=(0,1,-1,0),令b=(-2,3,0,-1)則b為向量組a1,a2,a3

的一個(gè)線性組合，

也可說b可由a1,a2,a3

線性表示。第3頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三例

設(shè)n維向量a是向量b1與b2的線性組合，而b1與b2又都是g1,g2,g3的線性組合,求證a是g1,g2,g3的線性組合第4頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三

如果向量組S1中每一個(gè)向量均可由向量組S2線性表示，則稱向量組S1可由向量組S2線性表示，如果同時(shí)S2也可由S1線性表示，

則稱S1和S2是等價(jià)向量組，或稱它們是等價(jià)的。約定

(1)在一個(gè)向量組中所有向量的維數(shù)相同；(2)

向量組中允許有相同的向量；(3)

向量組中的向量可以是有限的，也可以是無限的，但每一個(gè)線性組合中的向量個(gè)數(shù)是有限的。第5頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三如果存在不全為零的常數(shù)k1,k2,…,km,使得等式(1.14)才成立，則稱這m個(gè)向量線性無關(guān)線性相關(guān)，定義1.7

（線性相關(guān)、線性無關(guān)）k1a1+k2a2+…

+kmam

=0,(1.14)線性無關(guān)，即：如果只有當(dāng)

k1=k2=…

=km=0時(shí)，第6頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三向量組相關(guān)性的說明性質(zhì)1

包含零向量的向量組必線性相關(guān)性質(zhì)2包含兩個(gè)相等向量的向量組必線性相關(guān)第7頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三

一個(gè)向量組中若部分向量線性相關(guān)，則整個(gè)向量組也線性相關(guān)；一個(gè)向量組若線性無關(guān)，則它的任何一個(gè)部分組都線性無關(guān)．性質(zhì)3第8頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.13

當(dāng)m≥2時(shí),向量組A:a1,a2,…,am

線性相關(guān)的充要條件是其中某一向量可表示為其余向量的線性組合第9頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.14

若向量組a1,a2,…,am

線性無關(guān),但添加一個(gè)向量b后向量組a1,a2,…,am,b線性相關(guān),則b是a1,a2,…,am的線性組合,且其線性表示是唯一的.第10頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三習(xí)題1.3第4題(由性質(zhì)3)(由定理1.14)第11頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.15

設(shè)A為n階方陣，則A的n個(gè)列向量線性相關(guān)的充要條件是|A|=0第12頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.15

的另一種敘述:n個(gè)n維向量線性相關(guān)的充要條件是其構(gòu)成的方陣行列式|A|=0,即n

個(gè)n

維向量a1＝(a11,a12,…,a1n),a2＝(a21,a22,…,a2n),…,an＝(an1,an2,…,ann)線性相關(guān)的充要條件是第13頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三故由定理1知向量組a1

a2

a3線性相關(guān)練習(xí)

試討論向量組a1(111)

a2(025)

a3(247)

線性相關(guān)性解由向量組構(gòu)成的行列式第14頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.16

n+r個(gè)n維向量必線性相關(guān),這里r≥0第15頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定理1.17

設(shè)

n維向量組x1,x2,…,xr

可由向量組h1,h2,…,hs

線性表出,若r>s,則x1,x2,…,xr線性相關(guān)第16頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三向量組的極大線性無關(guān)組定義1.8(極大無關(guān)組)設(shè)有向量組S

如果在S中能選出r個(gè)向量a1

a2

ar

滿足(1)向量組M

a1

a2

ar線性無關(guān)

(2)往M中再添任一S中的其它向量,則這r+1個(gè)向量構(gòu)成的向量組線性相關(guān).那么M

a1

a2

ar稱為向量組

A的一個(gè)極大線性無關(guān)組（極大無關(guān)組，極大組）第17頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三

故由定理1.15知向量組a1

a2

a3線性相關(guān)

例試求向量組a1(111)

a2(025)

a3(247)

的一個(gè)極大線性無關(guān)組解由向量組構(gòu)成的行列式

又顯然向量組a1

a2線性無關(guān)，因此a1

a2就是所求向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。

同樣a2

a3也是向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。第18頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三性質(zhì)1

向量組中任一向量都可由其極大無關(guān)組線性表示(由定理1.14)

向量組的極大線性無關(guān)組一般不是唯一的，但有性質(zhì)2在一個(gè)向量組中，不同極大線性無關(guān)組中所包含的向量的個(gè)數(shù)是相同的

第19頁，共22頁，2023年，2月20日，星期三定義1.9(向量組的秩)向量組A的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組A的秩記作

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