《傾斜角與斜率》示范課教學(xué)設(shè)計【高中數(shù)學(xué)人教】

《傾斜角與斜率》教學(xué)設(shè)計【引入新課】思考：我們知道，點是構(gòu)成直線的基本元素.在平面直角坐標(biāo)系中，點用坐標(biāo)表示，那么，直線如何表示呢？【課堂探究】為了研究這個問題，我們需要弄清楚:問題1：確定一條直線位置的幾何要素是什么?對于平面直角坐標(biāo)系中的一條直線l，如何利用坐標(biāo)系確定它的位置?答案：兩點以及一點和一個方向可以確定一條直線，由方向向量我們可以知道，兩點確定一條直線可以歸結(jié)為一點和一個方向確定一條直線.問題2：在平面直角坐標(biāo)系中，我們規(guī)定一條直線向上的方向為這條直線的方向.因此，這些直線的區(qū)別在于它們的方向不同.如何表示這些直線的方向？答案：在平面直角坐標(biāo)系中，我們規(guī)定一條水平直線的方向向右.其他還有如圖所示的三種情形，我們規(guī)定直線向上的方向為這條直線的方向.進一步，我們觀察下圖中這些直線，它們的區(qū)別在于它們的方向不同.我們看到，這些直線相對于x軸的傾斜程度不同，也就是它們與x軸所成的角不同.因此，我們可以利用這樣的角來表示這些直線的方向．當(dāng)直線l與x軸相交時，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角（angleofinclination）．問題3：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，其傾斜角大小為多少?直線的傾斜角的取值范圍是什么?答案：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時，我們規(guī)定它的傾斜角為0°．因此，直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.這樣，平面直角坐標(biāo)系中，每一條直線都有一個確定的傾斜角，而且方向相同的直線，其傾斜程度相同，傾斜角相等；方向不同的直線，其傾斜程度不同，傾斜角不相等.因此，我們可以用傾斜角表示平面直角坐標(biāo)系中一條直線的傾斜程度，也就表示了直線的方向．問題4：直線l的傾斜角α與P1(x1，y1)，P2(x2，y2)有什么內(nèi)在聯(lián)系?追問1：對于一個一般性命題，可以從特殊的情形來考慮，先嘗試解決如下問題.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)直線l的傾斜角為α．(1)已知直線l經(jīng)過點O(0，0)，P(，1)，α與點O，P的坐標(biāo)有什么關(guān)系?(2)類似地，如果直線l經(jīng)過點P1(－1，1)，P2(，0)，α與點P1，P2的坐標(biāo)又有什么關(guān)系?答案：對于問題（1），如圖，向量，且直線OP的傾斜角也為α．由正切函數(shù)的定義，有．對于問題（2），如圖，．平移向量到，則點P的坐標(biāo)為，且直線OP的傾斜角也是α．由正切函數(shù)的定義，有．追問2：將特殊情形推廣到一般情形，能得到什么結(jié)論？答案：一般地，如圖，當(dāng)向量的方向向上時，．平移向量到，則點P的坐標(biāo)為，且直線OP的傾斜角也是α，由正切函數(shù)的定義，有tanα=．同樣，當(dāng)向量的方向向上時，如圖，，也有tanα==．追問3：當(dāng)直線P1P2與x軸平行或重合時，上述式子還成立嗎？為什么？答案：當(dāng)直線P1P2與x軸平行或重合時，y1=y2，α=0o，符合tanα=.結(jié)論直線l的傾斜角α與直線l上的兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的坐標(biāo)有如下關(guān)系：tanα=.我們把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率（slope），斜率常用小寫字母k表示，即k=tanα.日常生活中常用“坡度”表示傾斜面的傾斜程度：坡度=鉛直高度水平寬度當(dāng)直線的傾斜角為銳角時，直線的斜率與坡度是類似的．α=0o?k=0；0o<α<90o?k>0；α=90o?斜率不存在；90o<α<180o?k<0.問題5：當(dāng)直線的傾斜角由0o逐漸增大到180o時，其斜率如何變化？為什么?答案：當(dāng)傾斜角α滿足0o≤α<90o且逐漸增大時，斜率k逐漸增大；當(dāng)傾斜角α=90o，斜率不存在；當(dāng)傾斜角α滿足90o<α<180o且逐漸增大時，斜率k逐漸增大.結(jié)論：由正切函數(shù)的單調(diào)性，傾斜角不同的直線其斜率也不同．因此，我們可以用斜率表示傾斜角不等于90o的直線相對于x軸的傾斜程度，進而表示直線的方向．由tanα=及k=tanα知，k=.問題6：直線的方向向量與斜率k有什么關(guān)系？答案：我們知道，直線P1P2上的向量及與它平行的向量都是直線的方向向量，直線P1P2的方向向量的坐標(biāo)為，當(dāng)直線P1P2與x軸不垂直時，，此時向量也是直線P1P2的方向向量，且它的坐標(biāo)為即其中k是直線P1P2的斜率．因此，若直線l的斜率為k，它的一個方向向量的坐標(biāo)為（x，y），則.【知識應(yīng)用】例1如圖，已知A(3，2)，B(－4，1)，C(0，－1)，求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角．