2022-2023學(xué)年北京市海淀區(qū)某學(xué)校八年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷含詳解

北京市八一學(xué)校2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中試卷

初二數(shù)學(xué)

（本份試卷共三道大題，26道小題.滿分：100分時間：90分鐘）

一、選擇題（下列每則的四個選項中，只有一個正確的選項）

1.我們生活在一個充滿對稱的世界中，生活中的軸對稱圖形隨處可見.下面幾幅圖片是校

園中運動場上代表體育項目的圖標(biāo)，其中可以看作是軸對稱圖形的是（）

C.

舉重

武術(shù)

2.點/（4,2）關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（).

A.(4,-2)B.?2)C.(-4,-2)D.(2,4)

3.己知三角形兩條邊的長分別是3和4,則第三邊長可能是（）

A.IB.5C.7D.9

4.下列命題是假命題的是（）

A.三角形具有穩(wěn)定性B.周長相等兩個三角形全等

C.全等三角形的對應(yīng)邊相等D.等腰三角形的兩個底角相等

5.如圖是一個平分角的儀器，其中AB=A。，BC=DC.將點4放在一個角的頂點，

AB和AD沿著這個角的兩邊放下，利用全等三角形的性質(zhì)就能說明射線AC是這個角的平

分線，這里判定AABC和AADC是全等三角形的依據(jù)是（）

A.SSSB.ASAC.SASD.AAS

6.如圖，AABC是等邊三角形，4）平分NB4C,若80=3,則A8的長為（）

A

7.如圖，點。是A/WC內(nèi)一點，滿足。4=QB=0C，則點。是（）

A

A.AABC三條邊的垂直平分線的交點B.AABC三個角的角平分線的交點

C.AABC三條高交點D.AABC三條中線的交點

8.如圖，四邊形ABC。中，AD=CD,AB=CB,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊

形叫做“箏形”，根據(jù)所學(xué)知識，請在下列選項中選出不正確的一項（）

A.“箏形”是軸對稱圖形B.AC垂直5。

C.3。平分一組對角D.AC平分一組對角

9.如圖,小明從A點出發(fā)，沿直線前進(jìn)1米后左轉(zhuǎn)30。,再沿直線前進(jìn)1米，又向左轉(zhuǎn)30。,...,

照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)地A點時，一共走了（）

A10米B.12米C.16米D.20米

10.在平圖直角坐標(biāo)系X0Y中，點A（0,3）,B（a,o）,C（肛〃）（〃>0）,若AABC是等腰直

角三角形，且A3=BC,當(dāng)0<。<2時，點C的橫坐標(biāo)團(tuán)的取值范圍是（）

A.0<m<2B.2<m<3C.m>3D.

3<m<5

二、填空題

11.四邊形的內(nèi)角和為.

12.如圖，己知/ACD為AABC的外角，NACE>=60°,ZA=20°,那Z8的度數(shù)是

13.等腰三角形的兩邊長分別為3和4,則周長為.

14.如圖，AC±BC,AD_LBD，垂足分別為C、D,請你添加一個條件，使

得△4?。也△84C.

15.如圖，一輪船在海上往東行駛，在A處測得燈塔C位于北偏東60。，在8處測得燈塔

C位于北偏東25°,則NACB=

16.如圖，AABC中，BO平分/ABC,CO平分NAC3,過點。且與平行的直線

MN與AB、AC兩邊分別交于M、N,若AB=3,AC=4,則AAAW的周長為

A

17.如圖，在AABC中，A。為邊上的中線，BE平分/ABC交AD于點E,EF±AB

于點居連接CE,若E戶=1，BD=2,則AC￡>￡的面積是

18.如圖，已知點尸是射線。N上一動點（即P可在射線ON上運動），ZAON=30°,當(dāng)

NA=時，ZVIOP為等腰三角形.

6Pv

三、解答題

19.已知：如圖，點8,F,C,E在同一條直線上，AB//DE，AB=DE，NA=ND.

求證：△ABCTaDEF.

20.如圖，點。，E在AABC的邊8C上，AB=AC,AD^AE.求證：BD=CE.

21.平面直角坐標(biāo)系中，點A（T』）、B（T,2）、C（-2,4）.

（1）畫出AABC關(guān)于y軸對稱的△44G，并寫出點A1的坐標(biāo)；

（2）在x軸上畫出點P,使得B4+P3的值最小.

22.如圖，已知線段8C,

BC

（1）請用直尺和圓規(guī)作出它的垂直平分線MN,在MN上取點4,連接AB，AC（保

留作圖痕跡）

（2）求作：直線4）,使得AD〃3C,依據(jù)下面的作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

①以點A為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧，交的延長線于點E,交線段AC于點E

②分別以點E,尸為圓心、大于長為半徑畫弧，兩弧在NE4C的內(nèi)部相交于點。;

2

③畫直線A。：

（3）完成下面證明.

證明：由作法可知：AO平分ZE4C，NE4D=ZDAC

；MN垂直平分BC,點、A在MN上,

AB=AC，

AZB=ZC（）.（填推理的依據(jù)）

???ZEAC=Z_______+ZC.

：.ZEAC=2ZC.

?：ZEAC=2ZDAC

：.ZDAC=Z_______.

二AD//BC.

23.已知：如圖，AABC中，AB=AC,N」BAC=120°,AC邊的垂直平分線。石與

8c邊交于點￡>,垂足為E,若。￡=1，求8C的長.

24.已知：如圖，等邊AABC和等邊VADE，連接3D、CE交于點、0.

(1)求證：BD=CE；

(2)連接A。，猜想線段A。、BO、CO的數(shù)量關(guān)系，并證明.

25.【定義】

如果1條線段將一個三角形分成2個等腰三角形，那么這1條線段稱為這個三角形的“分割

線”.

如果2條段將一個三角形分成3個等腰三角形，那么這2條線段稱為這個三角形的“黃金分

割錢”.

【理解】

(1)①如圖1,在AABC中，ZA=36°,ZC=72°,請你在這個三角形中畫出它的

“分割線”，并標(biāo)出所分得的各等腰三角形頂角的度數(shù)；

②如圖2,已知AASC是等腰直角三角形，NC=90°,請你在這個三角形中畫出它的“黃

金分割線”，并標(biāo)出所分得的各等腰三角形頂角的度數(shù).

(2)填空：等邊三角形(填“存在”或“不存在”)“分割線”；

頂角為鈍角的等腰三角形(填“存在”或“不存在”)“黃金分割線”.

(3)【應(yīng)用】

在AABC中，NA=30°,N8為鈍角，若這個三角形存在“分割線”，直接寫出的所

有可能值：.

26.已知如圖，NAOB=45°,點P在Q4邊上，點M在0B邊上，NOMP為鈍角，

NMPN=135°.

(1)想NQMP與NOPN的數(shù)量關(guān)系，并證明：

⑵若PM=PN,連接ON,過點P作PE_LO6于點E,點H是。8邊上位于點E右

側(cè)的動點，且”為線段“。的中點，連接尸。；

①補全圖形；

②猜想當(dāng)線段0「、E”滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，能使°N=P0,并證明.

北京市八一學(xué)校2022-2023學(xué)年度第一學(xué)期期中試卷

初二數(shù)學(xué)

(本份試卷共三道大題，26道小題.滿分：100分時間：90分鐘)

一、選擇題(下列每則的四個選項中，只有一個正確的選項)

1.我們生活在一個充滿對稱的世界中，生活中的軸對稱圖形隨處可見.下面幾幅圖片是校

園中運動場上代表體育項目的圖標(biāo)，其中可以看作是軸對稱圖形的是()

4-

.-1,,-一

武術(shù)

【答案】c

【分析】利用軸對稱圖形的定義進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：A、圖形沿某條直線對折后，兩旁的部分不能完全重合，不是軸對稱圖形，

故此選項不合題意；

B、圖形沿某條直線對折后，兩旁的部分不能完全重合，不是軸對稱圖形，故此選項不符

合題意；

C、圖形沿某條直線對折后，兩旁的部分能完全重合，是軸對稱圖形，故此選項符合題

意；

D、圖形沿某條直線對折后，兩旁的部分不能完全重合，不是軸對稱圖形，故此選項不合

題意；

故選：C.

【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形，關(guān)鍵是掌握如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩

旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸.

2.點M(4,2)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是().

A.(4,-2)B.(-4,2)C.(-4,-2)D.(2,4)

【答案】A

【分析】根據(jù)關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)可直接得到答

案.

【詳解】解：點"(4,2)關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是(4,-2),

故選：A.

【點睛】此題主要考查了關(guān)于x軸對稱點的坐標(biāo)特點，關(guān)鍵是掌握點的坐標(biāo)的變化規(guī)律.

3.己知三角形兩條邊的長分別是3和4,則第三邊長可能是（）

A.1B.5C.7D.9

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)第三邊為x,

4—3<x<3+4,即l<x<7,

故選：B.

【點睛】本題主要考查三角形三邊的關(guān)系，理解組成三角形三邊的大小關(guān)系是解題的關(guān)

鍵.

4,下列命題是假命題的是（）

A.三角形具有穩(wěn)定性B.周長相等的兩個三角形全等

C.全等三角形的對應(yīng)邊相等D.等腰三角形的兩個底角相等

【答案】B

【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的性質(zhì)逐項判斷即可作答.

【詳解】A、三角形具有穩(wěn)定性，原說法正確，本項是真命題：

B、周長相等的兩個三角形不一定全等，原說法錯誤，本項是假命題；

C、全等三角形的對應(yīng)邊相等，原說法正確，本項是真命題；

D、等腰三角形的兩個底角相等，原說法正確，本項是真命題；

故選：B.

【點睛】本題考查了真假命題的判斷，涉及全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三

角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵.

5.如圖是一個平分角的儀器，其中AB=AT>,BC=DC.將點A放在一個角的頂點，

AB和AO沿著這個角的兩邊放下，利用全等三角形的性質(zhì)就能說明射線4c是這個角的平

分線，這里判定AABC和AAOC是全等三角形的依據(jù)是（）

A.SSSB.4s4C.SASD.AAS

【答案】A

【分析】原來已經(jīng)有兩條邊相等，垂下的射線是兩個三角形的公共邊，故三邊分別對應(yīng)相

等.

【詳解】△ADC和△ABC中

AD=AB

,DC=BC

AC=AC

所以△AOC也△ABC（SSS）

故選A.

【點睛】本題考查全等三角形的判定，理解并掌握三角形全等的判定定理是解決本題關(guān)

鍵.

6.如圖，AABC是等邊三角形，4）平分NB4C,若30=3,則的長為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)“三線合一”可得角平分線也是等邊A/WC的中線，即可作答.

【詳解】解：：A。平分ZBAC,

又,:AABC是等邊三角形，

,根據(jù)“三線合一”可知：角平分線AO也是等邊AABC的中線，

即有：BD=DC=-BC,

2

,/BD=3,

BC-6,

AB=BC=6,

故選：C.

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)的知識，掌

握等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵.

7.如圖，點。是AABC內(nèi)一點，滿足。4=0B=0C,則點。是（）

A

A.A/WC三條邊的垂直平分線的交點B.AABC三個角的角平分線的交點

C.AABC三條高的交點D.AABC三條中線的交點

【答案】A

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出即可.

【詳解】解：'：OA=OB,

...0在AB的垂直平分線上,

,?OB=OC,

...0在線段BC的垂直平分線上，

OA=OC,

：.0在線段AC的垂直平分線上，

即。是△A8C三邊垂直平分線的交點，

故選：A.

【點睛】本題考查了三角形的角平分線、中線、高，線段垂直平分線的性質(zhì)，能熟記到線

段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上是解此題的關(guān)鍵.

8.如圖，四邊形ABQD中，AD=CD,AB=CB,我們把這種兩組鄰邊分別相等的四邊

形叫做“箏形”，根據(jù)所學(xué)知識，請在下列選項中選出不正確的一項（）

A.“箏形”是軸對稱圖形B.AC垂直8。

C.平分一組對角D.AC平分一組對角

【答案】D

【分析】由線段垂直平分線的判定可知BO是AC的垂直平分線，從而可判斷A、B選項正

確；通過證明八4。的八?！?8可得NAO8=NC￡>民NABO=NCB。，可判定C選項正

確：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可判定D選項錯誤.

【詳解】解：：的二。。，

...點D在線段AC的垂直平分線上，

AB=CB,

二點B在線段AC的垂直平分線上，

是AC的垂直平分線，

箏形是軸對稱圖形，故A、B選項正確；

在AAD3和AC7M中，

AD=CD,AB=CB,BD=BD,

：.MDB^ACr>B(SSS),

/.ZADB=ZCDB,ZABD=ZCBD,

即對角線8。平分NABCNAOC，故C選項正確；

直線BD是箏形的對稱軸，AC不是，故D選項錯誤；

故選：D.

【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的判定，對稱性，解本題的

關(guān)鍵是判斷出AAD蛇ACDB.

9.如圖,小明從A點出發(fā)，沿直線前進(jìn)1米后左轉(zhuǎn)30。,再沿直線前進(jìn)1米，又向左轉(zhuǎn)30。,一，

A.10米B.12米C.16米D.20米

【答案】B

【分析】由題意可知小亮所走的路線為一個正多邊形，根據(jù)多邊形的外角和即可求出答

案.

詳解】解：???360°+30°=12,

.?.他需要走12次才會回到原來的起點，即一共走了1X12=12(米).

故選：B.

【點睛】本題主要考查了多邊形的外角和定理.任何一個多邊形的外角和都是360。.

10.在平圖直角坐標(biāo)系中，點A（0,3）,B（a,o）,C（〃?,〃）（〃>0）,若AABC是等腰直

角三角形，且=當(dāng)0<“<2時，點C的橫坐標(biāo)，"的取值范圍是（）

A.0<m<2B.2<m<3C.m>3D.

3<m<5

【答案】D

【分析】過點C作CDA-x軸于D,可證AAQ8也△BDC,可得

AO=BD=2,BO=CD=n=a,即可求解.

【詳解】解：如圖，過點C作CO_Lx軸于。，

?.?點A(0,3),

AO=3,

?；AABC是等腰直角三角形，且4B=BC,

ZABC=90°^ZAOB=ZBDC，

ZABO+ZCBD=90°=ZABO+/BAO,

：./BAO=/CBD，

在“03和△3￡>C中，

ZAOB=NBDC

<ZBAO=NCBD,

AB=BC

；?會/OC(AAS),

AO=3￡>=3,BO=CD=片a,

\'0<a<2,

OD=OB+BD=3+a=/n,

3<m<5>

故選：D.

【點睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，添

加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵.

二、填空題

11.四邊形的內(nèi)角和為.

【答案】360°.

【詳解】試題分析：根據(jù)n邊形內(nèi)角和是（n-2）T80。，代入公式就可以求出四邊形的內(nèi)

角和為:（4-2）xl80°=360°.

考點：多邊形內(nèi)角和定理.

12.如圖，己知/AC0為AABC的外角，ZACD=6O°,NA=20°,那的度數(shù)是

【答案】40°##40度

【分析】根據(jù)“三角形的一個外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角和”，求的度數(shù)即可.

（詳解】解：：ZACD=60°,ZA=20°,

ZB=ZACD-ZA=60°-20°=40°.

故答案為：40°.

【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

13.等腰三角形的兩邊長分別為3和4,則周長為.

【答案】10或H

【分析】因為等腰三角形的兩邊分別為3和4,但沒有明確哪是底邊，哪是腰，所以有兩種

情況，需要分類討論.

【詳解】解：當(dāng)3為底時，其它兩邊都為4,3、4、4可以構(gòu)成三角形，此時周長為11；

當(dāng)3為腰時，其它兩邊為3和4,3、3、4可以構(gòu)成三角形，此時周長為10.

故答案為10或11.

【點睛】本題主要考查了三角形三邊關(guān)系；對于底和腰不等的等腰三角形，若條件中沒有

明確哪邊是底哪邊是腰時，應(yīng)在符合三角形三邊關(guān)系的前提下分類討論.

14.如圖，ACVBC,ADJ.BD，垂足分別為C、D,請你添加一個條件，使

得△ARDdBAC.

【答案】AC=BD（答案不唯一）

【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法作答即可.

【詳解】解：；ACLBC,ADJ.BD，

ZD=NC=90°，

添加AC=BD,利用HL能判定△AB。絲△B4C,

故答案為AC=3。.

【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：

SSS,SAS,ASA,AAS,HL.

15.如圖，一輪船在海上往東行駛，在A處測得燈塔C位于北偏東60。，在B處測得燈塔

C位于北偏東25°,則NACB=°.

【答案】35

【分析】先根據(jù)方向線平行，可求NAEB=ND4C=60。，由外角性質(zhì)可得

ZAEB=NECB+NEBC,NACB=ZAEB--/EC=35。即可.

【詳解】解：點A的正北方向用字母。，點B的正北方向與AC交點用字母E表示,

：N￡>AC=60。，AD〃BE,

：.ZAEB=ZDAC=60°,

,：/AE8是△EBC的外角，

/AEB=/ECB+NEBC,

：.NECB=NAEB-NEBC=60°-25=35°,

即/ACB=35。.

故答案為35.

【點睛】本題考查方位角，三角形外角性質(zhì)，掌握方位角，三角形外角性質(zhì)解題關(guān)鍵.

16.如圖，AABC中，B0平分/ABC,CO平分NAC3,過點。且與BC平行的直線

MN與AB、AC兩邊分別交于M、N,若45=3,AC=4,則AAAW的周長為

【答案】7

【分析】由MN〃BC,BO平分/ABC得ZMOB=NOBC=ZMBO,從而得到

MB=MO；同理可得NC=NO,即MN=MO+NO=MB+NC，進(jìn)而得到

CMMN=A3+AC,代入即可得出答案?

【詳解】解：?:MN〃BC,

：.ZMOB=NOBC,

?：80平分NABC,

/OBC=/MBO,

：.ZMOB=ZMBO,

：.MB=MO,

同理NC=N0，

:.MN=M0+NO=MB+NC,

：.C^MN=AM+AN+MN=AM+AN+MB+NC=AB+AC,

又?.?"=3,AC=4,

?'.C"=3+4=7-

故答案為：7.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)及角平分線的定義，解題的

關(guān)鍵是熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖，證明GMN=AB+AC.

17.如圖，在AABC中，A￡>為BC邊上的中線，BE平分NABC交AD于點E,EFYAB

于點凡連接CE,若EF=1，80=2,則的面積是.

【分析】過點E作EG_L3C,由角平分線的性質(zhì)可得EG=EE=1,再由AO是中線，可

得CD=BD=2,利用三角形的面積公式可求得ACDE的面積.

【詳解】解：過點E作EGJ_3C，如圖，

EG=EF=1,

,：BD=2,AO為3c邊上的中線，

?*.CD=BD=2,

/.S=-CD-EG=-x2x1=1.

ACrLDZZF>22

故答案為：1.

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的中位線，三角形的面積，解答的關(guān)鍵是熟

記三角形的面積公式.

18.如圖，已知點P是射線ON上一動點（即P可在射線ON上運動），ZAON=30°,當(dāng)

NA=時，ZVIOP為等腰三角形.

A

0PV

【答案】30°或75°或120°

【分析】分三種情況當(dāng)點。，點A,點尸為等腰三角形頂角，利用三角形內(nèi)角和即可求

解.

【詳解】解：當(dāng)點。為等腰三角形頂點時，NA=75。，

當(dāng)點A為等腰三角形頂點時，ZA=120°,

當(dāng)點尸為頂點時，NA=30。，

故答案為30。或75。或120°.

【點睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，分類討論思想，對于等腰三角形求角

度，分類考慮點。，點A，點P為等腰三角形頂角是解題關(guān)鍵.

三、解答題

19.已知：如圖，點8,F,C,E在同一條直線上，AB//DE，AB=DE，

求證：△A8C=/\DEF.

【分析】由AB〃OE，推導(dǎo)N8=NE，然后由“ASA”證明ZvlBC且即可.

【詳解】證明：OE，

4B=NE,

在AABC和△￡）及'中，

ZA=NO

<AB=DE,

NB=NE

：.^ABC^DEF（ASA）.

【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和全等三角形的判定，熟練掌握常用全等三角形的

判定方法是解題關(guān)鍵.

20.如圖，點3,￡在AABC的邊8c上，AB=AC,AD^AE.求證：BD=CE.

【答案】見解析

【分析】由等邊對等角可得ZB=NC,ZADE=ZAED，由補角可得

ZADB=ZAEC,利用（AAS）求得AABOMAACE即可證明；

【詳解】證明：：AB=AC,AD=AE，

ZB=NC,ZADE^ZAED,

?/ZADB=\^O0-ZADE,/AEC=180°-/AEO,

ZADB=ZAEC,

在△AB。和“CE中，

'AB=AC

<N3=NC

ZADB=NAEC

A^ABD=^ACE（AAS）,

：.BD=CE；

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)（AAS）,掌握（AAS）

的判定條件是解題關(guān)鍵.

21.平面直角坐標(biāo)系中，點A（T,1）、8（-1,2）、C（-2,4）.

（1）畫出AABC關(guān)于y軸對稱的△44C，并寫出點A1的坐標(biāo)：

（2）在x軸上畫出點P,使得P4+P3的值最小.

【答案】（1）見詳解，點4的坐標(biāo)為（4,1）

（2）見詳解

【分析】（1）根據(jù)軸對稱的定義作出點A、B、C關(guān)于y軸的對稱點，再順次連接即可；結(jié)

合圖形得點4的坐標(biāo)即可；

（2）確定點8關(guān)于x軸的對稱點鳥,連接4名，與x軸交于點P,即為所求.

【小問1詳解】

解：作AABC關(guān)于），軸對稱的如下圖：

由圖可知，點A1的坐標(biāo)為（4,1）；

【小問2詳解】

如下圖，點P即為所求.

【點睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形、作圖一軸對稱變換、最短路徑等問題，熟練掌握軸

對稱的定義與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

22.如圖，已知線段6C,

B

（1）請用直尺和圓規(guī)作出它的垂直平分線MN,在MN上取點A,連接A8，AC（保

留作圖痕跡）

（2）求作：直線AD,使得依據(jù)下面的作法補全圖形（保留作圖痕跡）；

①以點4為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧，交84的延長線于點E,交線段AC于點色

②分別以點E,尸為圓心、大于,石廠的長為半徑畫弧，兩弧在NE4c的內(nèi)部相交于點Q；

2

③畫直線AO：

（3）完成下面的證明.

證明：由作法可知：A。平分/區(qū)4C，，NE4O=NZMC

垂直平分8C,點A在MN上，

AB=AC，

:?ZB=NC（）.（填推理的依據(jù)）

,/ZE4C=Z_______+ZC.

ZEAC=2ZC.

???ZEAC=2ZDAC

：.ZDAC=Z______.

/.AD//BC.

【答案】（I）見解析（2）見解析

（3）同一個三角形中，等邊對等角；B；C

【分析】（1）以點B,點C為圓心，大于18C為半徑在線段6c上、下兩邊畫弧，交點分

2

別為M,N,再過點M,N畫一條直線，即可得到線段3C的垂直平分線MN,再在直線MN

上任取一點A,連接AB,AC即可.

（2）按照題目要求畫圖即可.

（3）根據(jù)垂直平分線上任意一點到角兩邊的距離相等即可得到A3=AC,根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)等邊對等角得到NB=NC,再依據(jù)角平分線的定義及三角形的外角等于其余兩內(nèi)角

之和可得NZMC=NC,由平行線的判定——內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到AD〃8C.

【小問1詳解】

解：如圖，以點B,點C為圓心，大于‘BC為半徑在線段3c上、下兩邊畫弧，交點分

2

別為例，N,再過點M,N畫一條直線，再在直線MN上任取一點A,連接ABAC.

【小問2詳解】

解：如圖，直線AO即為所求.

證明：由作法可知平分NE4c

/.ZEAD=ZDAC

垂直平分BC,點A在MN上

，AB^AC

；.ZB=NC（同一個三角形中，等邊對等角）.（填推理的依據(jù)）

ZEAC=Z_B_+ZC

/?Z￡4C=2ZC

,/ZEAC=2ZDAC

/.ZDAC=ZC

，AD//BC.

故答案為：同一個三角形中，等邊對等角；B；C.

【點睛】本題考查的是線段垂直平分線的作法和性質(zhì)，平行線的作法和判定，其中涉及到

了等腰三角形的性質(zhì)一一等邊對等角，三角形的外角.解題關(guān)鍵是按照步驟作出圖形，掌

握線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及平行線的判定.

23.已知：如圖，AABC中，AB^AC,ZBAC=120°,AC邊的垂直平分線DE與

BC邊交于點。，垂足為E,若DE=1，求BC的長.

【答案】6

【分析】連接A。，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)求出NB=NC=30。，再

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)推導(dǎo)〃4C=30。，根據(jù)含30度角的直角

三角形的性質(zhì)求出A。、8。的值，即可確定BC的長.

【詳解】解：連接A。，如下圖，

VAB=AC，ZBAC=nO°,

：.ZB=ZC=1(180°-ZBAC)=30°,

垂直平分線AC,

AD=CD,

/.ZmC=NC=30。，

ABAD=ABAC-ADAC=120°-30°=90°,

???OE垂直平分線AC,即￡>E_ZAC,

又：ZZMC=30。，DE=1,

/.AD=CD=2DE=2,

在△ABO中，ZB=30°,ZBAD=90°,

；?BO=2AD=2x2=4，

BC=BD+CD=4+2=6.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性

質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

24.已知：如圖，等邊AABC和等邊VADE，連接3。、CE交于點O.

(1)求證：BD=CE；

(2)連接A。，猜想線段A。、BO、CO的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)證明見解析

(2)證明見解析

【分析】(1)欲證明BD=CE,只要證明AAB。也AACEdAS)即可；

(2)如圖，記8。,AC的交點為T,過A作AN_LBD,AV_LCE,垂足為N,M,在CO

的延長線上截取0K=Q4,先證明Q4平分B80E,再證明N5OC=N84C=60。,

△AOK為等邊三角形，證明AABO〈AACK,可得8O=CK,從而可得結(jié)論.

【小問1詳解】

證明：?.?△ADE,AA8C都是等邊三角形，

/.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60°,

/.ZBAC+ZCAD=ZCAD+ZDAE,即/RAD=/CAE.

AB=AC

在△ABO和AACE中，|NBAO=NC4E,

AD=AE

：.△ABD^AACE(SAS),

BD=CE；

【小問2詳解】

證明：如圖，記3。,AC的交點為T,過A作ANJ_8D,40_LCE,垂足為N,M,在

CO的延長線上截取OK=OA,

?：AABD%ACE,

：.ZABD=ZACE,AN=AM,

0A平分DBOE,

ZBOA=ZEOA=-ZBOE,

2

ZABD=ZACE,ZATB=ZOTC,

：.ZBOC=ABAC=60°,

/./BOA=NEOA=60°,而。4=OK,

AAOK為等邊三角形，

...ZAKO60°=ZAOB,

AB=AC,ZABO=ZACK,

：.^ABO^^ACK,

：.BO=CK,

■：CK=CO+OK=CO+OA,

BO=CO+OA.

【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的

判定定理的應(yīng)用，作出適當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)建全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

25.【定義】

如果1條線段將一個三角形分成2個等腰三角形，那么這1條線段稱為這個三角形的“分割

線”.

如果2條段將一個三角形分成3個等腰三角形，那么這2條線段稱為這個三角形的“黃金分

割錢”.

【理解】

（1）①如圖1,在AABC中，NA=36°,NC=72°,請你在這個三角形中畫出它的

“分割線”，并標(biāo)出所分得的各等腰三角形頂角的度數(shù)；

②如圖2,己知AABC是等腰直角三角形，ZC=90%請你在這個三角形中畫出它的“黃

金分割線”，并標(biāo)出所分得的各等腰三角形頂角的度數(shù).

（2）填空：等邊三角形（填“存在”或“不存在”）“分割線”；

頂角為鈍角的等腰三角形（填“存在”或“不存在”）“黃金分割線”.

（3）【應(yīng)用】

在AABC中，ZA=30°,2B為鈍角，若這個三角形存在“分割線”，直接寫出—8的所

有可能值：.

【答案】（1）見詳解（2）不存在，存在

（3）112.5°

【分析】(1)①根據(jù)三角形的“分割線''定義畫出圖形即可作答；②根據(jù)三角形的“黃金分割

錢''定義畫出圖形即可作答；

(2)畫出圖形，證明在△AM中，三個內(nèi)角滿足：ZBAEKZB=600<ZA￡>fi,即

△A8D不可能是等腰三角形，以及在AAOC中，三個內(nèi)角滿足：

NDAC<NC=60°VNA￡)C,即AAT>C不可能是等腰三角形，從而得到等邊三角形不

存在“分割線”；畫出圖形，設(shè)N6=NC=x,NBAE=NBEA=y,列出二元一次方

程組，解方程求出相應(yīng)的角度，即可證明頂角為鈍角的等腰三角形存在“黃金分割線”；

(3)根據(jù)/ABC為鈍角，可知三角形的“分割線”必經(jīng)過8點，

分情況討論：第一種情況：在AABC被BE分割之后，當(dāng)/A為新等腰三角形的頂角時；

第二種情況：在AABC被砥分割之后，當(dāng)NA為新等腰三角形的底角時；分別畫出圖

形，求出相應(yīng)的角的度數(shù)即可求解.

【小問1詳解】

①作圖如下：

“分割線”如圖虛線所示,角度見圖中標(biāo)注;

②作圖如下:

“黃金分割線”如圖虛線所示，角度見圖中標(biāo)注；

【小問2詳解】

等邊三角形不存在“分割線”，理由如下：

如圖，等邊AABC被直線A。所截，且點。在線段BC(不含端點8、C)上

BD

在等邊AABC中，有4B=NC=N84C=60°,

由圖可知：ZBAD=ABAC-ADAC=60°-ZH4C<60°,

同理有：ZZMC<60°,

由圖可知：ZADC=ZB+ZBAD=60°+ZBAD>60°,

同理有：ZADB>6DO,

即在△A3。中，三個內(nèi)角滿足：ZBAD<ZB=600<ZADB,

即△ABO不可能是等腰三角形；

即在AAOC中，三個內(nèi)角滿足：ND4CVNC=60°VNAQC,

即AADC不可能是等腰三角形；

即等邊三角形不存在“分割線”；

頂角為鈍角的等腰三角形存在“黃金分割線”，理由如下：

如圖，等腰AABC的“黃金分割線”為AE,EF，ZBAC為鈍角,

設(shè)NB=NC=x,NBAE=NBEA=y,相應(yīng)的角標(biāo)注如圖，

y+3y=180°

根據(jù)平角為180°和三角形內(nèi)角和為180°可得：'“Ac

2y+x=180°

x=3