一元線性回歸模型

一元線性回歸模型一元線性回歸模型有一元線性回歸模型(統(tǒng)計模型)如下，氣稱解釋變量(自

上模型可以分為兩1氣+ut上式表示變量兀和七之間的真實關(guān)系。其中兀稱被解釋變量(因變量)，變量)，ut稱隨機誤差項，0稱常數(shù)項，]稱回歸系數(shù)(通常未知)。部分。(1)回歸函數(shù)部分，E(y)=0+1xt，(2)隨機部分，ut。氣稱解釋變量(自

上模型可以分為兩陽=向+周&圖2.1陽=向+周&圖2.1真實的回歸直線這種模型可以賦予各種實際意義，收入與支出的關(guān)系；如脈搏與血壓的關(guān)系；商品價格與供給量的關(guān)系；文件容量與保存時間的關(guān)系；林區(qū)木材采伐量與木材剩余物的關(guān)系；身高與體重的關(guān)系等。以收入與支出的關(guān)系為例。假設(shè)固定對一個家庭進(jìn)行觀察，隨著收入水平的不同，與支出呈線性函數(shù)關(guān)系。但實際上數(shù)據(jù)來自各個家庭，來自各個不同收入水平，使其他條件不變成為不可能，所以由數(shù)據(jù)得到的散點圖不在一條直線上(不呈函數(shù)關(guān)系)，而是散在直線周圍，服從統(tǒng)計關(guān)系。隨機誤差項ut中可能包括家庭人口數(shù)不同，消費習(xí)慣不同，不同地域的消費指數(shù)不同，不同家庭的外來收入不同等因素。所以在經(jīng)濟(jì)問題上“控制其他因素不變”是不可能的?；貧w模型的隨機誤差項中一般包括如下幾項內(nèi)容，(1)非重要解釋變量的省略，(2)人的隨機行為，(3)數(shù)學(xué)模型形式欠妥，(4)歸并誤差(糧食的歸并)(5)測量誤差等?；貧w模型存在兩個特點。(1)建立在某些假定條件不變前提下抽象出來的回歸函數(shù)不能百分之百地再現(xiàn)所研究的經(jīng)濟(jì)過程。(2)也正是由于這些假定與抽象，才使我們能夠透過復(fù)雜的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，深刻認(rèn)識到該經(jīng)濟(jì)過程的本質(zhì)。通常線性回歸函數(shù)E(yt)=0+1氣是觀察不到的，利用樣本得到的只是對E(yt)=0+1xt的估計，即對0和]的估計。在對回歸函數(shù)進(jìn)行估計之前應(yīng)該對隨機誤差項ut做出如下假定。ut是一個隨機變量，ut的取值服從概率分布。E(ut)=0。D(ut)=E[ut-E(ut)]2=E(ut)2=2。稱u.具有同方差性。ut為正態(tài)分布(根據(jù)中心'極限定理)。'以上四個假定可作如下表達(dá)。utN(0,b2)。Cov(u.,u.)=E[(u.-E(u.))(u.-E(u.))]=E(u.,u.)=0,(2j)。含義是不同觀測值所對TOC\o"1-5"\h\z.J..JJ.J應(yīng)的隨機項相互獨立。稱為u.的非自相關(guān)性。x.是非隨機的。'Cov(u.,x.)=E[(u.-E(u.))(x.-E(x.))]=E[u.(x.-E(x.)]=E[u.x.-u.E(x.)]=E(u.x.)=0.u.與x,相互獨立。否則，分不清是誰對兀的貢獻(xiàn)。'''''''

（8）對于多元線性回歸模型，解釋變量之間不能完全相關(guān)或高度相關(guān)（非多重共線性。在假定（1），（2）成立條件下有E3）=E（0+1氣+氣）=0+1氣。最小二乘估計（OLS）對于所研究的經(jīng)濟(jì)問題，通常真實的回歸直線是觀測不到的。收集樣本的目的就是要對這條真實的回歸直線做出估計。怎樣估計這條直線呢？顯然綜合起來看，這條直線處于樣本數(shù)據(jù)的中心位置最合理。怎樣用數(shù)學(xué)語言描述“處于樣本數(shù)據(jù)的中心位置”？設(shè)估計的直線用△△yt=。0町七表示。其中y稱y的擬合值（fittedvalue），B和B分別是°和】的估計量。觀測值到七勺0101這條直線的縱向距離用ut表示，稱為殘差。y=y+u=B+Bx+uJtJttL°Jtt稱為估計的模型。假定樣本容量為T。（1）用“殘差和最小”確定直線位置是一個途徑。但很快發(fā)現(xiàn)計算“殘差和”存在相互抵消的問題。（2）用“殘差絕對值和最小”確定直線位置也是一個途徑。但絕對值的計算比較麻煩。（3）最小二乘法的原則是以“殘差平方和最小”確定直線位置。用最小二乘法除了計算比較方便外，得到的估計量還具有優(yōu)良特性。（這種方法對異常值非常敏感）設(shè)殘差平方和用Q表示，Q=2U2=2（y—y）2=￡（y—B—Bx）2，wtt?ttr0r1"TOC\o"1-5"\h\zi=1i=1i=1則通過Q最小確定這條直線，即確定B0和B］的估計值。以B0和B］為變量，把Q看作是B0和B的函數(shù)，這是一個求極值的問題。求q對B和B的偏導(dǎo)數(shù)并令其為零，得正規(guī)方程，101r景=22（七盤。、"-1）=0（1）叩0i=1虹啤=2￡（y—B-Bx）（-x）=0（2）郎t01tt1I=1下面用代數(shù)和矩陣兩種形式推導(dǎo)計算結(jié)果。首先用代數(shù)形式推導(dǎo)。由（1）、（2）式得，(3)⑷'￡(yt-B°邛己)=0i=1TI￡(y-p-BX)X=0t01rti=1

(3)式兩側(cè)用除"并整理得，入——6。=y-叩把(5)式代入(4)式并整理，得，…_、'，—r_[(七—(3)⑷(3)式兩側(cè)用除"并整理得，入——6。=y-叩把(5)式代入(4)式并整理，得，…_、'，—r_[(七—y)―叩七―，)]x=0(6)i=1—(y-y)x-61"(x-x)x=0i=1i=1￡(一、Jx(y-y)￡^t(8)因為￡x(七—y)=oi=1￡X(x-X)=0，分別在(8)式的分子和分母上減￡X(y-y)和ti=1ti=1￡x(x-x)得，ti=1-y)-￡x(yt_y)-x)x-￡x(x-x)ttt￡(x-x)(y-y)

t

(x-x)2

t下面用矩陣形式推導(dǎo)(10)TTr6。T+61(￡xQ=￡yti=1i=1yxXz=l

一一2xXz=l(16+xzz=l06?2EEo

《3^np1--XEr-2X￡3.最小二乘估計量B0和B］的特性(1)線性特性這里指&和氏分別是yt的線性函數(shù)。

y,一、x—x)j=y，_、‘—(x—x)2t.y(X—X)(j—力y(x—x)j—Jy(x—x)B=——v一―t—=，寸tt—1y(x—x)2ty,一、x—x)j=y，_、‘—(x—x)2t無偏性利用上式E(B)=E(kj)=E[k(n+1x+u)]=E(nk+1kx+1rtt'01tt0t1ttku)=E[1k(x廠x)+kut]=1+E(kut)=1有效性0，1的OLS估計量的方差比其他估計量的方差小。Gauss-Marcov定理：若ut滿足E(ut)=0,D(ut)=2,那么用OLS法得到的估計量就具有最佳線性無偏性。估計量稱最佳線性無偏估計量。最佳線性無偏估計特性保證估計值最大限度的集中在真值周圍，估計值的置信區(qū)間最小。上面的評價是對小樣本而言，若是對大樣本而言還應(yīng)討論估計量的漸近無偏性，一致性和漸近有效性。先給出漸近分布的概念。漸近分布。用T<T2<...<Tn表示連續(xù)遞增樣本容量。設(shè)在每個樣本容量T.下重復(fù)抽樣。則每個xTi都應(yīng)有自己的均值E(xT)與方差Var(xT)。利用遞增樣本可以求得隨機變量序列，'11xT={xT1，xT2，…，xTn}其中每個元素都是相應(yīng)樣本容量下的一個隨機變量。當(dāng)Tn趨于無窮大時，這些分布收斂于某一分布。則稱該分布為漸近分布或極限分布。漸近期望。對于期望值序列，E(xT)={E(xT1),E(xT2),…,E(xTN)}如隨著T-8,期望值E(xT)收斂于某一常數(shù)，則稱為xT的漸近期望。記為LimE(xT)=(與期望概念不同)T—8與期望值序列相對應(yīng)，也可以寫出方差序列。Var(xT)=E(xT-E(xT))N(,—)。當(dāng)T—8,Var(x)—0。為防止分布發(fā)生退化，可以用T乘Var(x)。當(dāng)T—TTVar(x)—2。漸近方差。若上述隨機變量序列有漸近期望，同時有新序列，E[T(xT-E(xT))2]={E{T[xT1-E(xT1)]2},E{N(,—)。當(dāng)T—8,Var(x)—0。為防止分布發(fā)生退化，可以用T乘Var(x)。當(dāng)T—TTVar(x)—2。漸近方差。若上述隨機變量序列有漸近期望，同時有新序列，E[T(xT-E(xT))2]={E{T[xT1-E(xT1)]2},E{T瞄-E(xT2)]2},...,E(T[xTN-E(xTN)]2}}滿足LimE[T(xT-E(xT))2]=vTT8則定義xT的漸近方差為—LimE[T(x-E(x))2]=—vTt“''T漸近無偏性。若6的漸近期望為，則6為的漸近無偏估計量，即LimE(Bt)=T—3致性若&滿足(1)漸近無偏性，(2)LimVar(&t)=0，則&具有一致性，&為T—3的一致估計量。漸近有效性。若B滿足(1)具有一致性，(2)與其他估計量的方差相比，B的漸進(jìn)方差較小，Var(&t)<Var(~T)，則稱&具有漸近有效性。OLS估計量都能滿足上述漸近特性，但滿足漸近特性的估計量不見得是最佳線性無偏估計量。注意：分清4個式子的關(guān)系。⑴真實的統(tǒng)計模型，兀=0+—x+u(2)估計的統(tǒng)計模型，yt=B0+B—xt+Ut⑶真實的回歸直線，E(yt)=0+—xt(4)估計的回歸直線，yt=B0+B]xt4.OLS回歸直線的性質(zhì)殘差和等于零，Ut=0由正規(guī)方程2(y-B-BX)(-1)=0得(y-B-Bx)=(y-y)=(U)=0t01tt01tttt700tt估計的回歸直線yt=B0+B—xt過(x,y)點。正規(guī)方程(yt-B0-B—xt)=0兩側(cè)同除樣本容量t，得y=B0+B—x。得證。(3)yt的擬合值的平均數(shù)等于其樣本觀測值的平均數(shù)y-1y-i(B+B，tttt0J⑷Cov(ut,xt)—0xt)=八—，yt—y。B0+B—x—y。得證。只需證明(x廣x)ut上式為正規(guī)方程之一。(5)Cov(ut,yt)—0只需證明(§「y)u,xtutxutxtut△△xt(y,邛0-Bixt)=0。yu

ttyU

ttut(B0+B1xt)△△一=Bou/%utxt=0兀的分布和#]的分布1xt+E(ut)=

0+"0+1Xt。1x)+Var(u)=b2根據(jù)假定條件utN(0,b2),TOC\o"1-5"\h\zE3t)=E(0+1xt+ut)=0+Var(yt)=Var(o+1xt+u)=Var(1xt+E(ut)=

0+"0+1Xt。1x)+Var(u)=b2可以證明E(代)=1，Var(代)=J1_b2,111乙(Xt-X)2B是y的線性函數(shù)(B=ky)，所以1Jt1"tB|N(|,——b2)。11乙(xt-X)2b2的估計定義b2=(Zu12)*T-2)其中2表示待估參數(shù)的個數(shù)?？梢宰C明E(b2)=b2。b2是b2的無偏估計量。因為ut是殘差，所以b2又稱作誤差均方?？捎脕砜疾煊^測值對回歸直線的離散程度。'B1的估計的方差是y^ar(B])=S2B)=^1_b2，Var(B/=S2&=—b21(1)乙(xt-x)20(0)T乙(xt-X)2擬合優(yōu)度的測量擬合優(yōu)度是指回歸直線對觀測值的擬合程度。顯然若觀測值離回歸直線近，則擬合程度好；反之則擬合程度差。圖2.3三種離差示意圖可以證明(y-y)2=(y-y)2+(y-y)2=(y-y)2+(u)2圖2.3三種離差示意圖tttJtttSST(總平方和)=SSR(回歸平方和)+SSE(殘差平方和)證明(y-y)2=[(y-y)+(y-y)]2=(y-y)2+(y-y)2+2(y-y)tytttytttytt(y廣y)其中(y-y)(y-y)=(y-y)(3(x-元)=(3(y-y)x-元B(y-y)=Bttttt1t1ttt1tt1UXf=0''度量擬合優(yōu)度的統(tǒng)計量是可決系數(shù)(確定系數(shù))。&、—(y一y)2R2v-=(回歸平萬和)/(總平萬和)=SSR/SST乙(yt-y)2所以R2的取值范圍是[0,1]。對于一組數(shù)據(jù)，SST是不變的，所以SSR\(I),SSEl(f)。SSR：舊指回歸平方和(regressionsumofsquares)，現(xiàn)指殘差平方和(sumofsquaredresiduals)SSE：舊指殘差平方和(errorsumofsquares(sumofsquarederrors))，現(xiàn)指回歸平方和(explainedsumofsquares)回歸參數(shù)的顯著性檢驗及其置信區(qū)間主要是檢驗］是否為零。通常用樣本計算的%不等于零，但應(yīng)檢驗這是否有統(tǒng)計顯著性。H0：1=0；H1：10在H0成立條件下，t=^3=土=—B1S(跖s(B1)司庫廠X)2若t＞，(T-2)，則10；<t<t還可以利用B］估計3］的置信區(qū)間。由于二一yF的點預(yù)測。根據(jù)估計的回歸函數(shù)，得yF=60珥XF-七(T-2)}=1-(Bp由大括號內(nèi)不等式得3］的置信區(qū)間B1-S(Bpt(T-2)-B1-B1+((31)t(T-2)其中s(B)是S2(B1)=￡(1_yF的點預(yù)測。根據(jù)估計的回歸函數(shù)，得yF=60珥XFyF的點預(yù)測及其區(qū)間預(yù)測下面以時間序列數(shù)據(jù)為例介紹預(yù)測問題。預(yù)測可分為事前預(yù)測和事后預(yù)測。兩種預(yù)測都是在樣本區(qū)間之外進(jìn)行，如圖所示。對于事后預(yù)測，被解釋變量和解釋變量的值在預(yù)測區(qū)間都是已知的?？梢灾苯佑脤嶋H發(fā)生值評價模型的預(yù)測能力。對于事前預(yù)測，解釋變量是未發(fā)生的。(當(dāng)模型中含有滯后變量時，解釋變量則有可能是已知的。)當(dāng)預(yù)測被解釋變量時，則首先應(yīng)該預(yù)測解釋變量的值。對于解釋變量的預(yù)測，通常采用時間序列模型。yF口N(0+1xFyF口N(0+1xFb2(1+^+JXF-x)2))1F'TZ(七-x)*12所以，y的區(qū)間預(yù)測是yf□[t(t-2)\t+1+去X專]⑶E(yF)的區(qū)間預(yù)測E(yf)的分布是e(yF)□n(0所以，e(yF)□n(0+單個yF的區(qū)間預(yù)測yf的分布是x,b2(+1FTZ(xt-X)2則E(則E(yF)的區(qū)間預(yù)測是yf1+4XF-X)2]T乙(Xt-x)2案例：用回歸模型預(yù)測木材剩余物(file:b1c3)

伊春林區(qū)位于黑龍江省東北部。全區(qū)有森林面積218.9732萬公頃，木材蓄積量為2.324602億m3。森林覆蓋率為62.5%，是我國主要的木材工業(yè)基地之一。1999年伊春林區(qū)木材采伐量為532萬m3。按此速度44年之后，1999年的蓄積量將被采伐一空。所以目前亟待調(diào)整木材采伐規(guī)劃與方式，保護(hù)森林生態(tài)環(huán)境。為緩解森林資源危機，并解決部分職工就業(yè)問題，除了做好木材的深加工外，還要充分利用木材剩余物生產(chǎn)林業(yè)產(chǎn)品，如紙漿、紙袋、紙板等。因此預(yù)測林區(qū)的年木材剩余物是安排木材剩余物加工生產(chǎn)的一個關(guān)鍵環(huán)節(jié)。下面，利用一元線性回歸模型預(yù)測林區(qū)每年的木材剩余物。顯然引起木材剩余物變化的關(guān)鍵因素是年木材采伐量。給出伊春林區(qū)16個林業(yè)局1999年木材剩余物和年木材采伐量數(shù)據(jù)如表2.1。散點圖見圖2.14。觀測點近似服從線性關(guān)系。建立一元線性回歸模型如下：兀=0+1氣+氣表2.1年剩余物y,和年木材采伐量x,數(shù)據(jù)林業(yè)局名J年木材剩余物v（萬m3）,年木材采伐量x（萬m3）烏伊嶺r26.13t61.4東風(fēng)23.4948.3新青21.9751.8紅星11.5335.9五營7.1817.8上甘嶺6.8017.0友好18.4355.0翠巒11.6932.7烏馬河6.8017.0美溪9.6927.3大豐7.9921.5南岔12.1535.5帶嶺6.8017.0朗鄉(xiāng)17.2050.0桃山9.5030.0雙豐5.5213.8合計__202.87532.00圖2.14年剩余物y,和年木材采伐量x,散點圖DependentVariable:YMethod:LeastSquaresDate:10/09/03Time:15:38Sample:116Includedobservations:16VariableCoefficientStd.Errort-StatisticProb.C-0.7629281.220966-0.6240560.5421X0.4042800.03337712.112660.0000R-squared0.912090Meandependentvar12.67938AdjustedR-squared0.906668S.D.dependentvar6.665466S.E.ofregressionAkaikeinfocriterion4.376633SumsquaredresidSchwarzcriterion4.473207Loglikelihood-33.01306F-statistic146.7166Durbin-Watsonstat1.481946Prob(F-statistic)0.000000圖2.15EViews輸出結(jié)果EViews估計結(jié)果見圖2.15。建立EViews數(shù)據(jù)文件的方法見附錄1。在已建立Eviews數(shù)據(jù)文件的基礎(chǔ)上，進(jìn)行OLS估計的操作步驟如下：打開工作文件，從主菜單上點擊Quick鍵，選EstimateEquation功能。在出現(xiàn)的對話框中輸入ycx。點擊Ok鍵。立即會得到如圖2.15所示的結(jié)果。下面分析EViews輸出結(jié)果。先看圖2.15的最上部分。被解釋變量是*估計方法是最小二乘法。本次估計用了16對樣本觀測值。輸出格式的中間部分給出5列。第1列給出截距項（C）和解釋變量氣。第2列給出第1列相應(yīng)項的回歸參數(shù)估計值叩0和%）。第3列給出相應(yīng)回歸參數(shù)估計值的樣本標(biāo)準(zhǔn)差（s（B°）,s（Bp）。第4列給出相應(yīng)H值。第5列給出t統(tǒng)計量取值大于用樣本計算的t值（絕對值）的概率值。以t=12.11266為例，相應(yīng)概率0.0000表示統(tǒng)計量t取值（絕對值）大于12.1的概率是一個比萬分之一還小的數(shù)。換句話說，若給定檢驗水平為0.05,則臨界值為t0.05（14）=2.15。t=12.1>2.15落在了H。的拒絕域，所以結(jié)論是］不為零。輸出格式的最下部分給出了評價估計的回歸函數(shù)的若干個統(tǒng)計量的值。依縱向順序，這些統(tǒng)計量依次是可決系數(shù)月、調(diào)整的可決系數(shù)r2（第3章介紹）、回歸函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差（s.e.，即均方誤差的算術(shù)根6）、殘差平方和、對數(shù)極大似然函數(shù)值（第2章介紹）、DW統(tǒng)計量的值、被解釋變量的平均數(shù)（項）、被解釋變量的標(biāo)準(zhǔn)差（s（七））、赤池（Akaike）信息準(zhǔn)則（是一個選擇變量最優(yōu)滯后期的統(tǒng)計量）、施瓦茨（Schwatz）準(zhǔn)則（是一個選擇變量最優(yōu)滯后期的統(tǒng)計量）、F統(tǒng)計量（第3章介紹）的值以及F統(tǒng)計量取值大于該值的概率。注意：S.D,和s.e.的區(qū)別。s.e,和SSE的關(guān)系。根據(jù)EViews輸出結(jié)果（圖2.15），寫出OLS估計式如下：&t=-0.7629+0.4043氣（2.64）（-0.6）（12.1）R2=0.91,s.e.=2.04其中括號內(nèi)數(shù)字是相應(yīng)t統(tǒng)計量的值。s.e,是回歸函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤差，即6=睥七2.?'（16-2）。R2是可決系數(shù)。R2=0.91說明上式的擬合情況較好。兀變差的91%由變量氣解釋。檢驗回歸系數(shù)顯著性的原假設(shè)和備擇假設(shè)是（給定=0.05）H0：1=0；H1：10

234567892345678910111213141516Actual|FittedIResidual26.130024.05992.0701523.490018.76384.7262121.970020.17881.7912311.530013.7507-2.220727.180006.433250.746756.000006.109830.6901718.430021.4725-3.0424611.690012.4570-0.767026.800006.109830.690179.6900010.2739-0.583917.990007.929090.0609112.150013.5890-1.439006.800006.109830.6901717.200019.4511-2.251069.5000011.3655-1.065475.520004.016130.70387Ms~T~因為t=12.1>t005(14)=2.15，所以檢驗結(jié)果是拒絕］=0，即認(rèn)為年木材剩余物和年木材采伐量之間存在回歸關(guān)系。上述模型的經(jīng)濟(jì)解釋是，對于伊春林區(qū)每采伐1m3木材，將平均產(chǎn)生0.4m3的剩余物。圖2.16給出相應(yīng)的殘差圖。Actual表示y的實際觀測值，F(xiàn)itted表示y的擬合值y,，Residual表示殘差Ut。殘差圖中的兩條虛線與中心線的距離表示殘差的一個標(biāo)準(zhǔn)差，即S.e.。通過殘差圖可以看到，大部分殘差值都落在了正、負(fù)一個標(biāo)準(zhǔn)差之內(nèi)。估計］的置信區(qū)間。由B-Pt=P{J^<t0.05(14)}=笊5(61)得M1-61-t0.05(14)S(61)1的置信區(qū)間是［61-t0.05(14)S(61),61+‘0.05(14)S(61)］(2.65)［0.4043-2.15x0.0334,0.4043+2.15x0.0334］[0.3325,0.4761](2.65)以95%的置信度認(rèn)為，］的真值范圍應(yīng)在［0.3325,0.4761］范圍中。下面求兀的點預(yù)測和平均木材剩余物產(chǎn)出量的置信區(qū)間預(yù)測。假設(shè)烏伊嶺林業(yè)局2000年計劃采伐木材20萬m3,求木材剩余物的點預(yù)測值。y2000=-°.7629+°.4043知00=-0.7629+0.4043x20=7.3231萬m3(2.66)(七一a)2)Z(a-a)2，、一1s2(y2000)=。2(T+=4.1453(—+(20(七一a)2)Z(a-a)2S(y2000)=*0.4546=0.6742因為一一、f<、cc、(y2000)=(60+61*2000)=p0+。1*2000=(y2000)t=°2000—E(y2000)?tS(y2000)("2)則置信度為0.95的2000年平均木材剩余物E(y2000)的置信區(qū)間是y2000土‘0.05(14)S(y2000)=7.3231土2』5X0.6742=5.8736,8.7726(2.67)從而得出預(yù)測結(jié)果，2000年若采伐木材20萬m3,產(chǎn)生木材剩余物的點估計值是7.3231萬m3。平均木材剩余物產(chǎn)出量的置信區(qū)間估計是在［5.8736,8.7726］萬m3之間。從而為恰當(dāng)安排2000年木材剩余物的加工生產(chǎn)提供依據(jù)。問題：估計結(jié)果中&0沒有顯著性，去掉截距項0可以嗎？答：依據(jù)實際意義可知，沒有木材采伐量就沒有木材剩余物，所以理論上0是可以取零的。而有些問題就不可以。例如家庭消費和收入的關(guān)系。即使家庭收入為零，消費仍然非零。一般來說，截距項的估計量沒有顯著性時，也不做剔出處理。本案例剔出截距項后的估計結(jié)果是yt=0.3853*t(28.3)R2=0.91,s.e.=2.0點預(yù)測值是y2000=0.3853*2000=0.3853x20=7.7060萬m3附錄1：怎樣用EViews通過鍵盤輸入數(shù)據(jù)建立新工作文件的方法是從EViews主菜單中單擊File鍵，選擇New,Workfile。則打開一個數(shù)據(jù)范圍選擇框(WorkfileRange)如圖1。需要做出3項選擇。選擇數(shù)據(jù)性質(zhì)。數(shù)據(jù)性質(zhì)分為：②啟始期(Startdate)。③終止期(Enddate)。3項選擇完畢后，點擊“OK”鍵。這時，會建立起一個尚未命名的工作文件(Workfile)，且處于打開狀態(tài)。當(dāng)打開新工作文件或現(xiàn)有工作文件后，可以通過鍵盤輸入數(shù)據(jù)和追加數(shù)據(jù)。具體操作如下：從EViews主菜單中點擊Quick鍵，選擇EmptyGroup功能。這時會打開一個空白表格數(shù)據(jù)窗口(Group)如圖3所示。每一個空格代表一個觀測值位置。按列依次輸入每一個變量(或序列)的觀測值。鍵入每一個觀測值后，可通過按回車鍵(Enter鍵)或方向指示鍵()進(jìn)行確認(rèn)。按方向指示鍵()的好處是在確認(rèn)了當(dāng)前輸入的觀測值的同時，還把光標(biāo)移到了下一個待輸入位置。每一列數(shù)據(jù)上方的灰色空格是用于輸入變量名的。給變量命名時，字符不得超過16個。注意：下列名字具有特殊意義，給變量命名時，應(yīng)避免使用。它們是：ABS，ACOS，AR，ASIN，C，CON，CNORM，COEF，COS，D，DLOG，DNORM，ELSE，ENDIF，EXP，LOG，LOGIT，LPT1，LPT2，MA，NA，NRND，PDL，RESID，RND，SAR，SIN，SMA，SQR，THENo

附錄2：怎樣用EViews預(yù)測。以案例1為例，給定％=20，求yt=?EViews預(yù)測步驟如下。（1）點擊Procs鍵選Changeworkfilerange功能。在彈出的對話框的Enddata選擇框處改為17。點擊OK鍵。（2）雙擊工作文件的Sample:117區(qū)域，在彈出的對話框的Samplerangepairs選擇框處把16改為117。（3）雙擊工作文件窗口中的x序列，打開x數(shù)據(jù)窗口。點擊Edit+/-鍵，使x數(shù)據(jù)窗口處于可編輯狀態(tài)。在t=17的x的觀測值位置輸入20。相當(dāng)于給定x=20。（4）打開估計式eq01窗口，點擊Forecast鍵。在S.E.選擇框處填入yfse，表示要yt的預(yù)測值（用YF表示）也要yt的預(yù)測標(biāo)準(zhǔn)差（用yfse表示）。點擊OK鍵，工作文件窗口中已經(jīng)出現(xiàn)一個yf序列。雙擊yf序列，可以看到。y17=7.322668。相關(guān)理論相關(guān)分析是研究變量間相互關(guān)系的最基本方法。從相關(guān)分析中引出的相關(guān)系數(shù)是回歸分析的一個基本統(tǒng)計量。掌握它有助于對經(jīng)濟(jì)問題和經(jīng)濟(jì)計量模型的分析與理解。11.1相關(guān)的定義與分類定義：相關(guān)（correlation）指兩個或兩個以上變量間相互關(guān)系的程度或強度。分類：①按強度分｛完全相關(guān)：變量間存在函數(shù)關(guān)系。例，圓的周長，L=2nr。高度相關(guān)（強相關(guān)）：變量間近似存在函數(shù)關(guān)系。例，我國家庭收入與支出的關(guān)系。弱相關(guān)：變量間有關(guān)系但不明顯。例，近年來我國耕種面積與產(chǎn)量。零相關(guān)：變量間不存在任何關(guān)系。例，某班學(xué)生的學(xué)習(xí)成績與年齡。0102030405001020304050完全相關(guān)01020304050高度相關(guān)、線性相關(guān)、正相關(guān)2.02.53.03.54.04.5弱相關(guān)按變量個數(shù)分「按形式分：線性相關(guān)，非線性相關(guān)｛簡單相關(guān)：指兩個變量間相關(guān)〈I按符號分：正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，零相關(guān)復(fù)相關(guān)（多重相關(guān)和偏相關(guān)）：指三個或三個以上變量間的相關(guān)。非線性相關(guān)負(fù)相關(guān)-4-202非線性相關(guān)負(fù)相關(guān)-4-2024零相關(guān)因非線性相關(guān)可以轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)處理，而復(fù)相關(guān)又可看作是簡單相關(guān)基礎(chǔ)上的拓展，所以后面重點介紹簡單線性相關(guān)。11.2簡單線性相關(guān)的度量用簡單線性相關(guān)系數(shù)，簡稱相關(guān)系數(shù)(correlationcoefficient)度量兩個變量間的線性相關(guān)強度，用表示。的隨機變量表達(dá)式是Cov(X，y.)一，一'「二。、D(xt隊:D(yt)的統(tǒng)計表達(dá)式是_T，"t*yt_%)_?,3廣"1、「￥?—)2J)2一洪(「『》(yf)2)tt=1t?\tt=1tyt=1tt=1ty其中T，總體容量；氣,yt，變量的觀測值；巴,％，變量觀測值的均值。下面解釋為什么能對變量間的線性相關(guān)強度進(jìn)行定量度量。因為表達(dá)式的分子是協(xié)方差，Cov(x,y)；分母是x和y的標(biāo)準(zhǔn)差之積。而x和yttIttt的標(biāo)準(zhǔn)差不會為零，所以Cov(xt,yt)是否為零，就決定了是否為零，即標(biāo)志著變量xt，yt間是否存在線性相關(guān)關(guān)系。但Cov(xt,yt)有兩個缺點：①它是一個有量綱的量，取值容易受測量單位的影響；②取值范圍寬，相關(guān)性越強，Cov(xt,yt)取值越大。為克服上述缺點，用xt，yt的標(biāo)準(zhǔn)差除Cov(xt，y)，于是就得到相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計表達(dá)式。它是一個無量綱量。t相關(guān)系數(shù)是對總體而言。當(dāng)研究某個問題時，所得數(shù)據(jù)常是一個樣本。對樣本來說，相關(guān)系數(shù)常用r表示，即r是總體相關(guān)系數(shù)的估計值。r_p_一吉"=)(yt-y)］凄廣亍)."廣3"一y)2^)^^其中T，樣本容量；xt,yt，變量的觀測值；X,y，變量觀測值的均值。11.3相關(guān)系數(shù)的取值范圍當(dāng)兩個變量嚴(yán)格服從線性關(guān)系時，II_1。證：設(shè)直線斜率為k，即y_a+kx。則有￡(xt-x)(yt-y)_￡(xt-x)k(x,-x)_】-￡(xt-x)2E(yt-y)2\'E(x^-x)2k2￡(xt-x)2當(dāng)兩個變量不存在線性關(guān)系時，_0。上述是兩種極端情形，所以相關(guān)系數(shù)的取值范圍是［-1，1］。當(dāng)Cov(xt，yt)>0時，則>0(正相關(guān))；當(dāng)Cov(xt，yt)<0時，貝<0(負(fù)相關(guān))；若Cov(xt，yt)_0，貝_0(零相關(guān))。為什么圖1為正相關(guān)？為什么圖2為負(fù)相關(guān)？用(xt-x)(yt-y)解釋。

6420-2-4-6-66420-2-4-6-6-4-20246圖1正相關(guān)例1:散點圖與相關(guān)系數(shù)r=0.9911.4線性相關(guān)系數(shù)的局限性只適用于考察變量間的線性相關(guān)關(guān)系。也就是說當(dāng)=0時，只說明二變量間不存在線性相關(guān)關(guān)系，但不能保證不存在其它非線性相關(guān)關(guān)系。所以變量不相關(guān)與變量相互獨立在概念上是不同的。相關(guān)系數(shù)的計算是一個數(shù)學(xué)過程。它只說明二變量間的相關(guān)強度，但不能揭示這種相關(guān)性的原因，不能揭示變量間關(guān)系的實質(zhì)，即變量間是否真正存在內(nèi)在聯(lián)系，因果關(guān)系。所以在計算r的同時，還要強調(diào)對實際問題的分析與理解。一般說二變量相關(guān)時，可能屬于如下一種關(guān)系。單向因果關(guān)系。如施肥量與農(nóng)作物產(chǎn)量；對金屬的加熱時間與溫度值。雙向因果關(guān)系。如工業(yè)生產(chǎn)與農(nóng)業(yè)生產(chǎn)；商品供給量與商品價格。另有隱含因素影響二變量變化。如市場上計算機銷量與電視機銷量呈正相關(guān)。顯然人均收入的增加是一個隱含因素。虛假相關(guān)。如年國民生產(chǎn)總值與刑事案件數(shù)呈正相關(guān)。顯然二變量間不存在因果關(guān)系。應(yīng)屬虛假相關(guān)。中國和美國某個經(jīng)濟(jì)指標(biāo)高度相關(guān)，顯然這沒有可比性，毫無意義。(file:correlation1)(file:correlation1)11.5簡單相關(guān)系數(shù)的檢驗(1)直接檢驗(查相關(guān)系數(shù)臨界值表)H0：=0；H1：0用氣和yt的樣本計算相關(guān)系數(shù)，，以自由度f=T-2查臨界值表'。檢驗規(guī)則是，若r>r(T-2)(臨界值)，則氣和yt相關(guān);若rVr(T-2)(臨界值)，則氣和yt不相關(guān)。(2)t檢驗Ho：=0；H1：0t=空:sr二(r-P)....''1一r2T一2?t(T-2)其中2表示涉及兩個變量。若t>t(T-2)，則氣和兀相關(guān)；若tVt(T-2)，則氣和yt不相關(guān)。附錄：相關(guān)系數(shù)臨界值表fa0.100.050.020.010.00110.987690.996920.9995070.9998770.999998820.900000.950000.980000.990000.9990030.80540.87830.934330.958730.9911640.72930.81140.88220.917200.9740650.66940.75450.83290.87450.9507460.62150.70670.78870.83430.9249370.58220.66640.74980.79770.898280.54940.63190.71550.76460.872190.52140.60210.68510.73480.8471100.49330.57600.65810.70790.8233110.47620.55290.63390.68350.8010120.45750.53240.61200.66140.7800130.44090.51390.59230.64110.7603140.42590.49730.57420.62260.7420150.41240.48210.55770.60550.7246160.40000.46830.54250.58970.7084170.38870.45550.52850.57510.6932180.37830.44380.51550.56140.6787190.36870.43290.50340.54870.6652200.35980.42270.49210.53680.6524250.32330.38090.44510.48690.5974300.29600.34940.40930.44870.5541350.27460.32460.38100.41820.5189400.25730.30440.35780.39320.4896450.24280.28750.33840.37210.4648500.23060.27320.32180.35410.4433600.21080.25000.29480.32480.4078700.19540.23190.27370.30170.3799800.18290.21720.25650.28300.3568900.17260.20500.24220.26730.33751000.16380.19460.23010.25400.3211注：P{|r|>ra(f)}=a,其中a表示顯著性水平，f表示自由度，ra(f)為臨界值。11.6偏相關(guān)系數(shù)影響時，以上介紹了簡單線性相關(guān)系數(shù)，但是當(dāng)兩個變量xt，匕同時受其它變量七,z2t，…

有必要研究當(dāng)控制其它變量Z",匕,…，不變時，該兩個變量與兀之間的相關(guān)關(guān)系。稱這種相關(guān)關(guān)系為偏相關(guān)關(guān)系。以3個變量氣,*勺，為例（多于3個變量的情形與此相似。），假定控制zt不變，測度氣,yt偏相關(guān)關(guān)系的偏相關(guān)系數(shù)定義如下。影響時，p=控制z不變條件下的氣,^的簡單相關(guān)系數(shù)。X"'11因為z也是隨機變量，一般不容易得到控制z為一個常數(shù)條件下的X和J的值。實際tttt計算方法是，從氣,兀中分別剔除zt的影響，然后計算相關(guān)系數(shù)。步驟如下：（1）求Xt對Zt的回歸估計式，Xt=P0邛1Zt+ut計算殘差，-rAut=Xt-f30邛1ZtUt中不再含有zt對xt的影響。（2）求兀對zt的回歸估計式，j=a+az+v計算殘差，v=y-a-aztJt01tv中不再含有z對y的影響。則U與v的簡單相關(guān)系數(shù)就是X與y在剔除z的影響后的偏tttttttt相關(guān)系數(shù)，即r=0.9898r=0.9984r…=ruvxy,zttrtt例2中央支出與地方支出的偏相關(guān)系數(shù)r=0.9898r=0.9984obs財政收入（INCOME）中央支出（X1）地方支出（X2）19811089.5602.2512.819821124575.1578.219831249642.5649.919841501.9738.7807.719851866.4836.51008.219862260.3962.31368.619872368.91031.91416.6198826281060.41646.2198929471105.2193519903312.61372.82079.419913610.91517.72295.819924153.11817.92571.819935088.21957.23330.2

x1=170.90+0.3614incomex1=170.90+0.3614income+RES1(3.9)(23.1)x2=-221.49+0.6952income+RES2(-6.6)(58.6)r=0.99r=-0.8511.7復(fù)相關(guān)系數(shù)在多元回歸中，用偏相關(guān)系數(shù)可以分別測量被解釋變量對每個解釋變量的偏相關(guān)關(guān)系，而復(fù)相關(guān)系數(shù)則是測量被解釋變量與全部解釋變量的相關(guān)關(guān)系。假定兀是被解釋變量，解釋變量是七,七,…,氣k-1，復(fù)相關(guān)系數(shù)的具體計算過程是（］）用y對氣1，%，…,氣k-1回歸，y=&+&x+...+&x+uJtr0L］t1rk-1tk-1t求出yt的擬合值序列yt，（2）計算y與y的簡單相關(guān)系數(shù)，則稱r.是y與x,x,…,x的復(fù)相關(guān)系數(shù)。ttyy