【優(yōu)化方案】2021高考數(shù)學(xué)(人教版)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案42-空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系

學(xué)案42空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的含義.2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理.3.能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡(jiǎn)潔命題．自主梳理1．平面的基本性質(zhì)公理1：假如一條直線上的________在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．公理2：過______________的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．公理3：假如兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有________過該點(diǎn)的公共直線．2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直線\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(,)),異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)))(2)異面直線所成的角①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的____________叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)．②范圍：______________.3．直線與平面的位置關(guān)系有________、______、________三種狀況．4．平面與平面的位置關(guān)系有______、______兩種狀況．5．平行公理平行于______________的兩條直線相互平行．6．定理空間中假如兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角____________．自我檢測(cè)1．(2011·泉州月考)若直線a與b是異面直線，直線b與c是異面直線，則直線a與c的位置關(guān)系是()A．相交 B．相交或異面C．平行或異面 D．平行、相交或異面2．已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，則c與b()A．確定是異面直線 B．確定是相交直線C．不行能是平行直線 D．不行能是相交直線3．如圖所示，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是()4．(2010·全國(guó)Ⅰ)直三棱柱ABC—A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，則異面直線BA1與AC1所成的角等于A．30° B．45°C．60° D．90°5．下列命題：①空間不同三點(diǎn)確定一個(gè)平面；②有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面必重合；③空間兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；④三角形是平面圖形；⑤平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形；⑥垂直于同始終線的兩直線平行；⑦一條直線和兩平行線中的一條相交，也必和另一條相交；⑧兩組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形．其中正確的命題是________．(填序號(hào))探究點(diǎn)一平面的基本性質(zhì)例1如圖所示，空間四邊形ABCD中，E、F、G分別在AB、BC、CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E、F、G的平面交AD于H，連接EH.(1)求AH∶HD；(2)求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn)．變式遷移1如圖，E、F、G、H分別是空間四邊形AB、BC、CD、DA上的點(diǎn)，且EH與FG相交于點(diǎn)O.求證：B、D、O三點(diǎn)共線．探究點(diǎn)二異面直線所成的角例2(2009·全國(guó)Ⅰ)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(5),4) C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(3,4)變式遷移2(2011·淮南月考)在空間四邊形ABCD中，已知AD＝1，BC＝eq\r(3)，且AD⊥BC，對(duì)角線BD＝eq\f(\r(13),2)，AC＝eq\f(\r(3),2)，求AC和BD所成的角．轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用例(12分)如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠DAB＝60°，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°.(1)求四棱錐的體積；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線DE與PA所成角的余弦值．多角度審題對(duì)(1)只需求出高PO，易得體積；對(duì)(2)可利用定義，過E點(diǎn)作PA的平行線，構(gòu)造三角形再求解．【答題模板】解(1)在四棱錐P—ABCD中，∵PO⊥平面ABCD，∴∠PBO是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBO＝60°，[2分]在Rt△AOB中，∵BO＝AB·sin30°＝1，又PO⊥OB，∴PO＝BO·tan60°＝eq\r(3)，∵底面菱形的面積S＝2×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)＝2eq\r(3)，∴四棱錐P—ABCD的體積VP—ABCD＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×eq\r(3)＝2.[6分](2)取AB的中點(diǎn)F，連接EF，DF，∵E為PB中點(diǎn)，∴EF∥PA，∴∠DEF為異面直線DE與PA所成角(或其補(bǔ)角)．[8分]在Rt△AOB中，AO＝AB·cos30°＝eq\r(3)，∴在Rt△POA中，PA＝eq\r(6)，∴EF＝eq\f(\r(6),2).在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF＝DE＝eq\r(3)，由余弦定理得cos∠DEF＝eq\f(DE2＋EF2－DF2,2DE·EF)[10分]＝eq\f(\r(3)2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2－\r(3)2,2×\r(3)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\f(6,4),3\r(2))＝eq\f(\r(2),4).所以異面直線DE與PA所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).[12分]【突破思維障礙】求兩條異面直線所成角的大小，一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決．依據(jù)空間等角定理及推論可知，異面直線所成角的大小與頂點(diǎn)位置無關(guān)，往往將角的頂點(diǎn)取在其中的一條直線上，特殊地，可以取其中一條直線與另一條直線所在平面的交點(diǎn)或異面線段的端點(diǎn)．總之，頂點(diǎn)的選擇要與已知量有關(guān)，以便于計(jì)算，具體步驟如下：(1)利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上；(2)證明作出的角即為所求角；(3)利用三角形來求解，異面直線所成角的范圍是(0°，90°]．【易錯(cuò)點(diǎn)剖析】1．求異面直線所成的角時(shí)，僅指明哪個(gè)角，而不進(jìn)行證明．2．遺忘異面直線所成角的范圍，余弦值回答為負(fù)值．1．利用平面基本性質(zhì)證明“線共點(diǎn)”或“點(diǎn)共線”問題：(1)證明共點(diǎn)問題，常用的方法是：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證交點(diǎn)在第三條直線上，有時(shí)也可將問題轉(zhuǎn)化為證明三點(diǎn)共線．(2)要證明“點(diǎn)共線”可將線看作兩個(gè)平面的交線，只要證明這些點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，依據(jù)公理3可知這些點(diǎn)在交線上，因此共線．2．異面直線的判定方法：(1)定義法：由定義推斷兩直線不行能在同一平面內(nèi)．(2)反證法：用此方法可以證明兩直線是異面直線．3．求異面直線所成的角的步驟：(1)一般是用平移法(可以借助三角形的中位線、平行四邊形等)作出異面直線的夾角；(2)證明作出的角就是所求的角；(3)利用條件求出這個(gè)角；(4)假如求出的角是銳角或直角，則它就是要求的角，假如求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．和兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是()A．異面 B．相交C．平行 D．異面或相交2．給出下列命題：①若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a、b中的一條相交；②若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；③確定存在平面α同時(shí)和異面直線a、b都平行．其中正確的命題為()A．① B．② C．③ D．①③3．(2011·寧德月考)如圖所示，在正三角形ABC中，D、E、F分別為各邊的中點(diǎn)，G、H、I、J分別為AF、AD、BE、DE的中點(diǎn)，將△ABC沿DE、EF、DF折成三棱錐以后，GH與IJ所成角的度數(shù)為()A．90° B．60° C．45° D．0°4．(2009·全國(guó)Ⅱ)已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為A.eq\f(\r(10),10) B.eq\f(1,5) C.eq\f(3\r(10),10) D.eq\f(3,5)5．(2011·三明模擬)正四棱錐S—ABCD的側(cè)棱長(zhǎng)為eq\r(2)，底面邊長(zhǎng)為eq\r(3)，E為SA的中點(diǎn)，則異面直線BE和SC所成的角為()A．30° B．45° C．60° D．90°二、填空題(每小題4分，共12分)6．一個(gè)正方體紙盒開放后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM所成的角為60°；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.則正確結(jié)論的序號(hào)是______．7．(2009·四川)如圖所示，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________8．如圖所示，正四周體P—ABC中，M為棱AB的中點(diǎn)，則PA與CM所成角的余弦值為________．三、解答題(共38分)9．(12分)(2011·溫州月考)如圖所示，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB和AA1的中點(diǎn)求證：(1)E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面；(2)CE，D1F，DA三線共點(diǎn)10．(12分)在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD—A1B1C1D1中，P，Q，R分別是棱CC1，A1D1，A1B1的中點(diǎn)，畫出過這三點(diǎn)的截面，并求這個(gè)截面的周長(zhǎng)11．(14分)(2011·舟山模擬)如圖，正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E為AB的中點(diǎn)(1)求證：AC⊥平面BDD1；(2)求異面直線BD1與CE所成角的余弦值．(3)求點(diǎn)B到平面A1EC的距離．學(xué)案42空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系自主梳理1．兩點(diǎn)不在一條直線上一條2.(1)平行相交(2)①銳角或直角②eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))3.平行相交在平面內(nèi)4．平行相交5.同一條直線6.相等或互補(bǔ)自我檢測(cè)1．D[a，c都與直線b異面，并不能確定直線a，c的關(guān)系．]2．C[a，b是異面直線，直線c∥直線a.因而cDb，否則，若c∥b，則a∥b與已知沖突，因而cDb.]3．C[A中PQ∥RS；B中RS∥PQ；D中RS和PQ相交．]4．C[將直三棱柱ABC—A1B1C1補(bǔ)成如圖所示的幾何體由已知易知：該幾何體為正方體．連接C1D，則C1D∥BA1.∴異面直線BA1與AC1所成的角為∠AC1D(或補(bǔ)角)，在等邊△AC1D中，∠AC1D＝60°.]5．④課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引證明線共點(diǎn)的問題實(shí)質(zhì)上是證明點(diǎn)在線上的問題，其基本理論是把直線看作兩平面的交線，點(diǎn)看作是兩平面的公共點(diǎn)，由公理3得證．(1)解∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)＝2，∴EF∥AC.∴EF∥平面ACD.而EF?平面EFGH，且平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH.而EF∥AC，∴AC∥GH.∴eq\f(AH,HD)＝eq\f(CG,GD)＝3，即AH∶HD＝3∶1.(2)證明∵EF∥GH，且eq\f(EF,AC)＝eq\f(1,3)，eq\f(GH,AC)＝eq\f(1,4)，∴EF≠GH，∴四邊形EFGH為梯形．令EH∩FG＝P，則P∈EH，而EH?平面ABD，P∈FG，F(xiàn)G?平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三線共點(diǎn)．變式遷移1證明∵E∈AB，H∈AD，∴E∈平面ABD，H∈平面ABD.∴EH?平面ABD.∵EH∩FG＝O，∴O∈平面ABD.同理可證O∈平面BCD，∴O∈平面ABD∩平面BCD，即O∈BD，∴B、D、O三點(diǎn)共線．例2解題導(dǎo)引高考中對(duì)異面直線所成角的考查，一般毀滅在綜合題的某一步，求異面直線所成角的一般步驟為：(1)平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點(diǎn)通常選擇特殊位置的點(diǎn)，如線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，也可以是異面直線中某一條直線上的特殊點(diǎn)．(2)證明：證明所作的角是異面直線所成的角．(3)查找：在立體圖形中，查找或作出含有此角的三角形，并解之．(4)取舍：由于異面直線所成角θ的取值范圍是0°<θ≤90°，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角．D[如圖，A1D⊥平面ABC，且D為BC的中點(diǎn)，設(shè)三棱柱的各棱長(zhǎng)為1，則AD＝eq\f(\r(3),2)，由A1D⊥平面ABC知A1D＝eq\f(1,2)，Rt△A1BD中，易求A1B＝eq\r(\f(1,4)＋\f(1,4))＝eq\f(\r(2),2).∵CC1∥AA1，∴AB與AA1所成的角即為AB與CC1所成的角．在△A1BA中，由余弦定理可知cos∠A1AB＝eq\f(1＋1－\f(1,2),2×1×1)＝eq\f(3,4).∴AB與CC1所成的角的余弦值為eq\f(3,4).]變式遷移2解如圖所示，分別取AD、CD、AB、BD的中點(diǎn)E、F、G、H，連接EF、FH、HG、GE、GF.由三角形的中位線定理知，EF∥AC，且EF＝eq\f(\r(3),4)，GE∥BD，且GE＝eq\f(\r(13),4).GE和EF所成的銳角(或直角)就是AC和BD所成的角．同理，GH∥AD，HF∥BC.GH＝eq\f(1,2)，HF＝eq\f(\r(3),2)，又AD⊥BC，∴∠GHF＝90°，∴GF2＝GH2＋HF2＝1.在△EFG中，EG2＋EF2＝1＝GF2，∴∠GEF＝90°，即AC和BD所成的角為90°.課后練習(xí)區(qū)1．D2．C[①錯(cuò)，c可與a、b都相交；②錯(cuò)，由于a、c可能相交也可能平行；③正確，例如過異面直線a、b的公垂線段的中點(diǎn)且與公垂線垂直的平面即可滿足條件．]3．B[將三角形折成三棱錐，如圖所示，HG與IJ為一對(duì)異面直線，過D分別作HG與IJ的平行線，因GH∥DF，IJ∥AD，所以∠ADF為所求，因此HG與IJ所成角為60°.]4．C[如圖所示，連接A1B，則A1B∥CD1故異面直線BE與CD1所成的角即為BE與A1B所成的角．設(shè)AB＝a，則A1E＝a，A1B＝eq\r(5)a，BE＝eq\r(2)a.△A1BE中，由余弦定理得cos∠A1BE＝eq\f(BE2＋A1B2－A1E2,2BE·A1B)＝eq\f(2a2＋5a2－a2,2×\r(2)a×\r(5)a)＝eq\f(3\r(10),10).]5．C[設(shè)AC中點(diǎn)為O，則OE∥SC，連接BO，則∠BEO(或其補(bǔ)角)即為異面直線BE和SC所成的角，EO＝eq\f(1,2)SC＝eq\f(\r(2),2)，BO＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(6),2)，在△SAB中，cosA＝eq\f(\f(1,2)AB,SA)＝eq\f(\f(\r(3),2),\r(2))＝eq\f(\r(6),4)＝eq\f(AB2＋AE2－BE2,2AB·AE)，∴BE＝eq\r(2).在△BEO中，cos∠BEO＝eq\f(BE2＋EO2－BO2,2BE·EO)＝eq\f(1,2)，∴∠BEO＝60°.]6．①③解析把正方體的平面開放圖還原成原來的正方體，如圖所示，易知AB⊥EF，AB∥CM，EF與MN異面，MN⊥CD，故①③正確．7．90°解析延長(zhǎng)A1B1至D，使A1B1＝B1D，則AB1∥BD，∠MBD就是直線AB1和BM所成的角．設(shè)三棱柱的各條棱長(zhǎng)為2，則BM＝eq\r(5)，BD＝2eq\r(2)，C1D2＝A1D2＋A1Ceq\o\al(2,1)－2A1D·A1C1cos60°＝16＋4－2×4＝12.DM2＝C1D2＋C1M∴cos∠DBM＝eq\f(BM2＋BD2－DM2,2·BM·BD)＝0，∴∠DBM＝90°.8.eq\f(\r(3),6)解析如圖，取PB中點(diǎn)N，連接CN、MN.∠CMN為PA與CM所成的角(或補(bǔ)角)，設(shè)PA＝2，則CM＝eq\r(3)，MN＝1，CN＝eq\r(3).∴cos∠CMN＝eq\f(MN2＋CM2－CN2,2MN·CM)＝eq\f(\r(3),6).9．證明(1)如圖所示，連接CD1，EF，A1B，∵E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)，∴EF∥A1B，且EF＝eq\f(1,2)A1B，(2分)又∵A1D1綊BC，∴四邊形A1BCD1是平行四邊形，∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1，∴EF與CD1確定一個(gè)平面α，∴E，F(xiàn)，C，D1∈α，即E，C，D1，F(xiàn)四點(diǎn)共面．(6分)(2)由(1)知EF∥CD1，且EF＝eq\f(1,2)CD1，∴四邊形CD1FE是梯形，∴CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，(8分則P∈CE?平面ABCD，且P∈D1F?平面A1ADD1∴P∈平面ABCD且P∈平面A1ADD1.(10分)又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，∴P∈AD，∴CE，D1F，DA三線共點(diǎn)．(12分10．解如圖所示，連接QR并延長(zhǎng)，分別與C1B1，C1D1的延長(zhǎng)線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．連接EP交BB1于M點(diǎn)，連接FP交DD1于N點(diǎn)．再連接RM，QN，則五邊形PMRQN為過三點(diǎn)P，Q，R的截面．(3分)由Q，R分別是邊A1D1，A1B1的中點(diǎn)，知△QRA1≌△ERB1，(6分)∴B1E＝QA1＝eq\f(1,2)a，由△EB1M∽△EC1P知EM∶EP＝EB1∶EC1＝1∶3，(9分)PM＝eq\f(2,3)EP＝eq\f(2,3)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\