第二章-參數(shù)估計(jì)性質(zhì)的證明

--一、參數(shù)預(yù)計(jì)?1與?2是Y的線性函數(shù)僅說(shuō)明?2是Ｙ的線性函數(shù),?1的狀況近似能夠獲得。由?2的預(yù)計(jì)式,?(XiX)(YiY)xiyi(XiX)Yi(XiX)Y2(XiX)2(xi2)(XiX)2(XiX)Yi(XiX)(XX)X)2YikiYikii(XiX)2(Xi(XiX)2即?2由隨機(jī)變量Y線性表出,從這一關(guān)系式還可理解到?2的隨機(jī)性是由Y帶來(lái)的。參數(shù)預(yù)計(jì)線性性質(zhì)的重要性，是能夠鑒于Y的統(tǒng)計(jì)散布成立參數(shù)預(yù)計(jì)?1和?2統(tǒng)計(jì)散布,這對(duì)利用?1和?2對(duì)真切參數(shù)1和2的統(tǒng)計(jì)推測(cè)帶來(lái)了極大的方便。對(duì)于ki有以下一些性質(zhì)，1、ki0。2、ki21X)2。(Xi3、kiXi1。4、ki(XiX)1。二、最小二乘預(yù)計(jì)?1與?2的無(wú)偏性質(zhì)僅說(shuō)明?2是2的無(wú)偏預(yù)計(jì)，?1的無(wú)偏性近似可證。由?2的對(duì)于Ｙ的線性表出式,?kiYiki(12Xiui)1ki2kiXikiui2kiui對(duì)?2求數(shù)學(xué)希望并考慮零均值假設(shè)(E(ui)0)E(?)E(2ku)2E(ku)2kE(u)22iiiiii所以----E(?2)2這就證了然?2擁有無(wú)偏性。同理有E(?1)1。三、最小二乘預(yù)計(jì)?1與?2的最小方差性質(zhì)對(duì)于ＯLS預(yù)計(jì)式?1和?2，已知其方差為Var(?1)2Xi2Nx2iVar(?2)2xi2這里只證明Var(?2)最小，Var(?1)最小的證明能夠近似得出。任設(shè)2的另一個(gè)線性無(wú)偏預(yù)計(jì)為2*,即*wYii2此中wiki,kixi2xiE(*)E(wY)2iiE[wi(12Xiui)]1wi2wiXi因?yàn)?*也是2的無(wú)偏預(yù)計(jì)，即E(2*)2,一定有wi0,wiXi1同時(shí)Var(2*)Var(wYii)wi2Var(Yi)2wi2［因?yàn)閂ar(Yi)2]2(wikiki)2----2(wiki)22ki222(wiki)ki2(wiki)22ki222(wkiiki2)上式最后一項(xiàng)中wikiki2wixixi2xi2(xi2)2wi(XiX)1xi2xi2wiXiXwi1xi2xi20（因?yàn)閣i0,wiXi1)所以Var(*)2(wk)22[xi2]2ii(xi2)22ki)22(wixi22(wiki)2Var(?2)而20,因?yàn)閣iki,則有(wiki)20，為此Var(2*)Var(?2)只有wiki時(shí),Var(2*)Var(?2)，因?yàn)?*是隨意設(shè)定的2的線性無(wú)偏預(yù)計(jì)式,這表示2的OLS預(yù)計(jì)式擁有最小方差性。一般地，將擁有最小方差性的無(wú)偏預(yù)計(jì)量,稱為該預(yù)計(jì)量知足有效性。四、參數(shù)預(yù)計(jì)?1與?2的一致性n若樣本容量n趨于無(wú)量時(shí),有(XiX)2，則i1Plim?,Plim?1122----下邊只證明?2擁有一致性,?1的一致性近似可證。由?2的線性性及ki的性質(zhì),可得?kiYi2ki(12Xiui)2kuii(1)22考慮基本假設(shè)2和假設(shè)3并注意ki的定義,同時(shí)有ki212(XiX)(2)所以E(?222)2E(kiui)22(ki2)2(3)(XiX)依據(jù)已知條件并考慮式(3）,有l(wèi)imE(?22)20n(4)再依據(jù)車貝雪夫不等式，對(duì)隨意0P(|?22|)1E(?22)2(5)2所以,由式（4）limP(|?22|)0n這就證了然?2擁有一致性。一致性表示了，跟著樣本容量的增大,一個(gè)好的預(yù)計(jì)?2應(yīng)當(dāng)愈來(lái)愈湊近其真切值2,使得誤差?2大的概率愈來(lái)愈小。2五、2最小二乘預(yù)計(jì)?2的證明用離差形式表示模型時(shí)yiYiY(12Xiui)(12Xu)(uiu)2xi并且----??YiYyi(?1?1Xi)(?1?1X)?2xi所以eiyiy?i(uiu)(?22)xi則有e2[(uu)(?2)x]2ii2i(uu)2(?2)2x22(?2)(uu)xi2i2ii取ei2的希望E(ei2)E[(uiu)2]xi2E(?22)22E[(?22)(uiu)xi]式中(１)E[(uiu)2]E[ui2n(u)2]E(ui2)1E(ui)2n21E(u12u22un22u1u22un1un)n21E(u12u22un2)1nn22(n1)2n(2）x2E(?)22222xi2ix2i（3)2E[(?22)(uiu)xi]2E[xuii(xiuiuxi)]x2i----(xiui)22E[xi2]2E[