第七章3-離散時間系統(tǒng)的時域

1離散系統(tǒng)的差分方程§7-3離散時間系統(tǒng)的描述和模擬重點內(nèi)容2離散系統(tǒng)的模擬框圖兩種形式轉(zhuǎn)化1、數(shù)學(xué)模型——>差分方程2、物理模型——>框圖3、系統(tǒng)函數(shù)——>H(z)一、離散系統(tǒng)的描述1、離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型差分方程例1：Fibonacci數(shù)列：假設(shè)每一對兔子每月生一對小兔子，而小兔子在一個月以后才有生育能力。如果在第一個月內(nèi)有一對大兔子，問：到n個月時，有幾對兔子？列出描述該問題的差分方程。分析：假設(shè)y(k)代表第k個月兔子的總對數(shù)，則：這y(k)對兔子在k+2月生y(k)對小兔子，即在k+2月必然有y(k)對小兔子；另外：除了小兔子以外，k+1月存在的兔子在k+2月必然都長成大兔子所以：第k+2月兔子的總對數(shù)為：解：y(k+2)=y(k)+y(k+1)y(k+2)－y(k+1)－y(k)＝0差分方程：y(k+2)－y(k+1)－y(k)＝0差分方程階數(shù)：差分方程的階定義為響應(yīng)最大移序與最小移序之差；初始條件：解差分方程也必須有初始條件，初始條件的個數(shù)必須等于差分方程的階數(shù)；數(shù)值解：因為差分方程可以很方便地用計算機求其數(shù)值解，所以很多微分方程可以近似為差分方程求近似數(shù)值解。二、物理模型(框圖)加法器乘法器延時器aDs-1z-1e

(k)y(k)D∑-a例1：y(k+1)y(k+1)＝－ay(k)＋e(k)y(k+1)＋ay(k)＝e(k)為了記錄方便，引入移位算子S：S－1e

(k)y(k)D∑-a前向差分方程:y(k+1)+ay(k)=e(k)后向差分方程:y(k)+ay(k-1)=e(k)D-ax(k)y(k-1)二階系統(tǒng)：e

(k)y(k)D∑-a1y(k+1)Dy(k+2)-a0例2：畫出下面差分方程的模擬圖設(shè)q(k)∑b0y(k)b1x

(k)S2qD∑-a1SqD-a0q(k)n階系統(tǒng)：m<=ne

(k)r(k)D∑-an-1Dq(k+n)-an-2DDq(k+2)…-a1-a0bn-1b1b0∑bn-2……在描寫因果離散時間系統(tǒng)的差分方程中，激勵函數(shù)的最高序號不能大于響應(yīng)函數(shù)的最高序號，即mn如：i(k)=e(k+1)+e(k)，n=0,m=1，是非因果系統(tǒng)連：激勵電壓作用于無耗電容，則響應(yīng)電流為：n=0,m=1要求掌握：差分方程與框圖互相轉(zhuǎn)化1.e(k)y(k)DD2.e(k)y(k)DD0.53.已知：y(k)-0.25y(k-2)=2e(k)-4e(k-1)+2e(k-2)畫模擬框圖。y(k+1)y(k-1)y(k+1)-y(k-1)=e(k)y(k)-0.5y(k-1)=e(k)+e(k-1)3.已知：y(k)-0.25y(k-2)=2e(k)-4e(k-1)+2e(k-2)畫模擬框圖。e(k)y(k)D0.252-4D2DDx(k)4、寫出此系統(tǒng)的差分方程e

(k)y(k)D∑-ay(k+1)y(k+1)＋ay(k)＝e(k)為了記錄方便，引入移位算子S：S－1§7-4離散時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)一、差分方程的算子表示法離散系統(tǒng)的轉(zhuǎn)移算子離散差分方程的解法：1）

時域經(jīng)典法（通解和特解）2）**

近代時域法（零輸入和零狀態(tài)）3）

**變換域解法（Z變換）4）

數(shù)值解法二、零輸入響應(yīng)求一階系統(tǒng)

用移序算子表示：特征方程：(S+a0)=0解的形式:y(k)=C(-a0)kn階系統(tǒng)特征方程：特征根:求待定系數(shù):特征根:假設(shè)是v1一個m重根，則形式解為：y(k+2)-3y(k+1)+2y(k)=e(k+1)-2e(k)，yzi(0)=0，yzi(1)=1，求零輸入響應(yīng)y(k)；例2解:特征方程S2-3S+2=01=1，1=2yzi(k)=C1+C22kyzi(0)=0，yzi(1)=1C1+C2=0C1+2C2=1C1=-1C2=1yzi(k)=(2k–1)(k)S2-2S+2=0例3:C1=1C2=2

解1：將后向差分轉(zhuǎn)化成前向差分注意:初始條件例3:后向差分表示的差分方程×例3:后向差分表示的差分方程解2:特征方程1-2S-1+2S-2=0C1=1C2=2三、特征根與系統(tǒng)穩(wěn)定性***系統(tǒng)穩(wěn)定性要求特征根全部在一個以原點為圓心、半徑為1的圓（單位圓）的內(nèi)部，在單位圓上最多只能有單根。1）經(jīng)典法:分通解和特解兩部分分別求解。2）時域卷積和法:類似與連續(xù)時間系統(tǒng)中的卷積積分方法。

3）變換域法:Z.T.，類似于L.T.1熟練掌握零狀態(tài)響應(yīng)的卷積和法2熟練掌握單位樣值響應(yīng)的算子法3會根據(jù)樣值函數(shù)響應(yīng)判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性§7-5離散時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)一、離散信號的時域分解引入卷積和計算：則可以將上式簡記為：e(k)=e(k)*(k)因果系統(tǒng)，有始信號：二線性移不變離散系統(tǒng)的響應(yīng)(k)響應(yīng)h(k)(k-i)h(k-i)響應(yīng)e(i)(k-i)e(i)h(k-i)，響應(yīng)響應(yīng)例1分析：H(2)2kH()

k(-<k<)k(-<k<)H(z)三卷積和e(k): 215h(k): 123h(-k): 321 —>r(0)=2h(1-k):321 —>r(1)=5h(2-k): 321 —>r(2)=13h(3-k): 321 —>r(3)=13h(4-k): 321 —>r(4)=15h(5-k): 321 —>r(5)=0h(6-k): 321 —>r(6)=0……………所以，r(k)={2,5,13,13,15}1）圖解法：有限長序列的卷積和仍然是有限長序列。例1：e(k)={2,1,5},h(k)={1,2,3}6，3，152，1，5{2，5，13，13，15}——>r(k)k=1k=5

2）

多項式乘法例2：e(k)={2,1,5},h(k)={1,2,3}e(k): {2，1，5}k=0*h(k): {1，2，3}k=14，2，10四卷積性質(zhì)1代數(shù)運算：交換律、結(jié)合律、分配律2有限長序列A(k),B(k)，序列長度分別是NA和NB

則C(k)=A(k)*B(k)有限長，且滿足1）卷積和的序列長=NA+NB-12）卷積和的上下限=AB上下限之和f(k)*(k)=f(k)f(k-n)*(k-m)=f(k-m-n)(k)*(k)=(k+1)(k)延時性質(zhì)若x1(k)*x2(k)=y(k)則：

x1(k-m)*x2(k-n)=y(k-m-n)例1、已知：f1(k)＝｛２，１，－２，１，３｝f2(k)＝｛１，４，２｝求f1(k)*f2(k)kf1(k)-２２１２-２１31-10kf2(k)２２１4130k=0k=1解1：f

(k)=f1(k)*f2(k)＝｛２，9，6，－5，3，14，6｝k=0kf

(k)-２２9２-5631-10146345例1、已知：求f1(k)*f2(k)kf1(k)-２２１２-２１31-10kf2(k)２２１4130解2：f1(k)＝2(k+2)+(k+1)-2(k)+(k-1)+3(k-2)f2(k)＝(k-1)+4(k-2)+2(k-3)f

(k)＝f1(k)*f2(k)＝[2(k+2)+(k+1)-2(k)+(k-1)+3(k-2)]*[(k-1)+4(k-2)+2(k-3)]f

(k)＝2(k+1)+9(k)+6(k-1)-5(k-2)+3(k-3)+14(k-4)+5(k-5)(k)*(k)=(k)(k-m)*(k-n)=(k-m-n)例2、求兩序列的卷積和f1(k)*f2(k)=f2(k)+2f2(k1)+f2(k2)f1(k)=(k)+2(k1)+(k2)f2(k)={2，1，0，1}k=0f1(k)*f2(k)={2，5，4，2，2，1}k=0e(k)y(k)h2(k)h1(k)h3(k)∑h1(k)=(k),h2(k)=(k-1),h3(k)=ak(k),例3、如題系統(tǒng)(k)(k)(k-1)y

(k)=e(k)*[h1(k)+h2(k)]*h3(k)h

(k)=ak(k)+ak-1(k-1)求組合系統(tǒng)的單位函數(shù)響應(yīng)h(k)五單位樣值函數(shù)的響應(yīng)h(k)（1）一階離散系統(tǒng)：對應(yīng)的差分方程：r(k+1)-r(k)=Ae(k)h(k)=A

k-1(k-1)e(k)=(k)遞推法：書P34h(k+1)-h(k)=A(k)h(k+1)-h(k)=A(k+1)h(k)=A

k(k)h(k)=A

k-1(k-1)h(k)=A

k(k)求h(k)的算子法（部分分式分解）a、如果特征方程沒有重根，則：b、如果特征方程有重根，假設(shè)1

是l

階重根，則：（2）如果m=n，可以先通過長除，變成一個常數(shù)和真分式之和，然后再求解（3）當(dāng)m>n時系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。這里不予考慮。h(k)=(k+1)利用已知的階躍響應(yīng)求單位函數(shù)響應(yīng)h(k)例1：已知因果系統(tǒng)是一個二階常系數(shù)差分方程，并已知當(dāng)x(k)=(k)時的響應(yīng)為：求系統(tǒng)單位樣值響應(yīng)解六根據(jù)單位樣值響應(yīng)分析系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性因果性：輸入變化不領(lǐng)先于輸出變化穩(wěn)定性：輸入有界則輸出必定有界必要條件充分條件mn特征根在單位圓內(nèi)七全響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)單位函數(shù)響應(yīng)例1：系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)：初始條件為：r(0)=9,r(1)=13.9，求全響應(yīng)。分析：關(guān)于初始條件r(0)、r(1)的討論：1它是全響應(yīng)在0、1時刻的值。r(0)和r(1)中必然包含零狀態(tài)響應(yīng)部分，2直接是系統(tǒng)零輸入響應(yīng)部分的值，一般要說明。3初始條件是r(-1),r(-2)等。這時候它一定屬于零輸入響應(yīng)。r(k)=rzi(k)+rzs(k)k0r(k)=rzi(k)k<01求h(k)2零狀態(tài)響應(yīng)r(0)=9,r(1)=13.9例2：系統(tǒng)轉(zhuǎn)移函數(shù)：初始條件為：r(0)=9,r(1)=13.9，求全響應(yīng)。3零輸入響應(yīng)2零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)rzi(0)=2,rzi(1)=4線性離散系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)為2(0.5)k(k)

，零狀態(tài)響應(yīng)為(1+k)(0.5)k(k)，則該系統(tǒng)的階數(shù)為（）（A）肯定是一階的；（B）肯定是二階的；（C）至少是一階的；（D）至少是二階的；思考C連續(xù)系統(tǒng)微分方程卷積積分拉氏變換連續(xù)傅里葉變換離散系統(tǒng)差分方程卷積和z變換離散傅里葉變換§7-6離散時間系統(tǒng)與連續(xù)時間系統(tǒng)時域分析法的比較離：差分方程：1）

數(shù)學(xué)模型：連：微分方程1、

系統(tǒng)描述方面：2)

祘子表示：連：引入微分祘子p離：引入移序祘子S3)

物理模型：a、基本運算單元：連：加法器，標(biāo)量乘法器，積分器離：加法器，標(biāo)量乘法器，移序（延時）器b、

結(jié)構(gòu)兩者類似，只要將積分器與移序（延時）器互換。e

(k)y(k)D∑-ay(k+1)＋ay(k)＝e(k)y'(t)＋ay(t)＝e(t)e

(t)y(t)∑-a2、求解方法1）

種類：連：經(jīng)典法，近代時域法，變換域法離：經(jīng)典法，近代時域法，變換域法，遞推法2）

近代時域法（1）零輸入響應(yīng)rzi

求解連：離：連：離：連：離：離：（2）零狀態(tài)響應(yīng)rzs

求解連：單位沖擊響應(yīng)h(t)離：單位函數(shù)響應(yīng)h(k)1）

求系統(tǒng)的（a）求轉(zhuǎn)移函數(shù)：連：（b）部分分式分解：將高階微分差分方程變成低階微分差分方程之和。連：單位沖擊響應(yīng)離：單位函數(shù)響應(yīng)（c）求低階系統(tǒng)的連：離：2）

求零狀態(tài)響應(yīng)rzs

離：卷積和rzs(k)=e(k)*h(k)連：卷積積分rzs(t)=e(t)*h(t)全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)rzi

+零狀態(tài)響應(yīng)rzs

連：h(t)是右邊（有始）信號——>佩利-維納準(zhǔn)則離：h(k)是右邊（有始）序列——>m<=n3、

穩(wěn)定性判別：連：h(t)絕對可積特征根在s平面虛軸以左半平面內(nèi)；離：h(k)絕對可和特征根在z平面單位圓內(nèi)；4、

因果性例、已知一離散系統(tǒng)框圖如下；試求：１)、系統(tǒng)的差分方程；

２)、yzi(0)=yzi(1)=1，求零輸入響應(yīng)yzi(k)；３)、若激勵