高中數(shù)學(xué)人教a版選修4-5學(xué)案第一講一1．不等式的基本性質(zhì)

一不等式1．不等式的基本性質(zhì)，能運(yùn)用不等式的性質(zhì)比較大小．．1．兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較(1)a＞b?a－b＞0；(2)a＝b?a－b＝0；(3)a＜b?a－b＜0.2．不等式的基本性質(zhì)(1)如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b，即a＞b?b＜a．(2)如果a＞b，b＞c，那么a＞c，即a＞b，b＞c?a＞c．(3)如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.(4)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc.(5)如果a＞b＞0，那么an＞bn(n∈N，n≥2)．(6)如果a＞b＞0，那么eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．作差比較法(1)理論依據(jù)：a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b.(2)方法步驟：①作差；②整理；③判斷符號(hào)；④下結(jié)論．1．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)若a＞b，則a－c＜b－c.()(2)若ac＜bc，則a＜b.()(3)若a＞b，則an＞bn.()(4)若a＜b＜0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).()(5)若ac＜bc，且c＞0，則a＜b.()(6)若a＞b，則eq\f(a,c)＞eq\f(b,c).()(7)若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則a＞0，b＜0.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)√(6)×(7)√2．已知M＝(x＋5)(x＋7)，N＝(x＋6)2，則M與N的大小關(guān)系為()A．M＜N B．M＞NC．M＝N D．M≥N解析：選A.因?yàn)镸－N＝(x＋5)(x＋7)－(x＋6)2＝－1＜0，所以M＜N.故選A.3．與a>b等價(jià)的不等式是()A．|a|>|b| B．a(chǎn)2>b2C．eq\f(a,b)>1 D．a(chǎn)3>b3解析：選D.當(dāng)b<a<0時(shí)，|a|<|b|，a2<b2，eq\f(a,b)<1，故A、B、C不成立．由f(x)＝x3在R上單調(diào)遞增及a>b可知f(a)>f(b)，即a3>b3.所以a3>b3與a>b等價(jià)．4．若a∈R，則a2＋3與2a的大小關(guān)系是________．解析：因?yàn)閍2＋3－2a＝(a－1)2＋2>0，所以a2＋3>2a.答案：a2＋3>2a比較大小[學(xué)生用書P1]已知x>1，比較x3－1與2x2－2x的大?。窘狻縳3－1－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))).因?yàn)閤>1，所以x－1>0.又因?yàn)閑q\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(3,4)>0，所以(x－1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4)))>0.所以x3－1>2x2－2x.eq\a\vs4\al()作差比較法的四個(gè)步驟a，b∈R，x＝a3－b，y＝a2b－a，試比較x與y的大?。猓簒－y＝a3－b－a2b＋a＝a2(a－b)＋a－b＝(a－b)(a2＋1)．當(dāng)a＞b時(shí)，x－y＞0，所以x＞y；當(dāng)a＝b時(shí)，x－y＝0，所以x＝y(tǒng)；當(dāng)a＜b時(shí)，x－y＜0，所以x＜y.2．若A＝eq\r(\f(y2＋1,x2＋1))，B＝eq\f(y,x)，其中x>y>0，試比較A與B的大小．解：因?yàn)锳2－B2＝eq\f(y2＋1,x2＋1)－eq\f(y2,x2)＝eq\f(x2（y2＋1）－y2（x2＋1）,x2（x2＋1）)＝eq\f(x2－y2,x2（x2＋1）)＝eq\f(（x－y）（x＋y）,x2（x2＋1）)，因?yàn)閤>y>0，所以x－y>0，x＋y>0，x2>0，x2＋1>1.所以eq\f(（x－y）（x＋y）,x2（x2＋1）)>0.所以A2>B2，又A>0，B>0，所以A>B.不等式基本性質(zhì)的簡單應(yīng)用[學(xué)生用書P2]對于實(shí)數(shù)a，b，c，有下列命題：①若a>b，則ac<bc；②若ac2>bc2，則a>b；③若a<b<0，則a2>ab>b2.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B．1C．2 D．3【解析】①假，未知c是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是零，因而判斷ac與bc大小缺乏依據(jù)，故該命題是假命題；②真，由ac2>bc2，知c≠0，故c2>0，所以a>b，故該命題是真命題；③真，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a<b<0,a<0))?a2>ab，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a<b,b<0))?ab>b2，所以a2>ab>b2.故該命題為真命題．【答案】Ceq\a\vs4\al()(1)在利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假時(shí)，關(guān)鍵是依據(jù)題設(shè)條件，恰當(dāng)?shù)剡x取使用不等式的性質(zhì)．否定命題的結(jié)論，有時(shí)往往舉反例．但要注意取值一定要遵循兩個(gè)原則：一是滿足題設(shè)條件；二是取值要簡單，便于驗(yàn)證計(jì)算．(2)運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)，一定要注意不等式成立的條件；要弄清每一個(gè)性質(zhì)的條件和結(jié)論，注意條件放寬或加強(qiáng)后，結(jié)論是否發(fā)生了變化．a(chǎn)，b，c為實(shí)數(shù)，則下列命題中正確的是()A．若a＞b，則ac2＞bc2B．若a＜b，則a＋c＜b＋cC．若a＜b，則ac＜bcD．若a＜b，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)解析：選B.對于A，當(dāng)c＝0時(shí)不成立；對于B，根據(jù)不等式的性質(zhì)，若a＜b，則a＋c＜b＋c，故成立；對于C，當(dāng)c≤0時(shí)不成立；對于D，當(dāng)a＝－1，b＝1時(shí)不成立，故選B.2．若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有()A．eq\f(a,d)＞eq\f(b,c)B．eq\f(a,d)<eq\f(b,c)C．eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)D．eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)解析：選B.因?yàn)閏＜d＜0，所以eq\f(1,d)＜eq\f(1,c)＜0，所以－eq\f(1,d)＞－eq\f(1,c)＞0，而a＞b＞0，所以－eq\f(a,d)＞－eq\f(b,c)＞0，所以eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)，故選B.利用不等式的性質(zhì)證明不等式[學(xué)生用書P3]若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0.求證：(1)eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d)；(2)eq\f(e,（a－c）2)＞eq\f(e,（b－d）2).【證明】因?yàn)閏＜d＜0，所以－c＞－d＞0.因?yàn)閍＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0.(*)(1)由(*)式知eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d)，又e＜0，所以eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).(2)由(*)式知(a－c)2＞(b－d)2＞0，所以eq\f(1,（b－d）2)＞eq\f(1,（a－c）2)，又e＜0，所以eq\f(e,（b－d）2)＜eq\f(e,（a－c）2)，即eq\f(e,（a－c）2)＞eq\f(e,（b－d）2).eq\a\vs4\al()利用不等式性質(zhì)證明不等式的技巧進(jìn)行簡單不等式的證明時(shí)，如果不能直接應(yīng)用不等式的性質(zhì)得到，我們可以先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逆推，尋找其成立的充分條件．a(chǎn)＞0，b＞0，c＞0，d＞0，且eq\f(a,b)＞eq\f(c,d)，求證：eq\f(a＋c,b＋d)＞eq\f(c,d).證明：因?yàn)閍＞0，b＞0，c＞0，d＞0且eq\f(a,b)＞eq\f(c,d)，所以ad＞bc，所以ad＋cd＞bc＋cd，即d(a＋c)＞c(b＋d)，所以eq\f(a＋c,b＋d)＞eq\f(c,d).2．已知a>b>0，c<d<0，求證：eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).證明：因?yàn)閏<d<0，所以－c>－d>0.所以0<－eq\f(1,c)<－eq\f(1,d)，又a>b>0，所以－eq\f(a,d)>－eq\f(b,c)>0.所以eq\r(3,\f(－a,d))>eq\r(3,\f(－b,c))，即－eq\r(3,\f(a,d))>－eq\r(3,\f(b,c)).兩邊同乘以－1，得eq\r(3,\f(a,d))<eq\r(3,\f(b,c)).利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍[學(xué)生用書P3](1)已知：－eq\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α－β,2)的范圍；(2)已知：－1≤a＋b≤1，1≤a－2b≤3，求a＋3b的范圍．【解】(1)因?yàn)椋璭q\f(π,2)≤α<β≤eq\f(π,2)，所以－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，所以－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4)，所以－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2)，又因?yàn)棣粒鸡?，所以－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.(2)設(shè)a＋3b＝λ1(a＋b)＋λ2(a－2b)＝(λ1＋λ2)a＋(λ1－2λ2)b.解得λ1＝eq\f(5,3)，λ2＝－eq\f(2,3).又－eq\f(5,3)≤eq\f(5,3)(a＋b)≤eq\f(5,3)，－2≤－eq\f(2,3)(a－2b)≤－eq\f(2,3).所以－eq\f(11,3)≤a＋3b≤1.eq\a\vs4\al()求代數(shù)式的取值范圍是不等式性質(zhì)應(yīng)用的一個(gè)重要方面，嚴(yán)格依據(jù)不等式的性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，是解答此類問題的基礎(chǔ)，在使用不等式的性質(zhì)中，如果是由兩個(gè)變量的范圍求其差的范圍，一定不能直接作差，而要轉(zhuǎn)化為同向不等式后作和．1.若－1<a<2，－2<b<1，則a－|b|的取值范圍是________．解析：因?yàn)椋?<b<1，所以0≤|b|<2.所以－2<－|b|≤0，又－1<a<2，所以－3<a－|b|<2.答案：(－3，2)2．已知－1<x<3，1<y<2，試分別求x＋y，x－y，eq\f(x,y)的取值范圍．解：因?yàn)椋?<x<3，1<y<2，所以0<x＋y<5.又－2<－y<－1，所以－3<x－y<2.又eq\f(1,2)<eq\f(1,y)<1，當(dāng)0≤x<3時(shí)，0≤eq\f(x,y)<3；當(dāng)－1<x<0時(shí)，0<－x<1，0<eq\f(－x,y)<1，－1<eq\f(x,y)<0.綜上所述，－1<eq\f(x,y)<3.所以0<x＋y<5，－3<x－y<2，－1<eq\f(x,y)<3.1．對不等式基本性質(zhì)的理解(1)不等式的基本性質(zhì)均可進(jìn)行嚴(yán)格的證明，其中證明對稱性的依據(jù)是a>b?a－b>0；a<b?a－b<0；證明開方法則時(shí)要用到反證法．(2)在不等式的基本性質(zhì)中，對稱性和可加性具有雙向性，左右兩邊可互相推出，其余的只能從左邊推出右邊，運(yùn)用時(shí)要特別注意．(3)性質(zhì)(3)(可加性)的作用：①它是移項(xiàng)法則的依據(jù)；②它是加法法則的依據(jù)；③用它也可以推導(dǎo)減法法則．即a>b，c<d?a－c>b－d；(4)性質(zhì)(5)(可乘性)的作用：①它是乘法法則的依據(jù)；②用它可推導(dǎo)除法法則，即a>b>0，0<c<d?eq\f(a,c)>eq\f(b,d)；③用它也可推導(dǎo)倒數(shù)法則，即a>b>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(5)不等式性質(zhì)的等價(jià)形式及應(yīng)用：①傳遞性：a<b，b<c?a<c；②可加性：a<b，c∈R?a＋c<b＋c；③加法法則：a<b，c<d?a＋c<b＋d；④乘法法則推廣：0>a>b，0>c>d?ac<bd.2．不等式的基本性質(zhì)是進(jìn)行不等式的證明和解不等式的依據(jù)，用不等式的基本性質(zhì)解題時(shí)，一定要嚴(yán)格把握它們成立的條件．如：進(jìn)行加法運(yùn)算時(shí)，只有同向不等式才能進(jìn)行相加；在乘方、開方運(yùn)算時(shí)，只有在正數(shù)的前提下才能實(shí)施．3．注意不等式成立的前提條件不可強(qiáng)化或弱化成立的條件．要克服“想當(dāng)然”“顯然成立”的思維定勢．如傳遞性是有條件的，可乘性中c的正負(fù)，乘方、開方性質(zhì)中的“正數(shù)”及“n∈N，且n≥2”都需要注意．1．已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為x，y，若x＜y＜0，則|x|與|y|對應(yīng)的點(diǎn)P，Q的位置關(guān)系是()A．P在Q的左邊 B．P在Q的右邊C．P，Q兩點(diǎn)重合 D．不能確定解析：選B.因?yàn)閤＜y＜0，所以|x|＞|yP在Q的右邊．2．若x＋y>0，a<0，ay>0，則x－y的值()A．大于0 B．等于0C．小于0 D．符號(hào)不能確定解析：選A.因?yàn)閍<0，ay>0，所以y<0，所以－2y>0.因?yàn)閤＋y>0，所以(x＋y)＋(－2y)>0，所以x－y>0.3．設(shè)－2<a<7，1<b<2，則eq\f(a,b)的取值范圍是___