廣東省深圳市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

廣東省深圳市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試試卷

閱卷人

--------------------------------A單選題(共8題；共16分)

得分

1.(2分)已知集合/=(XeN\x>1},B=(x\0<x<4],則ZClB=()

A.{x|1<x<4}B.{x|x>0}

C.{2,3}D.[1,2,3)

【答案】C

【解析】【解答】由題意，ACIB={%eN|1<x<4}={2,3)

故答案為：C

【分析】根據(jù)交集的定義可得答案.

2.（2分）若（l+i）z=2,則2=（）

A.1+iB.1—iC.-1+iD.-1—i

【答案】B

【解析】【解答】由題意得：Z=每=（備福=1-1.

故答案為：B.

【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡可得答案.

3.（2分）已知cosa=稱，0<a<^,則sin（zr+a）的值為（）

A.B.-|C.|D.1

【答案】A

【解析】【解答】解：因?yàn)閏osa=焉，0<a<^,所以sina="1.—cos2a=卷,

所以sin（7r+a）=—sina=—^；

故答案為：A

【分析】由已知條件結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及誘導(dǎo)公式，整理化簡即可得出答案。

4.（2分）如圖，△ABC中，力。為BC邊上的中線，M為40的中點(diǎn)，若麗=4瓦5+〃尻，則實(shí)數(shù)對(duì)

(1,〃)=()

A.6，1）B.8,1）C.（1）1）D.（1,1）

【答案】A

【解析】【解答】因?yàn)镸為AD的中點(diǎn)，且AD為BC邊上的中線，故兩=；瓦5+；前=；而+/比,

故（九〃）=6，》

故答案為：A

【分析】直接利用中線向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用求出答案.

5.（2分）已知直線血，幾與平面a,/?,y,則能使a_L0的充分條件是（）

A.a1y,0_LyB.mln,aA/?=m,nu°

C.m〃a,m//pD.m//a,7nls

【答案】D

【解析】【解答】對(duì)于A,,??垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行或相交，，a_Ly,A不

符合題意；

對(duì)于B,若m_L九，an/?=m,nu0,則只需m,建在平面/?內(nèi)互相垂直即可，無法得到a_L0,B

不符合題意；

對(duì)于C,???平行于同一條直線的兩個(gè)平面平行或相交，.?.m〃a,m//pa1/?,C不符合題意；

對(duì)于D,?.?m〃a,???存在直線Zua,滿足又m10,???/10,

??Tua,??.a工B,D符合題意.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)空間中直線與平面的位置關(guān)系以及面面垂直的判定定理，逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得答案.

6.（2分）國家三孩政策落地后，有一對(duì)夫妻生育了三個(gè)小孩，他們五人坐成一排，若爸媽坐兩邊，

三個(gè)小孩坐在爸媽中間，則所有不同排法的種數(shù)為（）

A.6B.12C.24D.48

【答案】B

【解析】【解答】將爸媽安排在兩邊，有度種排法；將三個(gè)小孩放在中間，有用種排法；

則所有不同的排法種數(shù)為：度房=2X6=12種.

故答案為：B.

【分析】首先安排爸媽，再將孩子放在中間，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可求得答案.

7.（2分）如圖，鼻,尸2分別為橢圓g+1的左'右焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，PT為AFiPF2的外角

4□

平分線，F(xiàn)2T1PT,貝|J|O7|=（）

【答案】B

【解析】【解答】如圖所示:

延長尸27交F1P的延長線于點(diǎn)M,

因?yàn)镻T為NF1PF2的外角平分線，F(xiàn)2T1PT,

所以易得△PTF2三APTM,所以IPF2I=|PM|,ITF2I=|7W|,

結(jié)合橢圓的定義得|M0|=|P&|+\PM\=|Pa|4-\PF2\=4,

又T為F2M的中點(diǎn)，。為FIF2的中點(diǎn)，

所以在AF1F2M中,\OT\=^\MFi\=2,

故答案為：B.

【分析】延長尸27交FiP的延長線于點(diǎn)M,由已知可得APTF2三ZiPTM得IPF2I=|PM|,|丁「2|=

\TM\,由橢圓定義結(jié)合三角形中位線定理可得|OT|.

Inx,%>0

8.(2分)設(shè)函數(shù)/(x)=1，若方程f(x)=x+b有3個(gè)不同的實(shí)根，貝昉的取值范圍為

工+一，

x%<0

()

A.(—co,-1)B.(—1,0)C.(0，1)D.(1,+oo)

【答案】A

Inx-x,x>0

【解析】【解答】令g(%)=/(%)-％=I1；

xx<0

方程/(%)=x+b有3個(gè)不同的實(shí)根等價(jià)于g(%)與y=b有3個(gè)不同的交點(diǎn)；

當(dāng)X>0時(shí),g'(x)=]-1=

則當(dāng)久e(0,1)時(shí)，g'(_x)>0；當(dāng)％e(1,+8)時(shí)，g'Q)<0；

???g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,+8)上單調(diào)遞減，g(x)max=9(1)=-1；

則可得g(x)圖象如下圖所示，

由圖象可知：當(dāng)時(shí)，g(x)與y=b有3個(gè)不同的交點(diǎn);

綜上所述：實(shí)數(shù)b的取值范圍為(—8,-1).

故答案為：A.

【分析】令g(x)=/(%)-x,將問題轉(zhuǎn)化為g(x)與y=^有3個(gè)不同的交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可求得g(x)單

調(diào)性，由此可得g(x)的圖象，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍.

閱卷入

—二、多選題(共4題；共8分)

得分

9.(2分)已知樣本數(shù)據(jù)2%+1,2%2+1，…，2xn+1的平均數(shù)是2,方差為16,則樣本數(shù)據(jù)打,

%2>…，的()

A.平均數(shù)是0.5B.平均數(shù)是1C.方差是4D.方差是5

【答案】A,C

【解析】【解答】由題意知：E(2X+1)=2,D(2X+1)=16,

???E(2X+1)=2E(X)+1=2,*E(X)=O5,即打，孫…，力的平均數(shù)為

???D(2X+1)=4C(X)=16,???D(X)=4,即勺，右，…，功的方差為4

故答案為：AC.

【分析】利用平均數(shù)、方差的運(yùn)算性質(zhì)求解出答案.

10.(2分)已知直線［：%-y+1=0，圓C：x2+y2=1,則()

A.直線I與圓C相交

B.圓C上的點(diǎn)到直線1距離的最大值為金

C.直線［關(guān)于圓心C對(duì)稱的直線的方程為“-丁一1=0

D.圓C關(guān)于直線2對(duì)稱的圓的方程為(％+I)2+(y-1猿=1

【答案】A,C,D

【解析】【解答】由圓C方程知：圓心C(0,0),半徑r=l；

???圓心到直線，距離

對(duì)于A,Cd=4=￥<1,???直線，與圓C相交，A符合題意;

對(duì)于B,?.?圓心C到直線2距離弓二孝，二圓C上的點(diǎn)到直線，距離的最大值為d+r=￥+l，B不符合

題意;

對(duì)于C,設(shè)直線2關(guān)于圓心C對(duì)稱的直線方程為：x-y+m=O(m^l),

??裳=多解得5舍)或m=?直線,關(guān)

則圓心C到直線，和到其對(duì)稱直線的距離相等,

于圓心C對(duì)稱的直線的方程為x-y-l=O,C符合題意;

(一1

D,C(a,b),a，(a=-1

對(duì)于設(shè)圓心關(guān)于直線，對(duì)稱的點(diǎn)為則.~解得:Ib=l'

9-升1=。

???所求圓的圓心為(一1,1),半徑為1,

???圓C關(guān)于直線/對(duì)稱的圓的方程為(％+1)2+(y-1)2=1,D符合題意.

故答案為：ACD.

【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，利用圓心到直線距離d<r得直線與圓相交可判斷A；由圓

上點(diǎn)到直線距離最大值為d+r,可判斷B；由直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線的求法可判斷C；利用點(diǎn)關(guān)于

直線對(duì)稱點(diǎn)的求法，可求得對(duì)稱圓的圓心，由此可得圓的方程可判斷D.

11.(2分)已知數(shù)列｛an｝中，％=2,an+1+-^-=1,nE,N+,貝！]()

a4

A.。2022=1

B.Q]+a2+。3+…+。2022=1011

C.2a3…a2022=-1

D.+Q2a3+。304+…+。2022。2023=-1011

【答案】B,D

【解析】【解答】由題意得：。2=1-白=:，。3=1-2=-1，。4=1-2=2,。5=1-4=

UiLUoUoCIA.

1

2，...，

???數(shù)列｛an｝是以3為周期的周期數(shù)列；

對(duì)于A,0-2022=0674x3=。3=2,A不符合題意；

對(duì)于B,%+做+。3+…+。2022=674(%+。2+Q3)=674乂,=1011,B符合題意；

對(duì)于C,…02022=2a3)674=1,C不符合題意;

對(duì)于D,由遞推關(guān)系式知：anan+1=an-1,

???a±a24-a2a3+a3a4+…+02022a2023=(Q1-1)4-(a2—1)+…+(^202211)=+。2+03+…

+。2022-2022=1011-2022=-1011,D符合題意.

故答案為：BD.

【分析】根據(jù)遞推關(guān)系式可推導(dǎo)出數(shù)列是以3為周期的周期數(shù)列，由&2022=&674乂3=。3,可

判斷A;由%+-+(12022=674?i++。3),可判斷B;由即a2a3…02022=

(即a2a3)674,可判斷C；根據(jù)遞推關(guān)系式得到a/n+1=an-1可判斷D.

12.(2分)聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽覺的波，每一個(gè)音都是由純音合成的，純音的數(shù)

學(xué)函數(shù)為y=4sina)x,其中A影響音的響度和音長，3影響音的頻率，平時(shí)我們聽到的音樂都是有許

多音構(gòu)成的復(fù)合音，假設(shè)我們聽到的聲音函數(shù)是f(x)=sinx+|^sin2x+^sin3xH----F^sinnx+….令

n[

Z卜[及sinkX貝ij下歹!J說法正確的有()

A./式%)是奇函數(shù)

B./“(X)是周期函數(shù)

C.y=；2(x)的最大值為|

D.%⑴在［-和*上單調(diào)遞增

【答案】A,B,D

\~^n1\~^n1_

【解析】【解答】對(duì)于A,vAi(-x)=/7；sin(-/cx)=-/7；sin/c%=—左(%),???左。)是奇函

數(shù)，A符合題意；

對(duì)于B,/n(x+2TT)=V^sin(fcx4-2zr)=V/sink%=④⑺，???2n■是/*n(%)的一個(gè)周期,B

符合題意；

對(duì)于C,?.1七(％)=Sinx+；sin2x,二=cosx+cos2x=2cos2x+cosx-1=(2cosx-

l)(cosx+1)；

當(dāng)xe［0,兀］時(shí)，cosx+1>0,則當(dāng)xe［0,1)Ht,/2(x)>0；當(dāng)為eg,兀］時(shí)，/2(x)<0；

???/2。)在［0,令上單調(diào)遞增，在《，布上單調(diào)遞減，

又八（°）=/2（兀）=°，/2毆）=孚+空=竽；

則當(dāng)XC[O,兀]時(shí)，0Sf2（x）W莘；

巴。）為奇函數(shù)，[當(dāng)xe[-兀，0]時(shí)，-竽w為Q）wo；

又八色）周期為碗，.?.一竽Wf2（x）W苧，即%。）最大值為苧，C不符合題意;

-1-1

cosx

對(duì)于D,vf3（%）=sinx+2sin2x+@sin3x,；?/%（%）=+cos2x+cos3x；

當(dāng)XC[-3勺時(shí),2xe芻，3%€[_*,第,

二cosx€仔，1]>cos2xG[0,1]>cos3xC[-苧，1],二廣3（”）2。，

???夫（%）在[一和*上單調(diào)遞增，D符合題意.

故答案為：ABD.

【分析】由奇偶性定義可判斷A；由九（X+2兀）=打（%）可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)可求得f2（x）在[0,兀]

上的值域，結(jié)合奇偶性和周期性可確定f2（x）最大值，可判斷C；求導(dǎo)后可證得f；。:）20，由此可判

斷D.

閱卷人

三、填空題供4題；共5分）

得分

13.（1分）若/。）=1+3（%€幻是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a=.

【答案】-2

【解析】【解答】??"（%）定義域?yàn)镽,且/（%）為奇函數(shù)，???/（（））=1+>0,解得：a=—2；

*~yQXiQXi[QX

當(dāng)"一2時(shí)'/（久）=1一行=言'?.?/（—%）=?^1=d=一/（%）'

為R上的奇函數(shù)，滿足題意；

綜上所述：a=-2.

故答案為：?2.

【分析】由已知結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)可知f（0）=0,代入即可求解，檢驗(yàn)后即求得a的值.

14.（1分）已知雙曲線的漸近線方程是y=±苧X,且雙曲線經(jīng)過點(diǎn)M（4,3），則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

為.

【答案】琴—二=1

43

【解析】【解答】雙曲線的漸近線方程為y=±*X，可設(shè)雙曲線的方程為CtHO），代

J—243

入M（4,3），可得t=￥T=i，則雙曲線的方程為U=1.

故答案為：■=1

4D

【分析】由雙曲線的漸近線方程設(shè)雙曲線的方程為q_1=t〈too）,把已知點(diǎn)代入雙曲線的方

程可得t值，則可求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

15.（1分）如圖，已知一個(gè)圓錐的底面半徑為1dm,高為3dm,它的內(nèi)部有一個(gè)正三棱柱，且該正

三棱柱的下底面在圓錐的底面上，則這個(gè)正三棱柱的體積的最大值為dm3.

【解析】【解答】過三棱柱的上底面的平面平行于圓錐的底面，則該平面截圓錐所得的截面為一個(gè)小

圓；

要使正三棱柱體積最大，則正三棱柱的上底面三角形內(nèi)接于該小圓；

設(shè)小圓的半徑為r（0<r<1）,正三棱柱的高為山

.??浮=9,解得：ft=3-3r；又正三棱柱的底面三角形面積s=[xV5rx百rx，=^M，

3224

八正二棱柱的體積V=S/i=#^產(chǎn)（3—3r）=（丁2—,則（7=2^?。?—3?。?；

二當(dāng)r6（0,,）時(shí)，V>0；當(dāng)丁€（,，1）時(shí)，V<0;

?'?當(dāng)「=凱寸，，max=X1一攝）=

故答案為：g

【分析】設(shè)小圓的半徑為r(OVrVl),正三棱柱的高為九，通過已知求得正三棱柱高為九=3-

3r,

V=Sh=^r2(3-3r)=^(r2-r3),利用導(dǎo)數(shù)可求正三棱柱的體積的最大值.

16.(2分)任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2.反復(fù)進(jìn)

行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈1-4-2-1.這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜

想”(又稱"角谷猜想''等).例如：取正整數(shù)n=5,根據(jù)上述運(yùn)算法則得出5-16-8-4-2T

1,共需5個(gè)步驟變成1,稱為5步“雹程”.一般地，對(duì)于正整數(shù)n,根據(jù)上述運(yùn)算法則，第一次變成1

時(shí)，所需步數(shù)稱為九的“雹程”，記為B(n).則8(17)=；若B(n)=8,則n的所有可能取值的

集合為.

【答案】12；(6,40,42,256)

【解析】【解答】解：當(dāng)n=17時(shí)，根據(jù)運(yùn)算法則可得：

17T52T26Tl3T40T20T10T5T1618T4T2T1,共需要12個(gè)步驟，故3(17)=

12.

若8(幾)=8,根據(jù)運(yùn)算規(guī)則需要8步才第一次變成1,所有可能的情形有：

1―2-4—8-16—32-64—128—256；

1―2—4—8i16j32<-64<—21142；

1-2-4-8-16-5-10-20-40；

112—4—8116<—510<—36.

故滿足B(n)=8的正整數(shù)n的所有可能取值的集合為｛6,4(),42,256｝.

故答案為：12；｛6,40,42,256｝.

【分析】當(dāng)n=17時(shí)，根據(jù)運(yùn)算法則即可求出B(17)的值；當(dāng)B(n)=8時(shí)，根據(jù)運(yùn)算法則，逆向

尋找結(jié)果可得n的所有可能取值的集合.

閱卷人

四、解答題(共6題；共56分)

得分

17.(10分)已知等比數(shù)列｛的｝的首項(xiàng)4=2,公比q=8.在｛d｝中每相鄰兩項(xiàng)之間都插入2個(gè)數(shù),使

它們和原數(shù)列的數(shù)一起構(gòu)成一個(gè)新的等比數(shù)列｛5｝.

(1)(5分)求數(shù)列｛當(dāng)｝的通項(xiàng)公式;

111

（2）（5分）設(shè)Cn=log2bn,neN+,證明：7c^c+—+-+—c—<1.

'l2C2c3nCn+1

【答案】（1）解：由題意知：bi=ai=2,b4=a2=ai<7-16,

n

則等比數(shù)列｛bn｝的公比/=行=8,解得：q'=2,.-.bn=2.

1111

（2）解：由（1）得：d=1〃2%=10g22"=n,.?.褊匚=而而=另一行y,

1,1,,11,11,,1111

----1-----1-…H-------=1d—不+不一與+…H------TT=1----TT，

c1c2c2c3c九cn+i223nn+ln+l

又;7^7>°，1——TT<1，即+----VL

n+ln+1C1C202c3CnCn+l

【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解出數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

n1111

（2）由（1）得：cn=log2hn=log22=n,==利用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行數(shù)

111

列求和’再比較可證得證+荻+..?+畫不<1.

18.(10分)記△A8C中，角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知QCOSB+bcos力=

（1）（5分）求4

(2)(5分)若Q=2,b=2V3,求△ABC的面積.

【答案】(1)解：由正弦定理可得sin/cosB+sinBcos/=V^sinCtaml,故sin(4+B)=

V3sinCtanAy因?yàn)?+B+C=7,故sin(i4+B)=V3sinCtanA=sinC,故tern/=字，又A6

(0,71)，故4=g7T

(2)解：根據(jù)余弦定理可得22=(2遙)2+c2-2x2怎x字故(c—2)(c—4)=0,故c=2,

c=4.Jjc—2時(shí)，S“BC=bcsinA=5x2>/3x2x5=V3;當(dāng)c=4時(shí)，^ABC=7^bcsixiA=5x

2A/3x4x|=2V3.故4ABC的面積為遮或2遍

【解析】【分析】(1)根據(jù)正弦定理，結(jié)合三角形內(nèi)角和求解可得4的值；

(2)根據(jù)余弦定理可得c=2或c=4,再根據(jù)面積公式可求出△ABC的面積.

19.(10分)如圖(1),在直角梯形ABCD中，AB//CD,AB1BC,且BC=CD=$48=2,取AB

的中點(diǎn)。，連結(jié)0D,并將△4。。沿著0。翻折，翻折后AC=2B，點(diǎn)M,N分別是線段AD,的中

點(diǎn)，如圖(2).

A

圖(1)

（1）（5分）求證：AC1OM；

（2）（5分）求平面。MN與平面OBCD夾角的余弦值.

【答案】（1）證明：連接OC,

1

VAB//CD,AB1BC,BC=CD=^AB=2,。為力B中點(diǎn)，

.??四邊形ODCB為正方形，OC=2近，

???翻折后，AC=2V3，AOA2+OC2=22+(2A/2)2=(2V3)2=AC2,■■OA1OC-,

5LOA1OD,OCCOD=0,OC,0。u平面。CD,???。41平面OC。，

???CDu平面。CD,OALCD,

又CD1.OD,OACtOD=0,OA,ODu平面0/W,二CO_L平面。4。，

vOMu平面OA。，CO1OM；

???OA=OD,M為4。中點(diǎn)，:OMLAD,

又CDCMD=D,CD,ADu平面4CD,???OM_L平面4CD,

???4Cu平面4CD,AC1OM.

（2）解：以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD,OF,函正方向?yàn)椋?y,z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則0(0,0,0).M(l,0,1),N(0,1,1),OM=(1,0,1).ON=(0,1,1);

???2軸_1_平面。BCD,.?.平面OBCD的一個(gè)法向量訪=(0,0,1);

設(shè)平面0MN的法向量五=(%,y,z),

則｛黑令x=L解得：y=l,z=-l,n=(1.1,-1);

..-—、?|7n-n|1后

.'.|cos<m,n>|=I^m=7==T，

即平面OMN與平面OBCD夾角的余弦值為學(xué)

【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件及線面垂直的判定定理證明OM_L平面ACD,再由線面垂直的性

質(zhì)即可證得AC1OMx

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD,OB,雨正方向?yàn)椋?y,z軸，可建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面OMN

與平面OBCD的法向量，利用空間向量的夾角公式即可求得平面0MN與平面OBCD夾角的余弦值.

20.(6分)為慶祝共青團(tuán)成立一百周年，某校高二年級(jí)組織了一項(xiàng)知識(shí)競答活動(dòng)，有4B,C三個(gè)

問題.規(guī)則如下：只有答對(duì)當(dāng)前問題才有資格回答下一個(gè)問題，否則停止答題：小明是否答對(duì)

A,B,C三個(gè)問題相互獨(dú)立，答對(duì)三個(gè)問題的概率及答對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的榮譽(yù)積分如下表：

問題ABC

答對(duì)的概率0.6().50.2

獲得的榮譽(yù)積分10002000300()

(1)(5分)若小明隨機(jī)選擇一道題，求小明答對(duì)的概率；

(2)(1分)若小明按照4B,C的順序答題所獲得的總積分為X,按照(在下列條件

①②③中任選一個(gè))的順序答題所獲得的總積分為丫，請分別求X,y的分布列，并比較它們數(shù)學(xué)

期望的大小.

(De,B,A-,②B,A,C：③A,C,B

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】(1)解：記事件E：小明隨機(jī)選擇一道題并答對(duì)；事件Dy小明選擇問題4事件。2：小明

=DIUD2UA，

選擇問題B；事件。3：小明選擇問題C;則。且。1，D2,D3兩兩互斥；

事件4B,C分別為：小明答對(duì)問題4,B,C;

由題意知：P(Di)=P(D2)=P(03)=J,P(A|DD=0.6,P(8|Z)2)=0.5,P(C|D3)=0.2；

???P(E)=P(Di)P(g)+P(D2)P(B|D2)+P(D3)P(C|D3)=1X0.6+1X0.54-1X0.2=

(2)解：由題意知：X所有可能的取值為0,1000,3000,6000，

P(X=0)=P(A)=0.4；P(X=1000)=P(AB)=0.6X0.5=0.3；P(X=3000)=P(ABC)=

0.6x0,5x0,8=0.24；P(X=6000)=P(ABC)=0.6x0,5x0,2=0.06；

???X的分布列為：

X0100030006000

p0.40.30.240.06

則數(shù)學(xué)期望E(X)=0X0.4+1000X0.3+3000X0.24+6000X0.06=1380；

若選條件①，丫所有可能的取值為0,3000,5000,6000，

AP(Y=0)=P(C)=0.8；P(Y=3000)=P(C月)=0.2X0.5=0.1；P(Y=5000)=P(CB4)=

0.2x0,5x0,4=0.04；P(Y=6000)=P(CBZ)=0.2x0.5x0,6=0.06；

.1■丫的分布列為：

Y0300050006000

P0.80.10.040.06

則數(shù)學(xué)期望E(y)=0x0.8+3000X0.14-5000X0.04+6000X0.06=860,

AE(X)>E(y)；

若選條件②，y所有可能的取值為0,2000,3000,6000,

???P(Y=0)=P(B)=0.5；P(Y=2000)=P(BA)=0.5x0.4=0.2；P(Y=3000)=P(BAC)=

0.5x0.6x0.8=0.24；P(P=6000)=P(BAC)=0.5x0.6x0.2=0.06；

丫的分布列為：

Y0200030006000

p0.50.20.240.06

則數(shù)學(xué)期望E(y)=0x0.5+2000X0.24-3000x0.24+6000X0.06=1480；

AE(Y)>E(X)；

若選條件③，y所有可能的取值為0,1000,4000,6000,

P(Y=0)=P(A)=0.4；P(Y=1000)=P(AQ=0.6x0.8=0.48；

P(y=4000)=P^ACB)=0.6x0,2x0.5=0.06；P(Y=6000)=P(ACB)=0.6x0,2x0.5=

0.06；

???丫的分布列為：

Y0100()40006000

P0.40.480.060.06

則數(shù)學(xué)期望E(y)=0x0.4+1000x0.48+4000x0.06+6000x0.06=1080；

AE(X)>E(Y).

【解析】【分析】(1)由題意，小明隨機(jī)選擇一道題目答對(duì)的可能性有三種，再利用全概率公式進(jìn)行

求解即可得小明答對(duì)的概率；

(2)先求得X的分布列及期望，再求得①②③這3種情況的分布列與期望，再進(jìn)行比較即可得它們

數(shù)學(xué)期望的大小.

2L(10分)已知拋物線C：y2=2p久(p>0)上的點(diǎn)M與焦點(diǎn)F的距離為|,且點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為2即.

(1)(5分)求拋物線C的方程和點(diǎn)”的坐標(biāo)；

(2)(5分)若直線［與拋物線C相交于4,B兩點(diǎn)，且證明直線/過定點(diǎn).

,p_5

【答案】(1)解：設(shè)MQo,2洞，貝I」產(chǎn)°+2=2,解得:

'2px0=4P

???拋物線C：y2=2x；M(2,2).

(2)解：由題意知：直線2斜率不為零，可設(shè)&x=my4-n,y])，丫2)，

2

由fy—2：得：2_2my-2n=0,AA=4m+8n>0,即租2+2九>0；

(x=my+nzz

???yi+y2=2m,y1y2二-2九；

2

?.〃,yi-_yi-2_2_y2-2_y2-2_2

?"MA—X1-2—王4—y1+2,叱—^2~~千，

~2~

1=-1;

又MAMB,kMA-kMB=31+2)32+2)=y1y2+2(y1+y2)+4=—2n+4m+4

則n=2m+4(此時(shí)那+2n=m2+4m+8=(m+2)2+4>0成立)，

直線&x=my+2m+4=m(y4-2)+4-

當(dāng)y=-2時(shí)，x=4,.?.直線］恒過定點(diǎn)(4,-2).

【解析】【分析】(1)由點(diǎn)M的縱坐標(biāo)求出橫坐標(biāo)，結(jié)合拋物線的定義可求出p的值，從而得到拋物

線C的方程和點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(2)由題意可知，直線［的斜率不為0,設(shè)其方程為x=ty+m,設(shè)4(乙，％),B(x2,y2),聯(lián)立直

線I與拋物線方程，由韋達(dá)定理可得y1+y2=2m,%兀=一2葭又MALMB,得kMA-kMB=

f=T即,再代入直線的方程，即可得到直線過定點(diǎn)坐標(biāo).

一十4m十4n=2m+42I

22.(10分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ex,已知直線y=2x+1是曲線y=/(%)的一條切線.

(1)(5分)求a的值，并討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(2)(5分)若/(%i)=f(上)，其中證明：x1-x2>4.

【答案】(1)解：設(shè)直線y=2%+1與曲線y=/(%)相切于點(diǎn)(%。,/(x0))>

???/'(%)=(%+Q+l)e”,?,.f'(%o)=(%。+Q+l)ex°=2；

x

又/(&)=(%o+a)e*°=2x0+1,A2-e0=2xQ+1,即e*。+2x0-1=0；

設(shè)g(x)=靖+2%-1,則g'(x)=e%+2>0,.?.g(x)在R上單調(diào)遞增，

又。(。)=0，0(%)有唯一零點(diǎn)%=0，=0，a+1=2,解得：a=1；

???/(x)=(%+l)ex,/(%)=(x+2)e”，

則當(dāng)工€(—8,—2)時(shí)，f(x)<0；當(dāng)工€(—2,+8)時(shí)，/(%)>0；

???/(%)在(一8,-2)上單調(diào)遞減，在(一2,+8)上單調(diào)遞增.

(2)解：由⑴知：/(%)min=/(-2)=-e-2V0；

當(dāng)工<—1時(shí),/(%)<0：當(dāng)%>—1時(shí),/(%)>0,??.<—2V上<一1；

4

要證》1f2>4,只需證打〈號(hào)<一2；

?."(%)在(-8,—2)上單調(diào)遞減，.??只需證/。1)>/分

又/%)=/。2)，則只需證/。2)>/(為對(duì)任意％2e(-2,—D恒成立；

人2

設(shè)g)=f(x)—/?)(—2<x<-1),

4

x(x)ex3x

"(x)=(x+2)e+8(爹2)e*=-^(xe4+8)；

設(shè)p(x)=x3ex~^+8(-2<%<-1),則p'(x)=xex~x.[(%+1)+彳<o,

p(x)在(一2,一1)上單調(diào)遞減，???p(x)<p(-2)=-8+8=0,

4

又當(dāng)一2<%<-1時(shí)，(x+2)好<0,...?(%)>(),

x3

???h(x)在(一2,-1)上單調(diào)遞增，二/1(%)>八(-2)=/(-2)-/(-2)=0,

即/(x)>脛)在無€(-2,—1)時(shí)恒成立，又久2€(-2,—1),

原不等式得證.

【解析】【分析】(1)設(shè)直線y=2x+l與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)(X。，/(q))，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義和

切線方程可構(gòu)造方程組得到ex。+2與—1=0,設(shè)g(x)=ex+2x-1,利用導(dǎo)數(shù)確定g(x)有唯

一的零點(diǎn)x=0,進(jìn)而得出a的值；代入f(x)后，根據(jù)f(x)的正負(fù)可得單調(diào)區(qū)間；

(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性和f(x)的正負(fù)可確定X1<-2<X2<-1,將所證不等式轉(zhuǎn)化為/(%2)>

/(上)對(duì)任意%26(-2,-D恒成立，設(shè)/i(x)=/(%)—/4)(一2<%<-1),用導(dǎo)數(shù)可求得h(x)的

單調(diào)遞增，得至Uh(x)>h(-2)=0,由此可證得%i?%2>4.

試題分析部分

1、試卷總體分布分析

總分：85分

客觀題（占比）25.0(29.4%)

分值分布

主觀題（占比）60.0(70.6%)

客觀題（占比）13(59.1%)

題量分布

主觀題（占比）9(40.9%)

2、試卷題量分布分析

大題題型題目量（占比）分值（占比）

填空題4(18.2%)5.0(5.9%)

解答題6(27.3%)56.0(65.9%)

多選題4(18.2%)8.0(9.4%)

單選題8(36.4%)16.0(18.8%)

3、試卷難度結(jié)構(gòu)分析

序號(hào)難易度占比

1普通(63.6%)

2容易(31.8%)

3困難(4.5%)

4、試卷知識(shí)點(diǎn)分析

序號(hào)知識(shí)點(diǎn)（認(rèn)知水平）分值（占比）對(duì)應(yīng)題號(hào)

1直線與平面垂直的性質(zhì)10.0(11.8%)19

2函數(shù)的周期性2.0(2.4%)12

3利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值2.0(2.4%)8

4直線與圓的位置關(guān)系2.0(2.4%)10

5