有限元單元位移模式與形函數(shù)

有限元課件單元位移模式與形函數(shù)1第一頁，共六十五頁，2022年，8月28日第1章緒論1.1有限元方法概念及相關(guān)問題1.2彈性平面應(yīng)力或應(yīng)變問題2第二頁，共六十五頁，2022年，8月28日1.1有限元方法概念及相關(guān)問題1.有限元方法概念2.有限元方法的分析步驟3.有限元方法的優(yōu)點(diǎn)與應(yīng)用4.有限元基礎(chǔ)課程的主要教學(xué)內(nèi)容3第三頁，共六十五頁，2022年，8月28日1.有限元方法概念·

結(jié)構(gòu)力學(xué)中的位移法，是桿系結(jié)構(gòu)有限單元法的基礎(chǔ)·

計(jì)算結(jié)構(gòu)力學(xué)中的矩陣位移法，就是桿系結(jié)構(gòu)有限單元法·

彈性力學(xué)有限單元法＝離散連續(xù)介質(zhì)（或廣義離散結(jié)構(gòu)）的矩陣位移法·有限元法，簡單地說，就是用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法求解彈性力學(xué)問題。即首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)方法進(jìn)行求解的一種數(shù)值方法?！?/p>

僅限于討論彈性力學(xué)平面問題的（位移）有限單元法

位移法，力法，混合法

4第四頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.有限元法分析流程或步驟解綜合方程[K]{⊿}={P}求結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移{⊿}計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力和應(yīng)力系統(tǒng)分析(把單元剛度矩陣集合成結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]形成等價(jià)節(jié)點(diǎn)荷載{P})離散（剖分）結(jié)構(gòu)為若干單元單元分析(建立單元剛度矩陣[k]e形成單元等價(jià)節(jié)點(diǎn)力)5第五頁，共六十五頁，2022年，8月28日把連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)舉例。彈性懸臂板的剖分與集合。劃分的單元大小和數(shù)目根據(jù)計(jì)算精度和計(jì)算機(jī)能力來確定?！稹稷佗冖邰堍茛蔻撷?2345678910P576⑤④4

56③345⑥678①②⑦⑧單元、節(jié)點(diǎn)需編號6第六頁，共六十五頁，2022年，8月28日3.有限元法主要優(yōu)點(diǎn)與應(yīng)用（1）物理概念清晰，容易掌握。（離散、插值、能量原理、數(shù)學(xué)分析）（2）適用性強(qiáng)，應(yīng)用范圍廣，幾乎適用于所有連續(xù)體和場問題的分析。（結(jié)構(gòu)、熱、流體、電磁場和聲學(xué)等問題；動與靜；線性與非線性）（3）計(jì)算規(guī)格化（采用矩陣表示），便于計(jì)算機(jī)編程。（4）無需建立和求解偏微分方程。

有限單元法與有限差分法的對比？7第七頁，共六十五頁，2022年，8月28日4.有限元基礎(chǔ)課程的主要教學(xué)內(nèi)容A、有限元分析方法B、有限元程序設(shè)計(jì)C、有限元程序應(yīng)用8第八頁，共六十五頁，2022年，8月28日1.2彈性平面問題1.彈性力學(xué)基本假定2.兩種彈性力學(xué)平面問題3.彈性平面問題基本量及方程的矩陣表示4.邊界（或支撐）條件5.彈性平面問題的經(jīng)典解法9第九頁，共六十五頁，2022年，8月28日1.彈性力學(xué)基本假定●連續(xù)性●完全彈性●均勻性●各向同性以上四條合稱為理想彈性體假定●小變形假定（線性疊加原理適用）10第十頁，共六十五頁，2022年，8月28日2.兩類彈性力學(xué)平面問題●平面應(yīng)力問題●平面應(yīng)變問題11第十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日●平面應(yīng)力問題有限元分析的目的A、獲得單元位移場B、獲得單元應(yīng)變場C、獲得單元應(yīng)力場12第十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日兩種平面問題都是空間問題的近似彈性力學(xué)可分為空間問題和平面問題，嚴(yán)格地說，任何一個彈性體都是空間物體，一般的外力都是空間力系，因而任何實(shí)際問題都是空間問題，都必須考慮所有的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量。但是，如果所考慮的彈性體具有特殊的形狀，并且承受的是特殊外力，就有可能把空間問題簡化為近似的平面問題，只考慮部分的位移分量、應(yīng)變分量和應(yīng)力分量即可。13第十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力問題

厚度為t的很薄的均勻木板。只在邊緣上受到平行于板面且不沿厚度變化的面力，同時(shí)，體力也平行于板面且不沿厚度變化。以薄板的中面為xy面，以垂直于中面的任一直線為Z軸。由于薄板兩表面上沒有垂直和平行于板面的外力，所以板面上各點(diǎn)均有：另外由于平板很薄，外力又不沿厚度變化，可認(rèn)為在整個薄板內(nèi)各點(diǎn)均有：于是，在六個應(yīng)力分量中，只需要研究剩下的平行于XOY平面的三個應(yīng)力分量，即，所以稱為平面應(yīng)力問題。14第十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力問題三維應(yīng)力問題可以簡化為：15第十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力問題的應(yīng)變對應(yīng)的剪應(yīng)變：由物理方程中的第三式可見：不獨(dú)立，在分析問題時(shí)不必考慮。于是應(yīng)變矩陣簡化為：16第十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力問題的物理方程物理方程簡化為：轉(zhuǎn)化成應(yīng)力分量用應(yīng)變分量表示的形式：

17第十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力問題矩陣物理方程矩陣方程表示：它仍然可以簡寫為：彈性矩陣[D]為：

18第十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力問題的幾何方程只有三個應(yīng)變分量需要考慮，所以三維幾何方程簡化為：19第十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力問題彈性體的虛功方程簡化為20第二十頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)變問題

一縱向(即Z向)很長，且沿橫截面不變的物體，受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力和體力，如圖1-11所示。由于物體的縱向很長(在力學(xué)上可近似地作為無限長考慮)，截面尺寸與外力又不沿長度變化；當(dāng)以任一橫截面為xy面，任一縱線為Z軸時(shí)，則所有一切應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都不沿Z方向變化，它們都只是x和y的函數(shù)。此外，在這一情況下，由于對稱(任一橫截面都可以看作對稱面)，所有各點(diǎn)都只會有x和y方向的位移而不會有Z方向的位移，即w=0

因此，這種問題稱為平面位移問題，但習(xí)慣上常稱為平面應(yīng)變問題。21第二十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)變問題的幾何方程既然w=0，且u及v又只是x和y的函數(shù)，由空間問題幾何方程可得。于是矩陣幾何方程簡化為方程22第二十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)變問題的物理方程因?yàn)橛煽臻g物理方程可得又由物理方程1中的第三式可得：在平面應(yīng)變問題中，雖然，但一般并不等于零，不過它可以由及求得，在分析問題時(shí)不必考慮，于是也就只有三個應(yīng)力分量需要考慮。23第二十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)變問題的物理方程物理方程可以簡化為：

24第二十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)變問題物理方程的矩陣表示將(1-25)式用矩陣方程表示：它仍然可以簡寫為：彈性矩陣[D]則為：

25第二十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)變問題的適用條件

需要說明一下，工程中有許多問題很接近于平面應(yīng)變問題，如受內(nèi)壓力的圓管、滾柱軸承中的滾柱等等，但它們的沿Z向長度都不是無限長的。故在靠近兩端的部分，其應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)比較復(fù)雜，并不符合平面應(yīng)變問題的條件；因此將這類問題當(dāng)作平面應(yīng)變問題來考慮時(shí)，對于離開兩端有一定距離的地方，得出的結(jié)果還是相當(dāng)滿意的；但對靠近兩端的部位，卻有較大的出入，往往需要加以處理。

26第二十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日平面應(yīng)力與應(yīng)變問題的彈性矩陣平面應(yīng)力情況下的彈性矩陣平面應(yīng)變情況下的彈性矩陣二者關(guān)系：27第二十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日●平面應(yīng)力問題特定彈性體在特定荷載作用下，如果其應(yīng)力狀態(tài)滿足條件：稱該彈性體處于平面應(yīng)力狀態(tài)，稱相應(yīng)的問題為平面應(yīng)力問題。此時(shí)，28第二十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日●平面應(yīng)變問題特定彈性體在特定荷載作用下，如果其應(yīng)變狀態(tài)滿足條件：稱該彈性體處于平面應(yīng)變狀態(tài)，稱相應(yīng)的問題為平面應(yīng)變問題。此時(shí)，29第二十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日3.彈性平面問題基本量及方程的矩陣表示30第三十頁，共六十五頁，2022年，8月28日第二次課第6章用有限單元法解平面問題6－3位移模式與形函數(shù)（三結(jié)點(diǎn)三角形單元的單元分析）31第三十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日回顧：有限元法分析流程或步驟解綜合方程[K]{⊿}={P}求結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)位移{⊿}計(jì)算結(jié)構(gòu)內(nèi)力和應(yīng)力系統(tǒng)分析(把單元剛度矩陣集合成結(jié)構(gòu)剛度矩陣[K]形成等價(jià)節(jié)點(diǎn)荷載{P})離散（剖分）結(jié)構(gòu)為若干單元單元分析(建立單元剛度矩陣[k]e形成單元等價(jià)節(jié)點(diǎn)力)32第三十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日

單元分析的目的

建立結(jié)點(diǎn)位移與結(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系結(jié)點(diǎn)位移

結(jié)點(diǎn)力

33第三十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日

單元分析取結(jié)點(diǎn)位移作基本未知量。由結(jié)點(diǎn)位移求結(jié)點(diǎn)力：其中，轉(zhuǎn)換矩陣稱為單元剛度矩陣。單元分析的主要目的就是要求出單元剛度矩陣。單元分析的步驟可表示如下：34第三十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日單元分析6－3單元位移模式與形函數(shù)1、單元位移模式概念與相關(guān)問題2、形函數(shù)概念與性質(zhì)3、位移模式與解答的收斂性35第三十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日1、單元位移模式概念與相關(guān)問題1）位移模式概念2）全局位移函數(shù)與局部（單元）位移函數(shù)3）位移模式與單元結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系36第三十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日1、單元位移模式概念與相關(guān)問題1）位移模式概念“位移模式”也稱“位移函數(shù)”，是單元內(nèi)部位移變化的數(shù)學(xué)表達(dá)式，是坐標(biāo)的函數(shù)。

37第三十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日1、單元位移模式概念與相關(guān)問題2）全局位移函數(shù)與局部（單元）位移函數(shù) 一般而論，位移函數(shù)選取會影響甚至嚴(yán)重影響計(jì)算結(jié)果的精度。在彈性力學(xué)中，恰當(dāng)選取全局位移函數(shù)不是一件容易的事情。有限元方法的基本思想是采用有限多個局部位移函數(shù)逼近全局位移函數(shù)。當(dāng)單元劃分得足夠小時(shí)，把單元位移函數(shù)設(shè)定為簡單的多項(xiàng)式就可以獲得相當(dāng)好的精度。這是有限單元法特有的重要優(yōu)勢之一。38第三十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日不同類型單元會有不同的位移函數(shù)。這里，以三結(jié)點(diǎn)三角形單元為例，說明設(shè)定位移函數(shù)的有關(guān)問題。一個三節(jié)點(diǎn)三角形單元，其節(jié)點(diǎn)i、j、m按逆時(shí)針方向排列。每個節(jié)點(diǎn)位移在單元平面內(nèi)有兩個分量：（6-1） 一個三角形單元有3個節(jié)點(diǎn)（以i、j、m為序），共有6個節(jié)點(diǎn)位移分量。其單元位移或單元節(jié)點(diǎn)位移列陣為：ijmuiujumvivjvmxy3）位移模式與單元結(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系39第三十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日本問題選位移函數(shù)（單元中任意一點(diǎn)的位移與節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系）為簡單多項(xiàng)式：(6-3）式中：a1、a2、…、a6——待定常數(shù)，由單元位移的6個分量確定。a1、a4代表剛體位移，a2、a3、a5、a6代表單元中的常應(yīng)變，而且，位移函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。(6-2）ijmuiujumvivjvmxy·uv40第四十頁，共六十五頁，2022年，8月28日待定系數(shù)的確定(6-4）現(xiàn)在，通過單元節(jié)點(diǎn)位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù)a1、a2、…、a6

。設(shè)節(jié)點(diǎn)i、j、m的坐標(biāo)分別為（xi、yi）、（xj、yj

）、（xm、ym

），節(jié)點(diǎn)位移分別為（ui、vi）、（uj、vj）、（um、vm）。將它們代入式（6-3），得式（6-4）(6-3）41第四十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日從式(6-4）左邊3個方程中解出待定系數(shù)a1、a2、a3為(6-5）42第四十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日式中A為三角形單元的面積，有(6-6）

特別指出：為使求得面積的值為正值，本單元節(jié)點(diǎn)號的次序必須是逆時(shí)針轉(zhuǎn)向，如圖所示。至于將哪個節(jié)點(diǎn)作為起始節(jié)點(diǎn)i，則沒有關(guān)系。

將式(6-5）代入式(6-3）的第一式，整理后得同理ijmxy（2）（1）（7）43第四十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日(6-7）式中(6-8）

ijm式中（i、j、m）意指：按i、j、m依次輪換下標(biāo)，可得到aj、bj、cj～am、bm、cm。后面出現(xiàn)類似情況時(shí)，照此推理。式(6-8）表明：aj、bj、cj～am、bm、cm是單元三個節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)。44第四十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日2、形函數(shù)概念與性質(zhì)1）形函數(shù)的概念2）形函數(shù)的確定3）位移函數(shù)與形函數(shù)的關(guān)系4）形函數(shù)的性質(zhì)45第四十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日1）形函數(shù)的概念

形函數(shù)是假定單元結(jié)點(diǎn)位移分量為（0，1）狀態(tài)時(shí)所對應(yīng)的單元位移函數(shù)。

形函數(shù)是用單元節(jié)點(diǎn)位移分量來描述位移函數(shù)的插值函數(shù)。46第四十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日令(6-9）

位移模式(6-7）可以簡寫為(6-10）

式(6-10）中的Ni、Nj、Nm是坐標(biāo)的函數(shù)，反應(yīng)了單元的位移形態(tài)，稱為單元位移函數(shù)的形函數(shù)。數(shù)學(xué)上它反應(yīng)了節(jié)點(diǎn)位移對單元內(nèi)任一點(diǎn)位移的插值，又稱插值函數(shù)。47第四十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日形函數(shù)的行列式表達(dá)

(6-9）

(6-8）

48第四十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日用形函數(shù)把式(6-10）寫成矩陣，有縮寫為(6-11）3）位移函數(shù)與形函數(shù)的關(guān)系49第四十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日[N]為形函數(shù)矩陣，寫成分塊形式：(6-12）其中子矩陣(6-13）[I]是2×2的單位矩陣。50第五十頁，共六十五頁，2022年，8月28日形函數(shù)是有限單元法中的一個重要函數(shù)，它具有以下性質(zhì)：性質(zhì)1

形函數(shù)Ni在節(jié)點(diǎn)i上的值等于1，在其它節(jié)點(diǎn)上的值等于0。對于本單元，有4）形函數(shù)的性質(zhì)51第五十一頁，共六十五頁，2022年，8月28日（i、j、m）性質(zhì)2在單元中任一點(diǎn)，所有形函數(shù)之和等于1。對于本單元，有xyN（i，j，m）Ni=1ijm52第五十二頁，共六十五頁，2022年，8月28日xyN（I，j，m）Ni=1ijmNj=1ijmNm=1ijmNi=1ijmNj=1Nm=1也可利用行列式代數(shù)余子式與某行或列元素乘積的性質(zhì)（等于行列式值或0）證明。53第五十三頁，共六十五頁，2022年，8月28日性質(zhì)3在三角形單元的邊界ij上任一點(diǎn)（x，y），有xxixjxyNi(xi，yi)j(xj，yj)m(xm，ym)Ni(x、y)1證54第五十四頁，共六十五頁，2022年，8月28日性質(zhì)4形函數(shù)在單元上的面積分和在邊界上的線積分公式為

(6-14）式中為邊的長度。在三角形的形心，＝1/3在三角形的ij和im邊的中點(diǎn)，＝1/255第五十五頁，共六十五頁，2022年，8月28日(6-3）ijmuiujumvivjvmxy·uv補(bǔ)充說明：位移函數(shù)與形函數(shù)的推導(dǎo)

形函數(shù)是假定單元結(jié)點(diǎn)位移分量為（0，1）狀態(tài)時(shí)所對應(yīng)的單元位移函數(shù)。56第五十六頁，共六十五頁，2022年，8月28日計(jì)算單元位移函數(shù)舉例

例題：圖示等腰三角形單元，求其形態(tài)矩陣和位移函數(shù)57第五十七頁，共六十五頁，2022年，8月28日計(jì)算單元位移函數(shù)舉例

由三角形的面積58第五十八頁，共六十五頁，2022年，8月28日計(jì)算單元位移函數(shù)舉例

(6-11）舉例驗(yàn)證形函數(shù)性質(zhì)；加權(quán)平均；內(nèi)插59第五十九頁，共六十五頁，2022年，8月28日3、位移模式與解答的收斂性60第六十頁，共六十五頁，2022年，8月28日

（1）位移函數(shù)的個數(shù) 等于單元中任意一點(diǎn)的位移分量個數(shù)。本單元中有u和v，與此相應(yīng)，有2個位移函數(shù)；

（3）位移函數(shù)中待定常數(shù)個數(shù)

待定常數(shù)個數(shù)應(yīng)等于單元節(jié)點(diǎn)自由度總數(shù)，以便用單元節(jié)點(diǎn)位移確定位移函數(shù)中的待定常數(shù)。本單元有6個節(jié)點(diǎn)自由度，兩個位移函數(shù)中共包含6個待定常數(shù)。（2）位移函數(shù)是坐標(biāo)的函數(shù)本單元的坐標(biāo)系為：x、y；61第六十一頁，共六十五頁，2022年，8月