數(shù)學(xué)物理方法 冪級數(shù)展開

數(shù)學(xué)物理方法冪級數(shù)展開第一頁，共九十二頁，2022年，8月28日第三章冪級數(shù)展開第二頁，共九十二頁，2022年，8月28日3學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要目的與要求：掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)、泰勒級數(shù)、與洛朗級數(shù)的概念、性質(zhì)及基本計(jì)算方法、孤立奇點(diǎn)的概念及判定、零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系。重點(diǎn)：難點(diǎn)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)函數(shù)展開成洛朗級數(shù)第三頁，共九十二頁，2022年，8月28日4

無窮級數(shù)：一無窮多個數(shù)構(gòu)成的數(shù)列w1，w2，w3，wn，寫成w1+w2+w3+wn+就稱為無窮級數(shù)。這僅是一種形式上的相加。這種加法是不是具有‘和數(shù)’呢？這個‘和數(shù)’的確切意義是什么？

為什么要研究級數(shù)？

(1)級數(shù)可作為函數(shù)的表達(dá)式，是研究函數(shù)的工具；

(2)常微分方程的級數(shù)解。

研究級數(shù)需關(guān)心的問題：

(1)級數(shù)的斂散性，收斂的定義、條件、判據(jù)；

(2)收斂級數(shù)或一致收斂級數(shù)所具有的性質(zhì)等。第四頁，共九十二頁，2022年，8月28日53.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)(一)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)1定義

設(shè){wn}(n=1,2,…)為一復(fù)數(shù)列,表達(dá)式

的稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其中是復(fù)數(shù)。2部分和級數(shù)前面n項(xiàng)的和

若部分和數(shù)列{sn}(n=1,2,…,)有復(fù)數(shù)極限s即若(3.1)本節(jié)內(nèi)容與實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)類似，只作扼要介紹。第五頁，共九十二頁，2022年，8月28日6說明:

與實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)相同,判別復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性的基本方法是:則稱復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)(3.1)收斂于s,且稱s為(3.1)的和,寫成

若復(fù)數(shù)列{sn}(n=1,2,…,)沒有極限,則稱級數(shù)(3.1)為發(fā)散.第六頁，共九十二頁，2022年，8月28日7的斂散性.0?￥=nnz分析級數(shù)例1第七頁，共九十二頁，2022年，8月28日83.復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的條件證因?yàn)?1)定理

)(

11收斂的充要條件級數(shù)??￥=￥=+=nnnnnivuw

.

11都收斂和??￥=￥=nnnnvu第八頁，共九十二頁，2022年，8月28日9說明

復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂問題實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的審斂問題(定理)

.

11??￥=￥=nnnnvu都收斂和級數(shù)于是第九頁，共九十二頁，2022年，8月28日10(3)絕對收斂定義若收斂，則稱絕對收斂

注1：一個絕對收斂的復(fù)級數(shù)的各項(xiàng)可以任意重排次序,而不改變其絕對收斂性,亦不改變其和.

(2)柯西判據(jù)：對于任一小的正數(shù)

，必存在一

N

使得

n>N

時有式中

p

為任意正整數(shù).注2：級數(shù)絕對收斂的充分必要條件是實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)與都絕對收斂。第十頁，共九十二頁，2022年，8月28日11解所以原級數(shù)發(fā)散.

例1所以原級數(shù)收斂.

注3：兩個絕對收斂級數(shù)的和，積，仍絕對收斂。第十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日12（二）復(fù)變函數(shù)項(xiàng)（簡稱函數(shù)項(xiàng)）級數(shù)：

設(shè)復(fù)變函數(shù)列wk(z)定義在區(qū)域B上，則由wk(z)構(gòu)成的級數(shù)稱函數(shù)項(xiàng)級數(shù)

當(dāng)選定z的一個確定值時，函數(shù)項(xiàng)級數(shù)變成一個復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)。

由于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義在區(qū)域

B(或曲線l)上，所以它的收斂的概念是相對于定義域B(或曲線l)而言的。第十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日13

1.復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的充分必要條件定義：任給ε

>0，存在一個與z無關(guān)的自然數(shù)N(ε)，當(dāng)n>N(ε)時，對B(或l)上所有z，均有：(p為任意自然數(shù))，則稱在B(或l)一致收斂。一致收斂級數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1：若wk(z)在B內(nèi)連續(xù)，函數(shù)級數(shù)在B內(nèi)一致收斂，則和函數(shù)w(z)也是B內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

這個性質(zhì)說明：如果級數(shù)的每一項(xiàng)都是連續(xù)函數(shù)，則一致收斂級數(shù)可以逐項(xiàng)求極限。第十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日14

性質(zhì)2：若級數(shù)在區(qū)域B內(nèi)的分段光滑曲線l上一致收斂，且wk(z)為l上的連續(xù)函數(shù)，則級數(shù)可沿l逐項(xiàng)積分：第十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日15絕對一致收斂這是一種特殊形式的常用函數(shù)項(xiàng)級數(shù)。3.2冪級數(shù)冪級數(shù)：通項(xiàng)為冪函數(shù)的級數(shù):（一）定義第十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日16（二）冪級數(shù)的斂散性

1.阿貝爾定理

如果級數(shù)

在z0點(diǎn)收斂，那么在以a點(diǎn)為圓心，為半徑的圓內(nèi)絕對收斂，而

上一致收斂。

如果級數(shù)在z1點(diǎn)發(fā)散，則在

內(nèi)處處發(fā)散。

由于發(fā)散的冪級數(shù)沒有多大用處，故重點(diǎn)研究冪級數(shù)的斂散性。2.求收斂圓半徑R的公式

絕對收斂是指

收斂，后者為正項(xiàng)級數(shù)，因此可用正項(xiàng)級數(shù)的比值判別法和根式判別法確第十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日17(1)比值判別法引入收斂半徑定收斂半徑

R。絕對收斂發(fā)散絕對收斂發(fā)散則若:級數(shù)的柯西判據(jù),所以絕對收斂.第十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日18所以收斂半徑為注意:冪級數(shù)在收斂圓上的斂散性需具體分析！（2）當(dāng)CRz0·R第十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日19(2)根式判別法發(fā)散所以絕對收斂對應(yīng)級數(shù)絕對收斂則若:第十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日20如果:(極限不存在),4.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)那么設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為?￥=-00)(kkkzza是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù)。(1)?￥=-=0)()(

kkkz0zazw它的和函數(shù)Rz0z<-第二十頁，共九十二頁，2022年，8月28日21(2)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,

)(zw即?òò￥=<-?-=0.,d)(d)(kckkcRz0zczz0zazzw

且可表為連續(xù)函數(shù)的回路積分。第二十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日22

證明:記

CR1上點(diǎn)為，CR1內(nèi)任一點(diǎn)為

z，則圓上的冪級數(shù)可寫為利用柯西公式用有界函數(shù)相乘后，在CR1上一致收斂第二十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日23且冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)可任意逐項(xiàng)求導(dǎo)證明:冪級數(shù)乘以(3)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到,)(zw.)()(11?￥=--=￠kkkz0zkazw即Rz0z<-第二十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日24故收斂半徑例1求冪級數(shù)

的收斂半徑解第二十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日25解例2求

的收斂半徑.第二十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日26例3計(jì)算解:和函數(shù)第二十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日275.冪級數(shù)的運(yùn)算與性質(zhì)在收斂半徑R=min(r1,r2)內(nèi):如果當(dāng)時,又設(shè)在內(nèi)解析且滿足那末當(dāng)時,(2)冪級數(shù)的代換(復(fù)合)運(yùn)算第二十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日28思考思考題答案不一定。冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何斷定?由于在收斂圓周上確定,可以依復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)斂散性討論。思考題答案第二十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日29§3.23.(1)（4）(5）4.(1)(3)本講作業(yè)第二十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日303.3泰勒級數(shù)展開上節(jié)證明了：冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析本節(jié)證明其逆定理：解析函數(shù)可以展開成冪級數(shù)，且這種展開式是唯一的。

——解析函數(shù)與冪級數(shù)的密切關(guān)系其中展開系數(shù)

ak稱為泰勒級數(shù)

如圖：設(shè)

f(z)在區(qū)域Ｂ內(nèi)解析，z0為Ｂ內(nèi)任一點(diǎn)，Ｒ為z0到Ｂ區(qū)邊界的最短距離，則當(dāng)|z–z0|<R

時，

f(z)可展開為泰勒級數(shù)(一)解析函數(shù)的泰勒展開定理CR1為半徑為Ｒ的圓。

BCR1z第三十頁，共九十二頁，2022年，8月28日31證明：

1.設(shè)f(z)在Ｂ內(nèi)解析,在圖示的CR1圓上應(yīng)用柯西公式其中z為圓CR1內(nèi)某一點(diǎn),|z–z0|=r，CR1為包含z的圓，|ζ–z0|=R,(0<r<R)，ζ為CR1上的點(diǎn)。

如圖:.內(nèi)任意點(diǎn).CR1.r第三十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日322.將被積函數(shù)變成級數(shù)利用

將

展開成以z0為中心的級數(shù)

被積函數(shù)寫成：3.將上式沿CR1積分級數(shù)

在CR1上一致收斂

和

f(ζ)在CR1上有界第三十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日33級數(shù)

在

B內(nèi)一致收斂逐項(xiàng)積分于是其中4.展開式是唯一的第三十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日34

若

f(z)能展開成另一種形式：(1)那么當(dāng)z=z0：(2)對z求導(dǎo)：……——展開式唯一第三十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日35

來求

ak

。

由展開式的唯一性，可以用任何方便的辦法來求解一個解析函數(shù)的泰勒展開式，不必一定要用積分表達(dá)式說明：(1)解析函數(shù)與泰勒級數(shù)之間存在密切關(guān)系：

a.冪級數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析；

b.解析函數(shù)可以展開成冪級數(shù)，且這種展開式是唯一的。(2)如果f(z)在B內(nèi)有一階導(dǎo)數(shù)存在，則f(z)可在B內(nèi)每一點(diǎn)的鄰域內(nèi)展開成泰勒級數(shù)。而對于實(shí)變函數(shù)來說，f(x)的一階導(dǎo)數(shù)存在，它的二階或高階導(dǎo)數(shù)可能不存在，因此f(x)就不可能展開成泰勒級數(shù)。第三十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日36;,00級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)時當(dāng)=z

因?yàn)榻馕?，可以保證無限階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;注意：

所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多。說明:第三十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日37(三)將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法:

直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù).

)(

0展開成冪級數(shù)在將函數(shù)zzf例1，故有第三十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日38,

在復(fù)平面內(nèi)處處解析因?yàn)閦e。

￥=R所以級數(shù)的收斂半徑2.間接展開法

:

借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式。間接法的優(yōu)點(diǎn):

不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛。第三十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日39例2.

0

sin

的泰勒展開式在利用間接展開法求=zz第三十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日40附:常見函數(shù)的泰勒展開式第四十頁，共九十二頁，2022年，8月28日41第四十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日42例3解上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),,11)1(12-==+zzz上有一奇點(diǎn)在由于,,1區(qū)域內(nèi)解析即在<z故可在其解析區(qū)域內(nèi)展開成的冪級數(shù)z第四十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日43例4*分析如圖,-1OR=1xy.

1

的冪級數(shù)內(nèi)可以展開成所以它在zz=,

1

,

1

)1ln(

是它的一個奇點(diǎn)平面內(nèi)是解析的向左沿負(fù)實(shí)軸剪開的在從--+z第四十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日44即

將展開式兩端沿

l逐項(xiàng)積分,得解,

0

1

的曲線到內(nèi)從為收斂圓設(shè)zzl<第四十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日453.4解析延拓解析延拓：將解析函數(shù)定義域加以擴(kuò)大

例;冪級數(shù)：在以z=0為圓心的單位圓B內(nèi)代表一個解析函數(shù)，令為級數(shù)的收斂域B即解析函數(shù)定義域半徑R=1

。

在單位圓B內(nèi)，取一點(diǎn)z0=i/2

為圓心進(jìn)行將f1(z)泰勒展開這級數(shù)的收斂域b的半徑為（一）解析延拓第四十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日46

上例說明，收斂域b

跨出原來的收斂域B

之外，而級數(shù)(1)在收斂域B內(nèi).b

代表解析函數(shù)

f2(z)，于是稱f2(z)為f1(z)

在

b內(nèi)的解析延拓。

定義：若f1(z)和f2(z)分別在B,b內(nèi)解析，且在B與b重疊的區(qū)域中有f1(z)=f2(z)，則稱f2(z)為f1(z)在b中的解析延拓，f1(z)為f2(z)在B中的解析延拓。

可以證明，無論采用何種方法，函數(shù)f(z)

的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進(jìn)行解析延拓。Bb第四十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日47首先在B1

內(nèi)任取一點(diǎn)

z0，將f1

(z)在

z0

的鄰域展開成泰勒級數(shù)設(shè)級數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)锽2。如果B2超出了B1的范圍。由于在B1和B2的重疊區(qū)域f1(z)=

f2(z)，所以f2(z)

就是f1(z)

在

B2中的解析延拓。這樣不斷作下去，得到一系列的解析{Bn,fn(z)}

(n=2,3...)。

一個解析元素{Bn,fn(z)}

的全部解析延拓的集合，稱為f1(z)所產(chǎn)生的完全解析函數(shù)F(z)，F(xiàn)(z)的定義域是鄰解析元素給出的定義域的總和。(二)泰勒級數(shù)展開解析延拓的方法第四十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日48§3.3(1)（3）(6）(8)本講作業(yè)第四十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日493.5洛朗級數(shù)展開(一)問題的引入第四十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日50例1.都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.而1,1112<+++++=-zzzzzkLL:10

內(nèi)在圓環(huán)域<<z所以,121LL++++++=-kzzzz即內(nèi)可以展開成冪級數(shù).第五十頁，共九十二頁，2022年，8月28日51[]LL+-++-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-++-=--kzzzz

由此推想，若f(z)在R

2<z-

z0<R1

內(nèi)解析,f(z)可以展開成含有負(fù)冪次項(xiàng)的級數(shù),即內(nèi)，在圓環(huán)域110<-<z第五十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日52

本節(jié)將討論在以z0為中心的圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)的級數(shù)表示法。它是后面將要研究的解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)以及定義留數(shù)數(shù)和計(jì)算留數(shù)的基礎(chǔ)。第五十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日53(二)洛朗級數(shù)定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞的任一正向簡單閉曲線.

,)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=內(nèi)處處解析，在環(huán)形域設(shè)

)(

102RzzRzf<-<內(nèi)可展開成洛朗級數(shù)在那末Bzf

)(

為洛朗系數(shù)..第五十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日54證對于第一個積分(CR1):Bzz0.z...第五十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日55對于第二個積分:所以

因?yàn)?z...第五十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日56則第五十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日57則

對于C為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條正向簡單kkkkkkzzazza-￥=-￥=-+-=??)()(0100.)(0kkkzza-=?￥-￥=閉曲線.可用一個式子表示為:kkaa-與第五十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日58說明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級數(shù).1)2)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一的.定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一般方法.kkkzzazf)()(0-=?￥-￥=第五十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日59(三)函數(shù)的洛朗展開式常用方法:1.直接法2.間接法

1.直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)),2,1,0(d)()(π2110L±±=-=ò+kzfiaCkkzzz然后寫出.)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.2.間接展開法第五十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日60例2解由定理知:,)(kkkzazf?￥-￥==而zzzd)()(π2110ò+-=Ckkzfiazzzdπ213ò+=Ckei目標(biāo)求ak

令f1=eζ,則f1=eζ在閉合回路C內(nèi)和C上均解析，故由解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

zzzdπ2(k+1)!3ò+=Ck1eif(k+1)+=)!1((k+1)kfka1(0)即有

如何計(jì)算ak?.第六十頁，共九十二頁，2022年，8月28日61間接法解：直接展開ezzzzdπ213ò+=Ckkeia022)(dd)!2(1=++ú?ùê?é+=zzkkezk)!2(1+=k?￥-=+=2)!2()(

kkkzzf故第六十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日62例3內(nèi)是處處解析的,試把f(z)

在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解:

)2)(1(1)(

在圓環(huán)域函數(shù)--=zzzf

,

10

)1內(nèi)在<<z間接展開法第六十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日63oxy1=)(

zf所以LL+++++=-nzzzz2111則,1<z由于12<z從而是泰勒級數(shù)第六十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日6412oxy由且仍有

,

21

)2內(nèi)在<<z第六十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日652oxy由此時,

2

)3內(nèi)在￥<<z)(

zf于是第六十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日66仍有,121

<<zz此時)(

zf故注意:奇點(diǎn)但卻不是函數(shù)的奇點(diǎn)

.本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項(xiàng)的第六十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日67說明:1.函數(shù)在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有的負(fù)冪項(xiàng),而且又是這些項(xiàng)的奇點(diǎn),但是可能是函數(shù)的奇點(diǎn),也可能的奇點(diǎn).不是2.給定了函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)以后,函數(shù)在各個不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).第六十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日68解：間接法即通過展開sinz為級數(shù)求解：例4.

0

sin

0洛朗級數(shù)的去心鄰域內(nèi)展開成在將函數(shù)=zzz第六十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日693.6孤立奇點(diǎn)的分類定義：若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處不解析（或沒有定義），但在點(diǎn)z0的某個空心鄰域內(nèi)解析，則稱點(diǎn)z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)。(一)孤立奇點(diǎn)的概念例1z=0是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).注意:

孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn),但奇點(diǎn)不一定是孤立奇點(diǎn).第六十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日70例2

指出函數(shù)在點(diǎn)的奇點(diǎn)特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),

的奇點(diǎn)存在,

函數(shù)的奇點(diǎn)是1/z=0和sin(1/z)=0對應(yīng)的點(diǎn)，即總有不是孤立奇點(diǎn).所以，因?yàn)?1lim=p￥?kk第七十頁，共九十二頁，2022年，8月28日71

定義

設(shè)z0是解析函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)，f(z)在點(diǎn)z0的某去心鄰域

內(nèi)的羅朗展式為

(1)若展式中不含有z-z0的負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0為f(z)的可去奇點(diǎn)；

(2)若展式中只含有z-z0的有限(m)項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0是f(z)的極點(diǎn)，稱m為極點(diǎn)z0的階，按照m=1或m＞1，稱z0是f(z)的單極點(diǎn)或m階的極點(diǎn)；

(3)若展式中含有z-z0的無窮多個負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0為f(z)的本性奇點(diǎn)。(二)孤立奇點(diǎn)的分類第七十一頁，共九十二頁，2022年，8月28日72其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定義,補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析.1．可去奇點(diǎn)如果洛朗級數(shù)中不含的負(fù)冪項(xiàng),那末孤立奇點(diǎn)稱為的可去奇點(diǎn).1)定義,)(0的孤立奇點(diǎn)若是zfz.)()()(0010LL+-++-+=kkzzazzaazf,)(00azf=?íì=1=000,,)()(zzazzzFzf第七十二頁，共九十二頁，2022年，8月28日732)可去奇點(diǎn)的判定(1)定義判斷:的洛朗級數(shù)無負(fù)在如果冪項(xiàng)則為的可去奇點(diǎn).(2)

極限判斷若極限存在且為有限值,則為的可去奇點(diǎn).如果補(bǔ)充定義:時,那末在解析.例3中不含負(fù)冪項(xiàng),是的可去奇點(diǎn).第七十三頁，共九十二頁，2022年，8月28日74例4

說明為的可去奇點(diǎn).解由定義判斷所以為的可去奇點(diǎn).無負(fù)冪項(xiàng)極限判斷的可去奇點(diǎn).為第七十四頁，共九十二頁，2022年，8月28日752.極點(diǎn)

其中關(guān)于的最高冪為即級極點(diǎn).那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)的或?qū)懗?)定義

如果洛朗級數(shù)中只有有限多個的負(fù)冪項(xiàng),1012020)()()()(-------+-++-=zzazzazzazfmmLL+-++)(010zzaa)0,1(13-mam第七十五頁，共九十二頁，2022年，8月28日76說明:1.2.特點(diǎn):(1)(2)的極點(diǎn),則為函數(shù)如果例5有理分式函數(shù)是二級極點(diǎn),是一級極點(diǎn).L+-+-+=+-+--20201)()()(zzazzaazgmmm內(nèi)是解析函數(shù)在d<-0zz第七十六頁，共九十二頁，2022年，8月28日772)極點(diǎn)的判定方法的負(fù)冪項(xiàng)為有的洛朗展開式中含有限項(xiàng).在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)其中在的鄰域內(nèi)解析,且(1)定義判別(2)定義的等價形式判別(3)極限判斷.第七十七頁，共九十二頁，2022年，8月28日78本性奇點(diǎn)3.如果洛朗級數(shù)中含有無窮多個那末孤立奇點(diǎn)稱為的本性奇點(diǎn).的負(fù)冪項(xiàng),例如，含有無窮多個z的負(fù)冪項(xiàng)特點(diǎn):

在本性奇點(diǎn)的鄰域內(nèi)不存在且不為同時不存在.為本性奇點(diǎn)，所以0=z第七十八頁，共九十二頁，2022年，8月28日79(三)函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的性態(tài)1.定義如果函數(shù)在無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域內(nèi)解析,則稱點(diǎn)為的孤立奇點(diǎn).Rxyo第七十九頁，共九十二頁，2022年，8月28日80作變換并且規(guī)定此變換將:映射為擴(kuò)充z平面擴(kuò)充

t平面映射為映射為映射為第八十頁，共九十二頁，2022年，8月28日812