考點(diǎn)30中考數(shù)字?jǐn)?shù)式圖形規(guī)律問題(原卷版)

考點(diǎn)（特色）30：中考數(shù)字、數(shù)式、圖形規(guī)律問題重要考點(diǎn)知識(shí)解讀一、概述規(guī)律探索型問題也是歸納猜想型問題，其特點(diǎn)是：給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊(yùn)含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論．類型有“數(shù)列規(guī)律”“計(jì)算規(guī)律”“圖形規(guī)律”與“動(dòng)態(tài)規(guī)律”等題型．1．?dāng)?shù)字猜想型：數(shù)字規(guī)律問題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過適當(dāng)?shù)挠?jì)算回答問題．2．?dāng)?shù)式規(guī)律型：數(shù)式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗(yàn)證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容．3．圖形規(guī)律型：圖形規(guī)律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點(diǎn)，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)的算式描述其中的規(guī)律，要注意對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合．4．?dāng)?shù)形結(jié)合猜想型：數(shù)形結(jié)合猜想型問題首先要觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式反映出來，從而得出圖形與數(shù)或式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合總結(jié)出圖形的變化規(guī)律，進(jìn)而解決相關(guān)問題．二、數(shù)字推理規(guī)律方法

數(shù)字推理題難度較大，但并非無規(guī)律可循，了解和掌握一定的方法和技巧對(duì)解答數(shù)字推理問題大有幫助。

1.快速掃描已給出的幾個(gè)數(shù)字，仔細(xì)觀察和分析各數(shù)之間的關(guān)系，尤其是前三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，大膽提出假設(shè)，并迅速將這種假設(shè)延伸到下面的數(shù)，如果能得到驗(yàn)證，即說明找出規(guī)律，問題即迎刃而解；如果假設(shè)被否定，立即改變思考角度，提出另外一種假設(shè)，直到找出規(guī)律為止。

2.推導(dǎo)規(guī)律時(shí)往往需要簡單計(jì)算，為節(jié)省時(shí)間，要盡量多用心算，少用筆算或不用筆算。

3.空缺項(xiàng)在最后的，從前往后推導(dǎo)規(guī)律；空缺項(xiàng)在最前面的，則從后往前尋找規(guī)律；空缺項(xiàng)在中間的可以兩邊同時(shí)推導(dǎo)。4.熟記各種數(shù)字的運(yùn)算關(guān)系。如各種數(shù)字的平方、立方以及它們的鄰居，做到看到某個(gè)數(shù)字就有感覺。這是迅速準(zhǔn)確解好數(shù)字推理題材的前提。常見的需記住的數(shù)字關(guān)系如下：（1）平方關(guān)系：記憶1、2、3、4……25的平方后數(shù)值（2）立方關(guān)系:記憶1、2、3、4……10的立方后數(shù)值比如：2-8,3-27,4-64,5-125,6-216,7-343,8-512,9-729,10-1000

（3）質(zhì)數(shù)關(guān)系:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29......

（4）開方關(guān)系:記憶4、9、16、25、36、49、64、81、100的開平后數(shù)值。三、圖形規(guī)律思維方法圖形規(guī)律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點(diǎn)，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)的算式描述其中的規(guī)律，注意對(duì)應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合．首先要觀察圖形，從中發(fā)現(xiàn)圖形的變化方式，再將圖形的變化以數(shù)或式的形式反映出來，從而得出圖形與數(shù)或式的對(duì)應(yīng)關(guān)系．要將圖形每一次的變化與前一次變化進(jìn)行比較，明確哪些結(jié)果發(fā)生了變化，哪些結(jié)果沒有發(fā)生變化，從而逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律．解決規(guī)律探索型問題的策略是：通過對(duì)所給的一組（或一串）式子及結(jié)論，進(jìn)行全面細(xì)致地觀察、分析、比較，從中發(fā)現(xiàn)其變化規(guī)律，并由此猜想出一般性的結(jié)論，然后再給出合理的證明或加以應(yīng)用.四、解題步驟方法規(guī)律探索問題的解題方法一般是通過觀察、類比特殊情況(特殊點(diǎn)、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等)中數(shù)據(jù)特點(diǎn)，將數(shù)據(jù)進(jìn)行分解重組、猜想、歸納得出規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)這種規(guī)律，同時(shí)要用結(jié)論去檢驗(yàn)特殊情況，以肯定結(jié)論的正確．第一步：審題，仔細(xì)觀察圖形并找到相應(yīng)的規(guī)律；第二步：化形為數(shù)，相當(dāng)于找出數(shù)列的前若干項(xiàng)；第三步：考察相鄰兩項(xiàng)的差異，再根據(jù)這些項(xiàng)或項(xiàng)中某些部分(如分子、分母，整數(shù)、分?jǐn)?shù)等)構(gòu)成何種數(shù)列；第四步：按題中要求寫出某一項(xiàng)的結(jié)果或某些項(xiàng)的和．能找到前三項(xiàng)，就能求出任一項(xiàng)；另外，有些圖形或數(shù)的出現(xiàn)是循環(huán)出現(xiàn)或按某種規(guī)律反復(fù)出現(xiàn)等，就需要具體問題具體分析了；第五步：反思回顧，查看關(guān)鍵點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)，完善解題步驟．中考典例解析【例題1】（2021山東濟(jì)寧）按規(guī)律排列的一組數(shù)據(jù)：，，□，，，，…，其中□內(nèi)應(yīng)填的數(shù)是（）A． B． C． D．【例題2】（2021云南）按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，第n個(gè)單項(xiàng)式是（）A．n2an+l B．n2an﹣1 C．nnan+1 D．（n+1）2an【例題3】（2022新疆模擬）探索n×n的正方形釘子板上(n是釘子板上每邊的釘子數(shù))，連接任意兩個(gè)釘子所得到的不同長度值的線段種數(shù)：當(dāng)n＝2時(shí)，釘子板上所連不同線段的長度值只有1與eq\r(2)，所以不同長度值的線段只有二種，若用S表示不同長度值的線段種數(shù)，則S＝2；當(dāng)n＝3時(shí)，釘子板上所連不同線段的長度值有1，eq\r(2)，2，eq\r(5)，2eq\r(2)五種，比n＝2時(shí)增加了三種，即S＝2＋3＝5.（1）觀察下圖，并填寫下表：釘子數(shù)(n×n)S值2×223×32＋34×42＋3＋()5×5()(2)寫出(n－1)×(n－1)和n×n的兩個(gè)釘子板上，不同長度值的線段種數(shù)之間的關(guān)系；(用式子或語言表述均可)(3)對(duì)n×n的釘子板，寫出用n表示S的代數(shù)式．【例題4】（2021湖南懷化）觀察等式：2+22＝23﹣2，2+22+23＝24﹣2，2+22+23+24＝25﹣2，…，已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：2100，2101，2102，…，2199，若2100＝m，用含m的代數(shù)式表示這組數(shù)的和是．【例題5】（2021內(nèi)蒙古鄂爾多斯）將一些相同的“〇”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個(gè)“龜圖”的“〇”的個(gè)數(shù)，則第30個(gè)“龜圖”中有個(gè)“〇”．【例題6】（2021山東泰安）如圖，點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，過點(diǎn)B1作B1A1⊥l，交x軸于點(diǎn)A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長B2C1交x軸于點(diǎn)A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長B3C2交x軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3，延長B4C3交x軸于點(diǎn)A4；…；照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，則第n個(gè)正方形AnBnBn+1?n的邊長為（結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）．【例題7】（2022哈爾濱模擬）閱讀下列材料：小明為了計(jì)算1+2+22+…+22017+22018的值，采用以下方法：設(shè)S＝1+2+22+…+22017+22018①則2S＝2+22+…+22018+22019②②﹣①得2S﹣S＝S＝22019﹣1∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1請(qǐng)仿照小明的方法解決以下問題：（1）1+2+22+…+29＝；（2）3+32+…+310＝；（3）求1+a+a2+…+an的和（a＞0，n是正整數(shù)，請(qǐng)寫出計(jì)算過程）．考點(diǎn)問題綜合訓(xùn)練一、選擇題1．（2021廣西玉林）觀察下列樹枝分杈的規(guī)律圖，若第n個(gè)圖樹枝數(shù)用Yn表示，則Y9﹣Y4＝（）A．15×24 B．31×24 C．33×24 D．63×242．（2021湖北鄂州）已知a1為實(shí)數(shù)，規(guī)定運(yùn)算：a2＝1﹣，a3＝1﹣，a4＝1﹣，a5＝1﹣，…，an＝1﹣．按上述方法計(jì)算：當(dāng)a1＝3時(shí)，a2021的值等于（）A．﹣ B． C．﹣ D．3.（2022湖北荊門模擬）已知：順次連接矩形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)菱形，如圖①；再順次連接菱形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)新的矩形，如圖②；然后順次連接新的矩形各邊的中點(diǎn)，得到一個(gè)新的菱形，如圖③；如此反復(fù)操作下去，則第2012個(gè)圖形中直角三角形的個(gè)數(shù)有（）A．8048個(gè)B．4024個(gè)C．2012個(gè)D．1066個(gè)4．（2022陜西模擬）在公園內(nèi)，牡丹按正方形種植，在它的周圍種植芍藥，如圖反映了牡丹的列數(shù)(n)和芍藥的數(shù)量規(guī)律，那么當(dāng)n＝11時(shí)，芍藥的數(shù)量為（） A．84株 B．88株 C．92株 D．121株5.（2020湖北十堰）根據(jù)圖中數(shù)字的規(guī)律，若第n個(gè)圖中出現(xiàn)數(shù)字396，則（）

A.17 B.18 C.19 D.206.（2020湖北武漢）下列圖中所有小正方形都是全等的．圖（1）是一張由4個(gè)小正方形組成的“”形紙片，圖（2）是一張由6個(gè)小正方形組成的方格紙片．把“”形紙片放置在圖（2）中，使它恰好蓋住其中的4個(gè)小正方形，共有如圖（3）中的4種不同放置方法，圖（4）是一張由36個(gè)小正方形組成的方格紙片，將“”形紙片放置在圖（4）中，使它恰好蓋住其中的4個(gè)小正方形，共有種不同放置方法，則的值是（）A.160 B.128 C.80 D.48二、填空題1.（2022年南京模擬）用黑白兩種顏色的正方形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成一列圖案：（1）第4個(gè)圖案中有白色紙片__________張；（2）第n個(gè)圖案中有白色紙片__________張．2．（2021浙江嘉興）觀察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此規(guī)律，則第n個(gè)等式為2n﹣1＝．3．（2021四川眉山）觀察下列等式：x1＝＝＝1+；x2＝＝＝1+；x3＝＝＝1+；…根據(jù)以上規(guī)律，計(jì)算x1+x2+x3+…+x2020﹣2021＝．4．（2021山東菏澤）如圖，一次函數(shù)y＝x與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OA，交x軸于點(diǎn)B；作BA1∥OA，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)A1；過點(diǎn)A1作A1B1⊥A1B交x軸于點(diǎn)B；再作B1A2∥BA1，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)A2，依次進(jìn)行下去，…，則點(diǎn)A2021的橫坐標(biāo)為．5．（2021湖北荊門）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2021是表中第行第列．6．（2021貴州銅仁）觀察下列各項(xiàng)：1，2，3，4，…，則第n項(xiàng)是．7．（2021黑龍江鶴崗）如圖，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝1，延長CD至A1，使DA1＝CD，以A1C為一邊，在BC的延長線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1；再延長C1D1至A2，使D1A2＝C1D1，以A2C1為一邊，在CC1的延長線上作菱形A2C1C2D2，連接A1A2，得到△A1D1A2…按此規(guī)律，得到△A2020D2020A2021，記△ADA1的面積為S1，△A1D1A2的面積為S2…，△A2020D2020A2021的面積為S2021，則S2021＝．8．（2021黑牡雞）如圖，正方形A0B0C0A1的邊長為1，正方形A1B1C1A2的邊長為2，正方形A2B2C2A3的邊長為4，正方形A3B3C3A4的邊長為8…依次規(guī)律繼續(xù)作正方形AnBn?nAn+1，且點(diǎn)A0，A1，A2，A3，…，An+1在同一條直線上，連接A0C1交，A1B1于點(diǎn)D1，連接A1C2，交A2B2于點(diǎn)D2，連接A2C3，交A3B3于點(diǎn)D3，…記四邊形A0B0C0D1的面積為S1，四邊形A1B1C1D2的面積為S2，四邊形A2B2C2D3的面積為S3，…，四邊形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面積為Sn，則S2021＝．9.（2021齊齊哈爾）如圖，拋物線的解析式為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，連接：過A1作，分別交y軸、拋物線于點(diǎn)、：過作，分別交y軸、拋物線于點(diǎn)、；過作，分別交y軸、拋物線于點(diǎn)、…：按照如此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)（n為正整數(shù)）的坐標(biāo)是_________．10.（2021黑龍江綏化）下面各圖形是由大小相同的三角形擺放而成的，圖①中有1個(gè)三角形，圖②中有5個(gè)三角形，圖③中有11個(gè)三角形，圖④中有19個(gè)三角形…，依此規(guī)律，則第個(gè)圖形中三角形個(gè)數(shù)是_______．11．（2021湖北恩施州）古希臘數(shù)學(xué)家定義了五邊形數(shù)，如下表所示，將點(diǎn)按照表中方式排列成五邊形點(diǎn)陣，圖形中的點(diǎn)的個(gè)數(shù)即五邊形數(shù)；圖形…五邊形數(shù)1512223551…將五邊形數(shù)1，5，12，22，35，51，…，排成如下數(shù)表；觀察這個(gè)數(shù)表，則這個(gè)數(shù)表中的第八行從左至右第2個(gè)數(shù)為．12．（2021山東東營）如圖，正方形ABCB1中，AB＝，AB與直線l所夾銳角為60°，延長CB1交直線l于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1B2，延長C1B2交直線l于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2B3，延長C2B3交直線l于點(diǎn)A3，作正方形A3B3C3B4…，依此規(guī)律，則線段A2020A2021＝．13.（2022福建模擬）如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個(gè)圖由1個(gè)圓組成，第2個(gè)圖由7個(gè)圓組成，第3個(gè)圖由19個(gè)圓組成，…，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第9個(gè)圖形由________個(gè)圓組成．14．（2019?廣安）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（1，0），以O(shè)A1為直角邊作Rt△OA1A2，并使∠A1OA2=60°，再以O(shè)A2為直角邊作Rt△OA2A3，并使∠A2OA3=60°，再以O(shè)A3為直角邊作Rt△OA3A4，并使∠A3OA4=60°……按此規(guī)律進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為__________．15．（2022江蘇連云港模擬）如圖，點(diǎn)B1在直線l：y＝x上，點(diǎn)B1的橫坐標(biāo)為2，過B1作B1A1⊥1，交x軸于點(diǎn)A1，以A1B1為邊，向右作正方形A1B1B2C1，延長B2C1交x軸于點(diǎn)A2；以A2B2為邊，向右作正方形A2B2B3C2，延長B3C2交x軸于點(diǎn)A3；以A3B3為邊，向右作正方形A3B3B4C3延長B4C3交x軸于點(diǎn)A4；…；按照這個(gè)規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)?n的橫坐標(biāo)為（結(jié)果用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）16.（2020湖北天門）如圖，已知直線，直線和點(diǎn)，過點(diǎn)作y軸的平行線交直線a于點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的平行線交直線b于點(diǎn)，過點(diǎn)作y軸的平行線交直線a于點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的平行線交直線b于點(diǎn)，…，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為____．17.（2020貴州黔西南）如圖圖形都是由同樣大小的菱形按照一定規(guī)律所組成的，其中第①個(gè)圖形中一共有3個(gè)菱形，第②個(gè)圖形中一共有7個(gè)菱形，第③個(gè)圖形中一共有13個(gè)菱形，…，按此規(guī)律排列下去，第⑦個(gè)圖形中菱形的個(gè)數(shù)為________．18．（2022齊齊哈爾模擬）如圖，直線l：y＝x+1分別交x軸、y軸于點(diǎn)A和點(diǎn)A1，過點(diǎn)A1作A1B1⊥l，交x軸于點(diǎn)B1，過點(diǎn)B1作B1A2⊥x軸，交直線l于點(diǎn)A2；過點(diǎn)A2作A2B2⊥l，交x軸于點(diǎn)B2，過點(diǎn)B2作B2A3⊥x軸，交直線l于點(diǎn)A3，依此規(guī)律…，若圖中陰影△A1OB1的面積為S1，陰影△A2B1B2的面積為S2，陰影△A3B2B3的面積為S3…，則Sn＝．19.（2020湖北恩施州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為：，，．已知，作點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，…，依此類推，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______．20．（2020?齊齊哈爾）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形①沿x軸正半軸滾動(dòng)并且按一定規(guī)律變換，每次變換后得到的圖形仍是等腰直角三角形．第一次滾動(dòng)后點(diǎn)A1（0，2）變換到點(diǎn)A2（6，0），得到等腰直角三角形②；第二次滾動(dòng)后點(diǎn)A2變換到點(diǎn)A3（6，0），得到等腰直角三角形③；第三次滾動(dòng)后點(diǎn)A3變換到點(diǎn)A4（10，4），得到等腰直角三角形④；第四次滾動(dòng)后點(diǎn)A4變換到點(diǎn)A5（10+12，0），得到等腰直角三角形⑤；依此規(guī)律…，則第2020個(gè)等腰直角三角形的面積是．21.（2022衢州模擬）如圖，由兩個(gè)長為2，寬為1的長方形組成“7”字圖形。（1）將一個(gè)“7”字圖形按如圖擺放在平面直角坐標(biāo)系中，記為“7”字圖形ABCDEF，其中頂點(diǎn)A位于x軸上，頂點(diǎn)B，D位于y軸上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的值為____________.（2）在（1）的基礎(chǔ)上，繼續(xù)擺放第二個(gè)“7“字圖形得頂點(diǎn)F1，擺放第三個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)F2.依此類推，……擺放第n個(gè)“7”字圖形得頂點(diǎn)Fn-1……則頂點(diǎn)F2019的坐標(biāo)為_____.22．（2022山東濟(jì)南模擬）如圖，直線l：y＝﹣x﹣與x軸交于點(diǎn)B1，以O(shè)B1為邊向上作等邊△AOB1過點(diǎn)A1作A1B2平行于x軸，交直線1于點(diǎn)B2以A1B2為邊向上作等邊△A2A1B2，過點(diǎn)A2作A2B3平行于x軸，交直線l于點(diǎn)B3，以A2B3為邊向上作等邊△A3A2B3，…，則An的坐標(biāo)是（用含正整數(shù)n的代數(shù)式表示）三、解答題1．（2022濟(jì)寧模擬）觀察下面的變形規(guī)律：=1﹣；=﹣；=﹣；…解答下面的問題：（1）若n為正整數(shù)，請(qǐng)你猜想=；（2）證明你猜想的結(jié)論；（3）求和：+++…+．2．（2022蘇州模擬）有若干個(gè)數(shù)，第1個(gè)數(shù)記為a1，第2個(gè)數(shù)記為a2，第3個(gè)數(shù)記為a3，…第n個(gè)數(shù)記為an，若a1=﹣，從第二個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于1與前面那個(gè)數(shù)的差的倒數(shù)．（1）分別求出a2，a3，a4的值；（2）計(jì)算a1+a2+