2022年研究生考試數(shù)學二302預測卷4套合集和答案解析

2022年全國碩士研究生招生考試

數(shù)學（二）預測卷（一）

（科目代碼：302）

考生注意事項

1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生編號和考生姓名；在答題卡指

定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考生編號信息點。

2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答案必須書

寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿

紙、試題冊上答題無效。

3.填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫

部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

（以下信息考生必須認真填寫）

考生編號

考生姓名

一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是

最符合題目要求的.

1.設/(sin%)=~-r，當①f0，時

IsinxI

A./(力與1為等價無窮小量.B.八工)與x為同階非等價無窮小量.

C./(J-)為比工高階的無窮小量.D./(x)為比了低階的無窮小量.

2.設函數(shù)/(工)可導,y=/(73).當自變量r在z=-1處取得增量=-0.1時.相應的

函數(shù)增量的線性主部為0.3,則/(—I)=

A.—1.B.0.1.C.1.D.0.3.

3.設函數(shù)/(/)在［0,1］上具有連續(xù)導數(shù)，且/(0)=0,max|/'(7)|=M,則

B.|[仆)同》和.

A.

C.(工)dr|WM.D.M&|「/(_r)dr&2M.

4.下列反常積分發(fā)散的是

A.廣曰*

C.「為口也

J。右1

(x2+y2)sin2[―j.w?+1/#0,

5.函數(shù)/(工,“=在點(0,0)處

0,x2+y=0

A.不連續(xù).B.連續(xù)但偏導數(shù)不存在.

C.可微.D.偏導數(shù)存在但不可微.

6.將雙紐線(f+y)2=22(3-2-/)圍成的平面區(qū)域記為D,則二重積分+/)匕=

D

A.7t.B.27t.C.37r.D.47r.

7.設a均為常數(shù),則微分方程d'+4?=1+cos2工的特解可設為

A.ar+/?+Arcos2x.

B.s+。+Asin2JC.

C.ar+〃+Acos2x+Bsin2/).

D.x^ajc+〃+Acos2JC+Bsin2z).

8.設A為mX"矩陣，且A的秩為廠，則下列命題中正確的是

A.r=n時，方程組Ar=8有解.

B.r=m時，方程組Ar=b有解.

C.r=m時，方程組Ax=0有非零解.

D.r=n時?方程組Ar=0有非零解.

9.設A.5均為5階非零矩陣,且滿足AB=O,下列命題中正確的是

A.若矩陣B有1階非零子式,則r(A)=4.

數(shù)學(二)預測卷(一)試題第1頁(共3頁)

B.若矩陣3有2階非零子式，則廠（A）=3.

C.若矩陣3有3階非零子式?則NA）=2.

D.若矩陣B有4階非零子式，則廠（A）=1.

10.二次型/'（不，工2，73）=（力+J,2）2+（/2—①3產(chǎn)+（為+/3）2的規(guī)范形為

A.zi+忌.B.z\+zl+zf.

C.Z]—Z2.D?-Z1—22?

二、填空題：11?16小題,每小題5分，共30分.

11./（x）=『cosd出在［0,1］上的平均值為

12.由曲線y=口^-j和直線z=0,2=中,y=0所圍成圖形的面積為______.

1+sinx2

13.已知（ary3一丁2cosx）dr+（1+6ysinx+372y2）dy是某函數(shù)的全微分，則a,b的取值

分別為.

14.曲線y=/（x）=（z+?sin@的漸近線的條數(shù)為.

15.一水平橫放的圓柱形油桶，設F1為桶內(nèi)盛半桶油時桶的一個端面所受的側(cè)壓力,B為桶

內(nèi)盛滿油時桶的一個端面所受的側(cè)壓力，則今=.

XX1

1X11

16./(x)=中/的系數(shù)為

11X

111l-2z

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本題滿分10分）

設/〃=1sin（a+/"）dn=1,2,…，其中a為實數(shù)，證明：lim/rt=sina.

18.（本題滿分12分）

設函數(shù)y=滿足=J-=Sx+。（Ar）,且y（1）=1,計算［>（x）dr.

V2x~x2J1

19.（本題滿分12分）

計算lim*S----------',一

SM（n2+i2Vn2+j2

20.（本題滿分12分）

已知z=在Z>0時有二階連續(xù)導數(shù),且滿足痣+零=0.求/（u）的表達式.

21.（本題滿分12分）

一容器內(nèi)表面是由曲線>=〃（0&工42,單位:m）繞>軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的曲面.現(xiàn)

以1m'/min的速率注入某液體.求：

數(shù)學（二）預測卷（一）試題第2頁（共3頁）

（D容器的體積；

（2）當液面升高到1m時液面上升的速率.

22.（本題滿分12分）

設A為3階矩陣,a為3維列向量，且A2a手O.Aa=0.

（1）證明向量組a，4a.A2a線性無關；

⑵若P=（a,4a.A%）,計算PAP；

（3）判斷矩陣A能否相似對角化,并說明理由.

2022年全國碩士研究生招生考試

數(shù)學（二）預測卷（二）

（科目代碼：302）

考生注意事項

1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生編號和考生姓名；在答題卡指

定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考生編號信息點。

2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答案必須書

寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿

紙、試題冊上答題無效。

3.填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫

部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

（以下信息考生必須認真填寫）

考生編號

考生姓名

一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是

最符合題目要求的.

1.函數(shù)/(①)=lim［信)+(今)+z"］在(0,+8)內(nèi)

A.處處連續(xù)但有一個不可導點.B.處處連續(xù)且可導.

C.處處連續(xù)但有兩個不可導點.D.有一個不連續(xù)點.

2.若當7~0時,/(z)=f，(eM,-es'",)d/^a^是等價無窮小，則常數(shù)a#的值分別為

J0

A.《,3.B.《,3.C.!,4.D.5,4.

0Lo4

3.設二階可導函數(shù)/(①)滿足/(-1)=/(1)=0,/(0)=1,且/'(為<0,則

A.j/(x)dr>1.B.J/(jr)dr<1.

cJ；/(j')cLr=J/(x)cLz\D.J/(j-)cLrJ/(x)dr.

4.設函數(shù)/("在7=0處可導，且lim八也)[-2zfCr)=2,則/⑹=

X-*Ox

A.-1.B.—C.0.D.1.

5.設函數(shù)fCr)在點z=0的某一鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導數(shù)，且lim叢力=0,

?T-*OX

所山土位=］,則

L0X

A./(0)是函數(shù)/Cr)的極大值.

B../(0)是函數(shù)/(丁)的極小值.

C.(0,/(0))是曲線>=/(J-)的拐點.

D./(0)不是函數(shù)義工)的極值,(0,7?函數(shù)也不是曲線y=/(x)的拐點.

設人=尸一叫+了)也/

6.0。一/(1+7)"'則

J0X

A./,</2<1.B.1</,<I2.

C./!<1<I2.D.72<1</).

7.設/(z)為連續(xù)函數(shù),F(力=J：dyj》(z)dLr,則尸'⑺=

A./(/),

C.-f(t).D.—f(.—z).

8.設3維列向量組內(nèi)，a?線性無關,az，也線性無關，而如，03線性相關，且%則下

列向量組中一定線性無關的是

A.a,+a2-a?+a.i.a：t-ai.B.a,.ai-a：-ai+a2as.

C.ai-a>.a,+a(.D.a-a>.a:!+a：i.

9.設4是正定矩陣,P是初等矩陣,則非齊次線性方程組PAPx=b

A.無解.B.有唯一解.

教學(二)預測卷(二)試題第1頁(共3頁)

C.有無窮多解.D.不能確定是否有解.

10.設A,3,C都是2階矩陣,AB=BC,若A有一個特征值為3,3的兩個特征值為2,—2,則

矩陣C有一個特征值為

A.-2.B.2.C.一3.D.3.

二、填空題：H?16小題，每小題5分，共30分.

ii.設/（了）=，久一】則r（i）=.

Ie,z=1,

12.設y=其中函數(shù)/Cr）具有二階導數(shù),且lim小二=4,則宴|

'JCIA/^~*0JCCl?*|]

13.定積分（后三口水工++的值為.

14.若函數(shù)/（T,>）=工3+?3+C在約束條件72+2/=9下的最小值為1,則常

數(shù)C=.

15.設函數(shù)u=及u=具有一階偏導數(shù)，函數(shù)z=f（u,v）具有二階連續(xù)偏

[2,

導數(shù),且dz=（y/：+2z/：）dr+（z?—2y/：）dy,則方^,=.

16.設向量a=（1,0,-l）,A=a「a,若矩陣A的特征多項式為fGD,則微分方程，'-y=

/<x）的通解為.

三、解答題：17?22小題，共7（）分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本題滿分10分）

設/（1）=（1+1）（7>0）,求lim當；---.

18.（本題滿分12分）

設定義在（-8,+8）上的連續(xù)函數(shù)八外滿足方程/Cr）+「U（f）d，=2,求：

J0

（1）函數(shù)八公的解析式；

（2）曲線y=/Cr）的凹、凸區(qū)間與拐點.

19.（本題滿分12分）

設D=｛（z,y）|1（f<2工〉,求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）平面圖形。繞.y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

20.（本題滿分12分）

計算二次積分Jridr1（?（x2+y2'）dy.

數(shù)學（二）預測卷（二）試題第2頁（共3頁）

21.（本題滿分12分）

設函數(shù)/（x）在閉區(qū)間［a,切上連續(xù)，且|f（x）|<=0.證明：

11x/（x）dr〈竽（6—a）.

22.（本題滿分12分）

已知實二次型，（?,%小）=*TAr的矩陣為A,且^A-E=0.AB—3B=O,其中

112

矩陣5=214，求一個正交變換x=Qy,化二次型為標準形.

112.

數(shù)學（二）預測卷（二）試題第3頁（共3頁）

2022年全國碩士研究生招生考試

數(shù)學（二）預測卷（三）

（科目代碼:302）

考生注意事項

1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生編號和考生姓名；在答題卡指

定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考生編號信息點。

2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答案必須書

寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿

紙、試題冊上答題無效。

3.填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫

部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

（以下信息考生必須認真填寫）

考生編號

考生姓名

一、選擇題：1?10小題,每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是

最符合題目要求的.

r?,_____

1.設/'(Z)=(/廿/-1)出名(力=^.若當Z-0+時,/(工)是8(工)的高階無窮小,

J0

而當HT8時,是我的高階無窮小，則常數(shù)a的取值范圍為

g(￡)j(X)

A.(4,6).B.(4,8).C.(5,6).D.(5,8).

2.設/Cr)=lim匚/工，則函數(shù)/Cr)有

n-^x>1十

A.一個跳躍間斷點.B.兩個跳躍間斷點.

C.一個可去間斷點.D.兩個可去間斷點.

3.設/(x)在工=0處連續(xù)，且lim厘==2,則lim―一幻一sin/與Q￡運=

10XX

A.1.B.2,C,3.D.4.

4.設函數(shù)/(x)=(In/—1)(Inz—2)…(In①一〃),其中n為正整數(shù)，則f(e)=

A.(——1“(〃一1)!.B.i(—―1^y(,n-l)!.

ee

5.設函數(shù)f(z)在［0,1］上具有二階連續(xù)導數(shù)，且/'(?)>0.若［/(后)業(yè)=0,則必有

A./(f)<0.B./(1)<0.C./(1)<0,D./(1)<0.

6.設函數(shù)/(H)在［0,1」上二階可導,且/'(力V0,則

A.小。丁(0)Ve，">一乎。><e/<1>/(l).

B.空。>八1)</⑴-?。><夕>/(0).

C.e/(1)/(0)<e/<n-e^0)〈儀/⑴.

D.⑴<空"一丫<。><?”(0).

7.設D={Cr,y)|/+y2&2,z+N)/},a，〃為常數(shù),則?。垡踩cdrdy=

DX丁

A.6速(〃-1).B.j(n-2).

C.W&L2).D.y(7T-l).

8.設A為加X”矩陣，r(A)=mV”,考慮下列四個命題：

①齊次線性方程組A4"=0只有零解；

②齊次線性方程組A'Ax=0有非零解；

③對任意的"，維列向量6方程組心=b有無窮多解；

④對任意的?維列向量八方程組*x=b有唯一解.

正確命題的個數(shù)為

A.0.B.1.C.2.D.3.

數(shù)學(二)預測卷(三)試題第I頁(共3頁)

9.設A,8均為4階方陣,且廠(A)=4,r(B”)=1,則齊次線性方程組(A，8)x=0的基礎解

系所含解的個數(shù)為

A.1.B.2.C.3.D.4.

0A.

10.設A為3階可逆矩陣，|A|=2,C=-八，則|-2C|=

、AO.

A.16.B.128.C.-16.D.-128.

二、填空題：n?16小題，每小題5分，共30分.

11.設<p(1)=3，則函數(shù)y=w(z)2>的最小值為.

12.設/(H)為可導函數(shù)，且/XI)=O，/。)==jdyj則li邛=

(1+)>/2—X2

(xcos31,

14.曲線4.，的弧長為.

=sinZ

15.設函數(shù)具有連續(xù)偏導數(shù)(0,0)=1,￡(0,0)=2,￡(0,0)=4,z=z(x,y)是

由方程f(xz,yz)=x3+y—z3所確定的函數(shù)，則dz|x=o=.

16.設A是3階方陣，其特征值為2,3,4,將A的第2行加到第3行得矩陣B,再將8的第3列

的一1倍加到第2列得矩陣C,則tr(2C+E)=.

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分12分)

求函數(shù)f(z,y)=(2X3+3T2+>)^的極值.

18.(本題滿分12分)

討論方程=工+1的實根的個數(shù).

19.(本題滿分12分)

設/■是第一象限內(nèi)連接點A(0,l)與點8(1,0)的一段連續(xù)曲線弧,為該曲線弧

上任一點，點C為M在遼軸上的投影為坐標原點.若梯形OCMA的面積與曲邊三角

形CBM的面積之和為,求曲線弧L的方程，并求該曲線弧與拋物線y=1

所圍成的平面圖形的面積.

20.(本題滿分10分)

設a2且為常數(shù),證明反常積分I=一甩/收斂，并計算積分的值.

Jo1十a(chǎn)r+x

21.(本題滿分12分)

rirVi-x2

計算二次積分J?

數(shù)學(二)預測卷(三)試題第2頁(共3頁)

22.（本題滿分12分）

設A為3階實對稱矩陣,A的特征值為一1,一L2,A，g=或其中§=（-1,-1,1）T.

T

（1）求一個正交變換x=仍,將二次型,x2,x3）=XAX化為標準形；

（2）求矩陣A.

數(shù)學（二）預測卷（三）試題第3頁（共3頁）

2022年全國碩士研究生招生考試

數(shù)學（二）預測卷（四）

（科目代碼：302）

考生注意事項

1.答題前，考生須在試題冊指定位置上填寫考生編號和考生姓名；在答題卡指

定位置上填寫報考單位、考生姓名和考生編號，并涂寫考生編號信息點。

2.選擇題的答案必須涂寫在答題卡相應題號的選項上，非選擇題的答案必須書

寫在答題卡指定位置的邊框區(qū)域內(nèi)。超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿

紙、試題冊上答題無效。

3.填（書）寫部分必須使用黑色字跡簽字筆書寫，字跡工整、筆跡清楚；涂寫

部分必須使用2B鉛筆填涂。

4.考試結(jié)束，將答題卡和試題冊按規(guī)定交回。

（以下信息考生必須認真填寫）

考生編號

考生姓名

一、選擇題J?10小題，每小題5分，共50分.下列每題給出的四個選項中，只有一個選項是

最符合題目要求的.

1.設當3->0+時，函數(shù)/（x）=W"一與4（彳）=sin—JCA是同階無窮小，則常

0

數(shù)a的值為

A.2.B.C.4-D.3.

O

設工是函數(shù)八公=/與七

2.=2的第一類間斷點,則常數(shù)。，〃的值分別為

A.4,2.B.2,4.

C.2,ln2.D.In2,2.

設函數(shù)/（T）在（o,+°0）上可導，且/（工）<△匹？，則

3.

X

A./(2)</(l).B./(2)>/(1).

C./(l)</(2).D./(l)>/(2).

4.設函數(shù)/（X）與g（x）滿足rCr）=2g（z）,g'Cz）=2/（z）,且函數(shù)以工）在z=0處取得

f(x)

極值2,則曲線3=的漸近線的條數(shù)為

g(N)

A.1.B.2.C.3.D.4.

也d?/=Usin(三)Ardy/=.sin("?drdy,其中D=

5.設“

DD

{Cr,y)|Cr—1)2+(y-lV42},則

A.LVJ2VhB./2Vl3V八.

C?13VLVD.h<I2<L.

（?r,y）#（0,0）,

6.二元函數(shù)/Cz~）=在點（0,0）處必定

(1,y)=(0,0)

A.連續(xù)且偏導數(shù)存在.B.連續(xù)但偏導數(shù)不存在.

C.不連續(xù)但偏導數(shù)存在.D.不連續(xù)且偏導數(shù)不存在.

7.下列反常積分收斂的是

A.B.

f-foo

C.D.

o

8.設4維列向量組a,債,。3,a線性無關次是實數(shù),A=ai+32,住=。2+33，@；=

。3+妞4?仇=6+，則向量:組小性，詼,小線性無關的充分必要條件為

A.左￥LB.k中土1.

C.=1.D.k=±1.

9.設A為〃（〃22）階可逆矩陣，1&iVj&〃，互換A的第，行與第j行得矩陣3,A,,B?

分別為A,3的伴隨矩陣，則

數(shù)學（二）預測卷（四）試眶第1頁（共3頁）

A.互換矩陣(A,)T的第i行與第j行得矩陣一(IT)〕

B.互換矩陣(A'尸的第i行與第/行得矩陣(氏)】

C.互換矩陣(A*)T的第i列與第j列得矩陣一(夕)

D.互換矩陣(A*尸的第i列與第j列得矩陣(B*

10.設A是"階方陣，則下列與齊次線性方程組Ax=0同解的方程組為

A.A'x=0.B.A1Ar=0.

C.A4Tx=0.D.(A+AT)x=0.

二、填空題：H?16小題，每小題5分，共30分.

11.設y=e，cos2工+2是某三階常系數(shù)齊次線性微分方程的一個特解，則該微分方程

為.

12.曲線寸+3燈+3工=1在點(0,1)處的曲率半徑為.

13.當工>0時，1，3+1廣產(chǎn)+1業(yè)=

14.設/(x)=/一①f/(x)dr+2f/(z)dr,則「/(2—jr)dr=.

J0J0J0

15.設y=(2z+3)ln(2z+3),則當〃>1時,y00|=________.

16.設A是3階方陣,A的特征值為-1,2,3,3=A3,夕為3的伴隨矩陣，則tr(B-)=

三、解答題：17?22小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本題滿分10分)

已知陰”*=L求她〃C)+3］1

18.(本題滿分12分)

已知二元函數(shù)z=的全微分為dz=x(.x2+y—l)dLr+j?(x2+Ddy,且

/(l,D=2,求函數(shù)z=/Cr,y)的極值.

19.(本題滿分12分)

設函數(shù)/(x)在［1,+oo)上連續(xù)且非負,/(1)=0,由曲線》=y(x)與直線.r=r(/>l),

?=0所圍成的曲邊三角形記為D.已知D繞.y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體的體積為

V(z)=看花⑶5⑴一一十口,當［=2時，求D的面積.

20.(本題滿分12分)

設函數(shù)f(z)在閉區(qū)間［0,1］上二階可導，且八0)=0,/(1)=1,「/(工)業(yè)=1.證明：

J0O

在(0,1)內(nèi)至少存在一點&使得/'")=2.

21.(本題滿分12分)

計算二重積分+y)ird_y,其中D是由曲線丁=V2y—y2與直線y=0,y=2及

數(shù)學(二)預測卷(四)試題第2頁(共3頁)

Z=2所圍成的平面閉區(qū)域.

22.（本題滿分12分）

設二次型f（?,后，23）=ar?+xi+&c|+4x）X2+4XIX3+4x2-T3的矩陣為A,已知。=

（1,1,1）T是A的一個特征向量.

（D求常數(shù)a,6的值;

（2）求一個正交變換x=3,將二次型/化為標準形.

數(shù)學（二）預測卷（四）試題第3頁（共3頁）

數(shù)學(二)預測卷(一)試題答案及評分參考

一、選擇題

1.答應選D.

解設￡=5山2工,則在Z=0的某一較小去心鄰域內(nèi)，有

|sinz|=sin|71=〃,|1|=arcsin77.

故/(sin2x)=i「可化為/(/)=(arcs)而%>。).則有

]./、r(arcsin-/xY「7八

limr/(x)=Iim---------------=lim—=0,

1r~*o+vXJ工

又

lim9=lim(arc*nG*=lim4=+oo,

LO+XLO+>JjC?XL0'jcjx

即當Hf0+時JCr)為無窮小量，且為2的低階無窮小量.

【注】判定當l-0+時，/(外為無窮小量是不可缺少的一步.

2.答應選A.

解由于f(z)可導，因此'=/(?)可導.由微分的定義知，當Ar-0時,△?-￡!'為&

的高階無窮小量，且dy為的線性主部,于是有

=dy+o(Ar)=y'Ax+o(D.

當、=八了3)時，有丁=3/r(合)，由題設有

[3/“才力匚3…尸0.3,

3/(-1)?(-0.1)=0.3,

/(-I)=-1.

3.答應選A.

解顯然/(x)在區(qū)間[0,1]上滿足拉格朗日中值定理的條件,于是有

/(x)-/(0)=/($)T,O<f<x.

根據(jù)題設，可知

|J；3酸卜|￡^)-/(O)]dr|=|￡r(f).rdr|

WCIX($)-r|Ar=[|f(?)|j-dx&fAirdr=《M.

JoJoJoZ

4.答應選D.

解因為

數(shù)學(二)預測卷(一)試題答案及評分參考第1頁(共33頁)

2—Inx

(Inz)27

lim=lim=limlim辱

J>4-00\JC/x-?|oo?r+

x-*4-oo%j>2

lim=lim金=0,

*?tco?rT—jr2

所以反常積分［（￥）2

dr收斂.

因為lim，-^sin—=limj'1=1,所以反常積分("sin-|dr收斂.

r-*4ooXJ

因為lim-"zsin工=lim/sin1=0,所以反常積分「3sin」dr收斂.

D+Zrz—+xJoyjx

X—1

因為lim(?r—1)J-=lim=lim—---\=lim------j

3

L【+/lnxi+[ln(l+7-1)方上“Cr—D多z+(了一1)十

+oo,所以反常積分］：得二如發(fā)散?

5.答應選C.

解因為

/S(0,0)=limzkr?sin：J,=0,/：(0,0)=lim△丁?sin/人1一=°，

Ar-*0(八T)"Az**。3)2

所以/Cr,y)在點(0,0)處偏導數(shù)存在.

1

又△/=[(Ar)2+(△?)?]?sin，則當p=(Zkr)2+(A>)2-*0時，有

(Zkr)2+(A.y)2

△/—[/(。，。)?+八(0,0)?z\y]?1

——---------=psin=一?0,A

pp

所以/(z,y)在點(0,0)處可微.

6.答應選B.

解由于被積函數(shù)為關于ny的偶函數(shù)及積分區(qū)域D關于兩坐標軸都對稱，因此

/(72+J)匕=4]此]：

/dr=2’cos220d0

Do

++cos40j(10=27r.

=2'

7.答應選C.

解原微分方程對應的齊次方程y+Ay=0的特征方程為一+4=0,解得r,.2=±2i,

故可設微分方程y〃+4y=①與，+4y=cos2］的特解分別為

y\=ar+6,3^2=N（ACOS2/+Bsin2z）,

根據(jù)線性微分方程解的疊加原理,原方程的特解可設為

y'=y\+yi=cur+6+^*（Acos2x+Bsin2ar）.

數(shù)學（二）預測卷（一）試題答案及評分參考第2頁（共33頁）

8.答應選B.

解當廠=”時，系數(shù)矩陣A為行滿秩矩陣，所以增廣矩陣(A;b)的秩也為，〃，從而方程

組Ax=b有解,故選項B正確.

當r=〃時，增廣矩陣(A;捫的秩可能為〃，也可能為所以方程組可能有解，也可能

無解,故選項A不正確.

當廠=/?時，若r=mV",則方程組Ax=0有非零解，若r=m—"，則方程組Ax=0

只有零解,故選項C不正確.

當時,方程組Ax=0只有零解,故選項D不正確.

【注】考核點為方程組的解與矩陣的秩.關鍵是當矩陣A的秩為"，時，矩陣A必有機階

非零子式，從而矩陣(Aib)也有，〃階非零子式,又矩陣(4：力行數(shù)為如所以其秩為日

9.答應選D.

解由于A.B均為5階非零矩陣，且AB=O,故矩陣A.B均不可逆，從而r(A)44,

r(B)<4.

記B=(4,p2遇弧，仙)，由AB=O,得

A(R,也，怯*0、.止)=(Afi..AfiAfi5)=(0.0.0.0.0),

可知B的每一列均為方程組Ax=0的解,故矩陣B的列向量組可由方程組Ax=0的基

礎解系線性表示，從而r(B)&5—r(A),即

r(A)+r(B)&5.

若B有4階非零子式，又r(B)&4,則

r(B)=4,r(A)&5-r(B)=1,

又由于A為非零矩陣，即MA)21,因此r(A)=1.故選項D正確.

當B有4階非零子式時，必有1,2,3階非零子式，此時r(A)=1,故選項A,B,C均不正確.

【注】考核點為矩陣運算,矩陣的秩，線性方程組等.注意AB=O=r(A)+r(B)(5是

常用的結(jié)論.

10.答應選A.

解由于

2

/■(?,Xz,X-s)=(X1+x2)+(網(wǎng)—13)，+(為+13)2

=2x?+2x1+2x1+2x]—2^2X3+2XIX3，

因此其矩陣為

211

A=12-1.

1-12

因為|力一4|=/(4-3)2,所以矩陣4的特征值為貓=的=3山=0,故二次型的規(guī)

范形為若+后.

數(shù)學(二)預測卷(一)試題答案及評分參考第3頁(共33頁)

二、填空題

11.答應填｝sin1.

占「義工）業(yè)

解

=『心「3」市空積分次序面'/母

J0JXJoJO

=IZcost2d/=--sint21=《sin1.

JoZIoZ

應填i一考.

12.答

當04z4百時=匚產(chǎn)~?>0.故所求圖形面積為

解

N1+sinx

____1_

drd(x2).

1+sinx2=TJo1+sinx2

Ip1..=1.戶l-sinz>

2Jo14-sint2Jo1—sin2Z

-環(huán)嗎&=*_j_r

2Jocost2Jocost2o2cos11o

=彥--(y/2—1)=]一冬

13.答應填2,一2.

解設(ary，—y2cosj;)cLr+(1+6ysinX+3JC2y2)dy是〃(1~)的全微分，則

=axy3-y2cos￡,,=1+外sinx+3JC2JZ2.

顯然〃(科y)存在二階連續(xù)偏導數(shù)，于是有普=普，即

dxdydydx

3ory2—2ycosr=bycosx+&xy2,

比較系數(shù)得a=2,b=-2.

14.答應填2.

解由limf（幻=limQsinz=o,可知該曲線有一條水平漸近線=0；

j>-*oojr-*ooX

由lim/（z）=lim色土孕"工=lim"±?豈土^=8,可知該曲線有一條鉛直漸近線

X-0LOXL0XX

z=0；

又由lim9=limI十?sin“=o,可知該曲線沒有斜漸近線.

X-^X>xJT-^oaX

綜上，該曲線有兩條漸近線.

【注】由lim/Cr）=0可知曲線、=/（外肯定沒有斜漸近線，事實上不必再判定lim3

^OOX

數(shù)學（二）預測卷（一）試題答案及評分參考第4頁（共33頁）

15.答應填熹

解如圖所示，以桶的一個端面中心（圓心）為原點，鉛直向下

的方向為工軸正向，建立平面直角坐標系，選取遼為積分變量，

設油桶的底圓半徑為R,油的密度為p,重力加速度為g,則

dFi=2pgxy/R2—x2ir,

22

dF2=2闈（R+丈）\/R—JCdr.

于是，

陶:號

Fi=j：22TAe=R3,

=2222

F212儆（R+z）VR—xdr=4圖RJVR—x<Lr

—4限R?jnR2=npgR\

16.答應填3.

解由于只有主對角線元素與（1,2）元含工,由行列式的定義知含有d的有兩項，一項

為主對角線元素的乘積二（1-2工）=n3