2023年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)、解三角形第六節(jié)正弦定理和余弦定理

第六節(jié)正弦定理和余弦定理

?最新考綱?

1.借助向量的運(yùn)算，探索三角形邊長(zhǎng)與角度的關(guān)系.

2.掌握余弦定理、正弦定理.

?考向預(yù)測(cè)?

考情分析：利用正、余弦定理解三角形，判斷三角形的形狀，尤其是正、余弦定理的綜

合問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，也有解答題.

學(xué)科素養(yǎng)：通過(guò)利用正、余弦定理解三角形考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).

積累必備知識(shí)——基礎(chǔ)落實(shí)贏得良好開(kāi)端

一、必記3個(gè)知識(shí)點(diǎn)

1.正弦定理

_______________________________________.其中R是三角形外接圓的半徑.由正弦

定理可以變形為：(1)4：6：C=；

(2)a=2RsinA,b=2RsinB,:

(3)sinA=。，sinB=2,sinC=________等形式，以解決不同的三角形問(wèn)題.

2R2R

2.余弦定理

/=,/?2=,(?=,余弦

定理可以變形為：cosA=,cosB=,cosC=

3.三角形面積公式

SAABCW"sinC=z；bcsinA=^acsin8=帶=；3+8+6>?是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并

2224R2

可由此計(jì)算R、r.

二、必明3個(gè)常用結(jié)論

1.在AABC中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，A>8=">bosinA>sin

B=cosA<cosB.

2.三角形中的三角函數(shù)關(guān)系

(l)sin(A+8)=sinC；

(2)cos(A+B)=—cosC；

/r、.A+BC

(3)sin—=cos-；

，八

(4)cos—A+B=sinC

3.三角形中的射影定理

在△ABC中，a—bcosC+ccosB；

b=acosC+ccosA：

c—bcosA+acosB.

三、必練4類(lèi)基礎(chǔ)題

(一)判斷正誤

1.判斷下列說(shuō)法是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“J”或“義”).

(1)在△ABC中，A>B必有sinA>sin8.()

(2)在△ABC中，若從則△ABC為銳角三角形.()

(3)在△ABC中，若A=60°,i/=4V3,h=4^2,則NB=45°或NB=135°.()

(4)若滿足條件C=60。,AB=yf3,BC=a的△ABC有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(汽,

2).()

(5)在△ABC中，若acosB=〃cosA,則△ABC是等腰三角形.()

(6)在AABC中，若tanA="2,tan8=〃，則△A8C是等腰三角形.()

(二)教材改編

2.［必修5RoT4改編】在△ABC中，AB=5,AC=3,BC=1,則NBAC=()

3.［必修5RoB組T2改編］在AABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為小b,c,若

cosA,則△ABC為_(kāi)_______三角形.

(三)易錯(cuò)易混

4.(判斷三角形群的個(gè)數(shù)失誤)在△ABC中，已知6=40,c=20,C=60°,則此三角形

的解的情況是()

A.有一解B.有兩解

C.無(wú)解D.有解但解的個(gè)數(shù)不確定

5.(忽視cosC=0,出現(xiàn)丟根)在△ABC中，角A,B,C滿足sinAcosC—sin8cosc

=0,則三角形的形狀為.

(四)走進(jìn)高考

6.［2021?全國(guó)乙卷］記△4BC的內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,面積為遍，B=

60°,a2+c2=3ac,貝!|b=.

提升關(guān)鍵能力——考點(diǎn)突破掌握類(lèi)題通法

考點(diǎn)一利用正、余弦定理解三角形［基礎(chǔ)性］

1.［2022?四川攀枝花市模擬］在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且B=1,b

=3,a=V3,則c=()

A.V3B.2V3

C.3-V3D.3

2.［2022?四川成都市測(cè)試］設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c.若a=3b,

sinA=g,則sin8的值為()

A.—B.-C.—D.—

51539

3.［2022?安徽安慶市測(cè)評(píng)］在△ABC中，a,b,c分別是乙4,NB,/C的對(duì)邊.若a,

h,c成等比數(shù)列，且/+值岳=廿+a，則/A的大小是()

A.-B.-C.—D.—

6336

4.［2022?甘肅高三模擬］在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若sin4：sin

B：sinC=5：7：9,則cosC=()

反思感悟用正、余弦定理求解三角形基本量的方法

第二步」若式子中含有角的余弦或邊的二次式，則考，

連定應(yīng):慮用余弦定理

I_____________________________________________________________I!

」若式子中含有角的正弦或邊的一次式，則考i

1慮用正弦定理1

—i若?特征都不明顯，則*慮兩個(gè)定理都有可能用到I:

亳-4-1利用正、余弦定理求角、求邊、求值

考點(diǎn)二判斷三角形的形狀［基礎(chǔ)性、綜合性］

［例1］設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若bcosC+ccos8=asin

A,則△4BC的形狀為（）

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.不確定

聽(tīng)課筆記：

一題多變

1.（變條件）若將例1中“若6cosC+ccosB=asinA”變?yōu)椤?=^=我"，則AABC

cosBa

的形狀為.

2.（變條件）若將例1中“若bcosC+ccossinA”變?yōu)椤叭簦?筆"，則4ABC

DCOSA

的形狀為_(kāi)_______

反思感悟判定三角形形狀的常用技巧

屆通過(guò)正弦定理、余弦定理化角為邊，通過(guò)代數(shù)

判迪竺m沙恒等變換，求出邊與邊之間的關(guān)系進(jìn)行判斷

定

途

而公通過(guò)正弦定理和余弦定理，化邊為角，利用三

徑

也勢(shì)r角變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進(jìn)行判斷

［提醒］注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.［2022?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)測(cè)試］若△ABC的三個(gè)內(nèi)角滿足sinA：sinB：sinC=

7：11：13,則△ABC()

A.一定是銳角三角形

B.一定是直角三角形

C.一定是鈍角三角形

D.可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形

2.［2022?安徽高三月考］△A8C的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,h,c,已知cos2A一

2cosA+|=0且滿足a=6(b—c),則△ABC的形狀是()

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

3.［2022?甘谷縣第四中學(xué)測(cè)試］在△ABC中，若貝l2ABC的形狀是()

A.等腰三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

考點(diǎn)三與三角形面積、周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題［綜合性］

角度1與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題

［例2］［2022?江西五校聯(lián)考］在△ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且一工=

cosA

b_2c

3cosBcosC'

⑴求A；

(2)若4=3,求AABC的面積.

聽(tīng)課筆記：

反思感悟求三角形面積的方法

根據(jù)條件，利用三角變換公式化簡(jiǎn)已知條件等

化簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化

式，再利用正、余弦定理化邊或化角

根據(jù)條件選擇面積公式，多用三角形的面積公式

選擇公式

5=+"sinC==acsinB==hcainA

角度2與最值（范圍）有關(guān)的問(wèn)題

［例3］在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊,且（a+>+c>（a+b-c）=3而.

⑴求角C的值；

（2）若c=2,且△ABC為銳角三角形，求a+b的取值范圍.

聽(tīng)課筆記：

反思感悟求有關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值（范圍）問(wèn)題

在解決求有關(guān)三角形面積或周長(zhǎng)的最值（范圍）問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)角的一個(gè)三

角函數(shù)，利用三角函數(shù)的有界性求解，或利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再應(yīng)用基本不等式

求解.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】

1.[2022?陜西寶雞市測(cè)試]△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,b=V13,a

=1,8=60。，則△ABC的面積為()

A.V3B.2C.2V3D.3

2.[2022?蘭州市第二十七中學(xué)測(cè)試]在△ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,

c,ZA=60°,b=\,S"BC=?則.的值等于()

sinA-2sinB+sinC

A2V39口26V3

A.-----D.--------

33

3.［2022?北京人大附中檢測(cè)］在△ABC中，A=］,則△ABC的最大周長(zhǎng)是（）

A.2V3B.3V3C.3+V3D.4+V3

4.［2022?浙江高三模擬］在△ABC中，AB=AC,O為AC的中點(diǎn)，ACsinA=2sinZABD,

則BQ=,AABC面積的最大值為.

微專(zhuān)題19計(jì)算三角形中的未知量數(shù)學(xué)運(yùn)算

數(shù)學(xué)運(yùn)算是在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程.主要包括：

理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)

果等.

［例］［2020?全國(guó)卷I的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知8=150°.

⑴若〃=bc,b=2夕，求△48C的面積；

(2)若sinA+V3sinC=孝，求C.

解析：(1)由題設(shè)及余弦定理得28=3C2+C2-2XV3C2XCOS150°.

解得ci=-2(舍去)，?2=2,從而“=275.

△ABC的面積為：X2百X2Xsin150°=V3.

(2)在△ABC中，A=180。-8-<=30。一(?，所以sinA+百sinC=sin(30°-C)+V3sinC

=sin(30°+O.

故sin(30。+。=號(hào)

而0°<C<30°,所以300+C=45°,故C=15°.

名師點(diǎn)評(píng)(1)求邊：利用公式4="塔，6=誓，。=吧亭或其他相應(yīng)變形公式求解.

sinBsinAsmA

(2)求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sinA=?S，B,jg=bsmAsinC=csinA

bsnaya

或其他相應(yīng)變形公式求解.

(3)已知兩邊和夾角或已知三邊可利用余弦定理求解.

［變式訓(xùn)練］［2022?江西省名校高三教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)］在△ABC中，已知a,b,c分別是角

A,B,C的對(duì)邊，(a+/>+c)(sinA+sinB—sinC)=3asinB.

(1)求角C的大??；

(2)若。cosC+ccos8=4,B=~,求△48C的面積.

4

第六節(jié)正弦定理和余弦定理

積累必備知識(shí)

a_b

1.^=2RsinA：sinB：sinCc=2KsinC-

sinAsinB

az+c2-b2

2'"+〃fcc°sAa2+c2-2acB〃+*2a'c°sC

COSZac

a2+b2-c2

2ab

1.答案：(1)V(2)X(3)X(4)”5)J(6)X

2.解析：在△ABC中，設(shè)AB=c=5,AC=b=3,BC=a=7,由余弦定理得cosNB4C

b2+c2a2_9+25-49__1

2bc302'

由AG(0,兀)，得4=與，即NBAC=與.

答案：C

3.解析：依題意得sinC〈sin8cosA,

所以sin(A+B)<sinBcosA,

即sinBcosA+cosBsinA-sinBcosA<0,

所以cosBsinA<0.又sinA>0,

于是有cos3<0,8為鈍角，Z\A5c是鈍角三角形.

答案：鈍角

yf3

4.解析：由."=.c,得sinB=b=2=V3>1.所以角B不存在，即

sinBsinCc20

滿足條件的三角形不存在，故選C.

答案：C

5.解析：VsinAcosC—sinBcosC=0

/.cosC(sinA-sin3)=0

即cosC=0或sinA=sinB.

若cosC=0,則C=90。，即為直角三角形；若sinA=sin&則A=8.即為等腰三角形.

答案：直角三角形或等腰三角形

6.解析：由SZMBC=\acsinB=^-ac=V3得ac=4.

24

2211

由^=^+(?—24/ccosB=a-\~c—aci

結(jié)合a1+c1=3ac得到從=2ac=8,

：.b=2V2.

答案：2V2

提升關(guān)鍵能力

考點(diǎn)一

1.解析：在△ABC中，由余弦定理得：b2—a2-\-c2—2accosB=3+c2—V3c—9,

即/一遍c-6=0,解得：c=2g或(舍)，/.c=2V3.

答案：B

2.解析：由正弦定理可知：&=工今^=-^-^sin.

sinAsinB-smB5

5

答案：A

3.解析：由已知得〃=ac,因此〃+O6c=c2+ac可化為〃+/—〃=苗兒.

于是cosA=也冬尤=手，又AC(O,71),所以4=?.

ZDCL6

答案：A

b

4.解析：由正弦定理：熹=2R,

sinB

得。=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,

又因?yàn)閟inA：sinB：sinC=5：7：9,所以〃：b:c=5：7：9,

令a=5f,b=lt,c=9〃>0),

產(chǎn)一產(chǎn)

訴N^_a2+b2-c225t2+49811

所以cosC一—k

2x5tx7t10

答案：D

考點(diǎn)二

例1解析：因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA,由正弦定理得sin8cosC+sinCcos8=

sin2A,

所以sin(B+C)=sin24,即sinA=sin2A.

又sinA>0,所以sinA=l,所以A=],故△ABC為直角三角形.故選B.

答案：B

一題多變

L解析:因?yàn)楹?3由正弦定理得署=黑，所以sin2-2氏由:n,

可知啟6,所以AWB.又A,BG(0,it),所以2A=兀-28,即A+B=],所以C=],于是

△ABC是直角三角形.

答案：直角三角形

2.解析：由?=弋，得史丫=安，

bcosAsinBcosA

所以sinAcosA=cosBsin8,所以sin2A=sin2B.

因?yàn)锳,8為△ABC的內(nèi)角，

所以2A=28或2A=n—28,所以A=B或A+B=],

所以AABC為等腰三角形或直角三角形.

答案：等腰三角形或直角三角形

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：ZVIBC三個(gè)內(nèi)角A,B,。所對(duì)的邊分別為a,b,c,

sinA：sinB：sinC=a:h:c=7：11：13,

設(shè)〃=7x,b=\\x,c=13x,

222

「a+b-c49X2+121X2-169X21八

COSC=-----------=---------------------=—>0,

2ab2x7xxllx154

???最大角A為銳角，,二△ABC為銳角三角形.

答案：A

2.解析：cos2A—2cosA+|=2cos2A-1—2cosA+|=0,解得cosA=1,A=g,則

Vtz=V3(Z?—c),/.由正弦定理得sinA=V3(sinB-sinC),

y=V3[sin(y-c)-sinC],

爭(zhēng)osC+ginC—sinC=1.

sin因?yàn)?<C(

AC=7，,ZVIBC是直角三角形.

答案：B

3.解析：由已知匕華=喀=小"，得*=2或空￡=0,即C=90。

1-sinzBcoszBccosBcosBccosB

或竺_￡=2,由正弦定理得co1‘=吧_￡，即sinCeosC=sinBcos8,即sin2C=sin28,YB,

cosBccosBsinC

C均為△ABC的內(nèi)角，：.2C=2B2C+2B=180°,，B=C或B+C=90。，.?.△ABC為等

腰三角形或直角三角形.

答案：D

考點(diǎn)三

例2解析：⑴.?.熹=&=段

.-r訃》e/msinAsinB2sinC

..由正弦無(wú)理付二=藐菽=百三

即tanAB=ItanC,

tanB=3tanA,tanC=-tanA.

2

:在aABC中，tanA=-tan(B+C)=-ta吧tanc

1-tanBtanC

3tanA+-tanA

*.tanK—解得2A=3,

l-|tan2A

即/〃〃A=一8或tanA=V3.

當(dāng)時(shí)，柩〃B=-38,tanC=~^-,則A,B,C均為鈍角，與A+B+C

=乃矛盾，故舍去，

故towA=V3,即A=g.

解析：（2）由（1）知S”B=3A/5,tanC=y,.,.si〃B=鬻，s加C=f

3b

Va=3,?1

sin廠坦一叵,

3147

977677

解得b=—,C=—

77

,c1..A19b6V7V32773

?-SAABC=-bcsinA--x—x—x------—.

例3解析：（1）由題意知（a+b+c）（〃+b—c）=3”仇

/.a2+h2—c2=ah,由余弦定理可知，cosC=a"c

zab2

又C￡（0,兀），AC=J

解析：（2）由正弦定理可知，

ab24y/3日口4^3...4遍.

-=—n=—,即〃=—sinA,h=—sinBn,

sinAsinBsi*333

.??a+b=￥（sinA+sinB）=#sinA+sin（詈—A）］

=2V3sinA+2cos/l=4sin（A+‘），

又AABC為銳角三角形,

0<A<^,7T1T

=〈二即3g

32

則M+卜拳，28<4sin（A+J）<4,

綜上，a+b的取值范圍為（2g,4].

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練

1.解析：由余弦定理可知，Z?2=6z2+c2—2c-a-cosB,即13=1+d—2ccos60°,

整理得，一c—12=0,解得c=4或一3（舍去），

則SA4BC=|a-c-sinB=：X1X4Xsin600=V3.

答案：A

2.解析：,.?5=，csinA,

?

??