優(yōu)選課件：人教B版高中數(shù)學(xué)必修第四冊92正弦定理與余弦定理的應(yīng)用

9.2正弦定理與余弦定理的應(yīng)用核心互動探究探究點一測量不可到達(dá)的兩點之間的距離【典例1】1.如圖,為了測量河的寬度,在一岸邊選定兩點A,B,望對岸標(biāo)記物C,測得∠CAB=30°,∠CBA=75°,AB=120m,則河的寬度為________.

2.如圖,設(shè)A,B兩點在河的兩岸,要測量這兩點之間的距離,測量者在A的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點C,測出AC=60m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,求A,B兩點的距離.【思維導(dǎo)引】1.過點C作CD⊥AB,求CD即可.2.在三角形中由正弦定理計算距離.【解析】1.在△ABC中,過點C作CD⊥AB,因為AB=120m,∠CAB=30°,∠CBA=75°,所以∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=75°,所以AC=AB=120m,則河的寬度為CD=ACsin30°=60m.答案:60m2.∠ABC=180°-75°-45°=60°,所以由正弦定理得,所以AB=(m).即A,B兩點間的距離為20m.

【類題通法】求距離問題時應(yīng)注意的兩點(1)選定或確定所求量所在的三角形.若其他量已知,則直接解;若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解.(2)確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用,就選擇更便于計算的定理.【定向訓(xùn)練】1.如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時氣球的高是60m,則河流的寬度BC等于(

)A.30(

+1)m B.120(

-1)mC.180(

-1)m D.240(

-1)m【解題指南】記A點正下方為O,在△AOB與△AOC中,根據(jù)題中數(shù)據(jù),分別求出OB,OC,則BC=OC-OB.也可以先求出AB,再利用正弦定理計算BC.【解析】選B.方法一:記A點正下方地面上對應(yīng)的點為O,由題意可得OA=60m,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,由=tan75°=tan(45°+30°)=得到OB==60(2-)(m),在Rt△AOC中,由=tan30°=得到OC==60(m),所以河流的寬度BC=OC-OB=60-60(2-)=120(-1)m.方法二:記A點正下方地面上對應(yīng)的點為O,由題意可得OA=60m,∠ABO=75°,∠ACO=30°,在Rt△AOB中,sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=,所以AB=m,在△ABC中,∠BAC=45°,由正弦定理得,所以BC==120(-1)m.2.如圖,A,B,C,D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi),B,D為兩島上的兩座燈塔的塔頂,測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°,30°,于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°,AC=0.1km.試探究圖中B,D間的距離與另外哪兩點間的距離相等,然后求B,D間的距離(計算結(jié)果用根號表示).【解題指南】先求∠ADC與∠BCD,進(jìn)而可發(fā)現(xiàn)CB是△CAD底邊AD的中垂線,所以BD=BA;而要求BD,可利用正弦定理在△ABC中求BA即可.【解析】在△ADC中,∠DAC=30°,∠ADC=60°-∠DAC=30°,所以CD=AC=0.1km,又因為∠BCD=180°-60°-60°=60°,故CB是△CAD底邊AD的中垂線,所以BD=BA,即B,D間的距離與另外B,A兩點間的距離相等.在△ABC中,即AB=km,因此BD=km,故B,D間的距離為km.探究點二航行中的距離問題【典例2】如圖所示,為了測量A,B兩處島嶼間的距離,小明在D處觀測,A,B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛40海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,求A,B兩處島嶼間的距離.【思維導(dǎo)引】先在△ACD中求出AD,再在△DCB中求出BD,接著在△ABD中由余弦定理求得AB.【解析】在△ACD中,∠ADC=15°+90°=105°,∠ACD=30°,所以∠CAD=45°,由正弦定理可得:解得AD=(海里).在Rt△DCB中,∠BDC=45°,所以BD=CD=40(海里).在△ABD中,由余弦定理可得:AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=800+3200-2×20×40×=2400,解得AB=20(海里).答:A,B兩處島嶼間的距離為20海里.

【類題通法】航行問題的解題技巧(1)在航行等問題中,通常是把方位角(方向角)與幾何圖形結(jié)合起來,求出幾何圖形的有關(guān)角.(2)幾何圖形的應(yīng)用是解決實際問題的重要輔助手段,一是從圖形的完整性方面畫出圖形;二是把多邊形向三角形轉(zhuǎn)化.【定向訓(xùn)練】一艘海輪從A出發(fā),沿北偏東80°的方向航行6nmile后到達(dá)海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東20°的方向航行6nmile后到達(dá)海島C.如果直接從A出發(fā)到達(dá)C,此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?【解題指南】要求航行方向及航行距離,只要在△ABC中求出∠BAC以及AC即可.【解析】在△ABC中,AB=BC=6nmile,∠ABC=180°-80°+20°=120°,所以∠BAC=∠BCA=30°,由余弦定理得AC=又∠BAC=30°,所以80°-∠BAC=50°.答:此船應(yīng)該沿北偏東50°的方向航行,需要航行6nmile.【補償訓(xùn)練】如圖所示,某觀測站C在城A的南偏西20°的方向,從城A出發(fā)有一條走向為南偏東40°的公路,在C處觀測到距離C31km的公路上的B處有一輛汽車正沿公路向A城駛?cè)?行駛了20km后到達(dá)D處,測得C,D兩處的距離為21km,這時此車距離A城多少千米?【解析】在△BCD中,BC=31km,BD=20km,CD=21km,由余弦定理得cos∠BDC=所以cos∠ADC=,所以sin∠ADC=在△ACD中,由條件知CD=21km,∠BAC=20°+40°=60°,所以sin∠ACD=sin(60°+∠ADC)=由正弦定理得所以AD==15(km).故這時此車距離A城15km.探究點三高度、角度問題【典例3】1.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達(dá)B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=________m.

2.如圖,已知兩條公路AB,AC的交匯點A處有一學(xué)校,現(xiàn)擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠P,在兩公路旁M,N(異于點A)處設(shè)兩個銷售點,且滿足∠A=∠PMN=75°,MN=(

+

)千米,PM=2

千米,設(shè)∠AMN=θ.(1)試用θ表示AM,并寫出θ的范圍;(2)當(dāng)θ為多大時,工廠產(chǎn)生的噪聲對學(xué)校的影響最小(即工廠與學(xué)校的距離最遠(yuǎn)).(注:sin75°=

)【思維導(dǎo)引】1.將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題,解三角形.2.(1)利用正弦定理解決;(2)由余弦定理轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的最小值.【解析】1.如圖所示,由已知得∠BAC=30°,AB=600m,∠EBC=75°,∠CBD=30°,在△ABC中,∠ACB=∠EBC-∠BAC=45°,由得BC==300(m).在Rt△BCD中,CD=BC·tan∠CBD=300×=100(m).答案:1002.(1)因為∠AMN=θ,在△AMN中,由正弦定理得因為MN=,所以AM=4sin(75°+θ)(0°<θ<105°).(2)連接AP,在△APM中,AM=4sin(75°+θ),所以由余弦定理得AP2=AM2+MP2-2AM·MPcos∠AMP=16sin2(75°+θ)+12-16·sin(75°+θ)cos(75°+θ)=8[1-cos(2θ+150°)]-8

sin(2θ+150°)+12=20-8[

sin(2θ+150°)+cos(2θ+150°)]=20-16sin(2θ+180°)=20+16sin2θ(0°<θ<105°),當(dāng)且僅當(dāng)2θ=90°,即θ=45°時,AP2取得最大值36,即AP取得最大值6.所以當(dāng)θ=45°時,工廠產(chǎn)生的噪聲對學(xué)校的影響最小.

【類題通法】計算高度的注意事項(1)解決有關(guān)高度問題時,正確理解仰角、俯角是關(guān)鍵.(2)在實際問題中,當(dāng)研究空間與平面(地面)的問題時,通常畫兩個圖形,一個空間圖形,一個平面圖形,把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題,明確三角形中的邊長和角度,確定應(yīng)用正弦定理或余弦定理計算.提醒:【定向訓(xùn)練】1.如圖,在山腳A測得山頂P的仰角為30°,沿傾斜角為15°的斜坡向上走a米到B,在B處測得山頂P的仰角為60°,則山高PQ= (

)A.a米 B.

米 C.

a米 D.

a米【解題指南】設(shè)∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,∠BPA=

=γ-α=30°,由正弦定理可求PB,根據(jù)PQ=PC+CQ=PB·sinγ+asinβ可得結(jié)果.【解析】選C.設(shè)∠QAP=α=30°,∠QAB=β=15°,∠CBP=γ=60°,在△PAB中,∠PAB=α-β=15°,∠BPA==γ-α=30°,由正弦定理得,所以PB=

a.所以PQ=PC+CQ=PB·sinγ+asinβ=

a×sin60°+asin15°=

a(米).2.某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上,在小艇出發(fā)時,輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處,并正以30海里/時的航行速度向正東方向勻速行駛,經(jīng)過t小時小艇與輪船相遇.假設(shè)小艇的最高航行速度只能達(dá)到30海里/時,試設(shè)計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短的時間與輪船相遇,并說明理由.【解題指南】先畫出簡圖,再對照圖形理解題意,然后確定各個角度、各條邊長(邊長有已知的,有用字母表示的),并嘗試用正、余弦定理,函數(shù),不等式的知識解答.【解析】設(shè)小艇航行速度的大小是v海里/時,如圖所示,設(shè)小艇與輪船在B處相遇.由余弦定理得:BO2=AO2+AB2-2AO·ABcosA.所以(vt)2=400+(30t)2-2×20×30tcos(90°-30°),即(v2-900)t2+600t-400=0(其中0<v≤30),①當(dāng)0<v<30時,則Δ=360000+1600(v2-900)=1600(v2-675),令Δ=0,即1600(v2-675)=0,則v=15,1°當(dāng)0<v<15時,兩船不會相遇;2°當(dāng)15≤v<30時,當(dāng)時,令x=則x∈[0,15),

當(dāng)且僅當(dāng)x=0,即v=15時,等號成立;當(dāng)時,同理可得<t≤;所以當(dāng)15≤v<30時,t>;②當(dāng)v=30時,可求得t=;綜合①②可知,當(dāng)v=30時,t取得最小值,且最小值是,此時,在△OAB中,有OA=OB=AB=20,所以可設(shè)計方案如下:小艇的航行方向是北偏東30°,航行速度為30海里/時,此時小艇能以最短的時間與輪船相遇.【課堂小結(jié)】課堂素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.為測一河兩岸相對兩電線桿A,B間的距離,在距A點12米的C處(AC⊥AB)測得∠ACB=30°,則A,B間的距離應(yīng)為 (

)A.6米 B.4

米 C.6

米 D.12

米【解析】選B.在△ABC中,A=90°,∠ACB=30°,由tan30°=,得AB=ACtan30°=4(米).2.在某次測量中,A在B的北偏東55°,則B在A的 (

)A.北偏西35° B.