優(yōu)選課件：高中數(shù)學(xué)人教B版 必修 第一冊 函數(shù)的奇偶性

第三章函數(shù)3.1函數(shù)的概念與性質(zhì)3.1.3函數(shù)的奇偶性素養(yǎng)目標(biāo)·定方向課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)法解讀1．奇、偶函數(shù)的概念．(理解)2．奇偶性的幾何意義．(了解)3．奇、偶函數(shù)的應(yīng)用．(掌握)學(xué)習(xí)時，應(yīng)類比函數(shù)單調(diào)性，先由具體函數(shù)入手，對奇、偶數(shù)有初步認(rèn)識，然后由此抽象概括并用符號語言描述奇、偶函數(shù)的定義．把握奇、偶函數(shù)的本質(zhì)特征——圖像的對稱性，并能利用它解決相關(guān)問題.第1課時函數(shù)的奇偶性必備知識·探新知關(guān)鍵能力·攻重難課堂檢測·固雙基素養(yǎng)作業(yè)·提技能必備知識·探新知1．函數(shù)的奇偶性基礎(chǔ)知識前提函數(shù)f(x)定義域D內(nèi)的________________________，條件且_______________且_________________結(jié)論則稱y＝f(x)為偶函數(shù)則y＝f(x)為奇函數(shù)任意一個x，都有－x∈D

f(－x)＝f(x)

f(－x)＝－f(x)

思考1：函數(shù)奇偶性的注意點是什么？提示：(1)從奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義可知，當(dāng)x是定義域中的一個數(shù)值時，則－x也必是定義域中的一個數(shù)值，因此函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)的一個必不可少的條件是定義域關(guān)于原點對稱．換言之，若所給函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)不具有奇偶性．例如，函數(shù)y＝x2在區(qū)間(－∞，＋∞)上是偶函數(shù)，但在區(qū)間[－3,5]上卻不具有奇偶性．(2)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則根據(jù)定義可得，f(－0)＝－f(0)，即f(0)＝0.(3)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，這樣的函數(shù)有且只有一類，即f(x)＝0，x∈D，D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)集．4．奇、偶函數(shù)的單調(diào)性根據(jù)奇、偶函數(shù)的圖像特征，我們不難得出以下結(jié)論．(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相反的單調(diào)性．上述結(jié)論可簡記為“___________”．(2)________________________________________________，取最值時的自變量互為相反數(shù)；___________________________________________________，取最值時的自變量也互為相反數(shù)．奇同偶異偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上有相同的最大(小)值奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的最值互為相反數(shù)基礎(chǔ)自測D

2．對于定義域是R的任意奇函數(shù)f(x)，都有(

)A．f(x)－f(－x)>0

B．f(x)－f(－x)≤0C．f(x)·f(－x)≤0

D．f(x)·f(－x)>0解析：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)·f(－x)＝f(x)·[－f(x)]＝－[f(x)]2≤0.C

3．若函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1為偶函數(shù)，則a＝____.解析：解法一：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，x2＋ax＋1＝x2－ax＋1，即2ax＝0(x∈R)恒成立，∴a＝0.解法二：∵f(x)為偶函數(shù)，∴f(－1)＝f(1)，即1＋a＋1＝1－a＋1，∴a＝0.0

4．下列圖像表示的函數(shù)是奇函數(shù)的是_______，是偶函數(shù)的是_______(填序號)．解析：①③關(guān)于y軸對稱是偶函數(shù)，②④關(guān)于原點對稱是奇函數(shù)．②④

①③

5．已知y＝f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝x2－2x，則f(x)在R上的解析式為_______________________.關(guān)鍵能力·攻重難

判斷下列函數(shù)的奇偶性：判斷函數(shù)的奇偶性類型一典例剖析典例1歸納提升：如何判斷函數(shù)的奇偶性1．判斷函數(shù)的奇偶性一般不用其定義，而是利用定義的等價形式，即考察f(－x)與f(x)的關(guān)系，具體步驟如下：(1)求f(x)的定義域．(2)若定義域不關(guān)于原點對稱，則函數(shù)f(x)不具有奇偶性，若定義域關(guān)于原點對稱，可再利用定義驗證f(－x)與f(x)的關(guān)系．2．關(guān)于一些較復(fù)雜的函數(shù)，也可以用如下性質(zhì)判斷函數(shù)的奇偶性：(1)偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù)．(2)奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù)．(3)奇(偶)數(shù)個奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù)．(4)一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù)．對點訓(xùn)練

(1)如圖1，給出了奇函數(shù)f(x)的局部圖像，那么f(1)等于(

)A．－4

B．－2

C．2

D．4奇偶函數(shù)圖像的應(yīng)用類型二典例剖析典例2B

圖1

(2)設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為[－5,5]，且f(3)＝0，當(dāng)x∈[0,5]時，f(x)的圖像如圖2所示，則不等式xf(x)＜0的解集是_____________________.思路探究：根據(jù)函數(shù)的奇偶性可作出函數(shù)在y軸另一側(cè)的圖像，再根據(jù)圖像來解題．[－5，－3)∪(0,3)

圖2

歸納提升：巧用奇偶性作函數(shù)圖像的步驟(1)確定函數(shù)的奇偶性．(2)作出函數(shù)在[0，＋∞)(或(－∞，0])上對應(yīng)的圖像．(3)根據(jù)奇(偶)函數(shù)關(guān)于原點(y軸)對稱得出在(－∞，0]或[0，＋∞)上對應(yīng)的函數(shù)圖像．2．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時，f(x)＝x2＋2x，現(xiàn)已畫出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖像，如圖所示．(1)請補(bǔ)出完整函數(shù)y＝f(x)的圖像；(2)根據(jù)圖像寫出函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間、值域．對點訓(xùn)練解析：(1)由題意作出函數(shù)圖像如圖：(2)據(jù)圖可知，單調(diào)增區(qū)間為(－1,0)，(1，＋∞)，值域為[－1，＋∞)．分段函數(shù)奇偶性的判定類型三典例剖析典例3歸納提升：1.判斷分段函數(shù)的奇偶性，必須分段考慮．2．若分段函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，常用含絕對值符號的函數(shù)表達(dá)式來表示．對點訓(xùn)練解析：函數(shù)f(x)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，當(dāng)x>0時，－x<0，f(－x)＝－(－x)2－2＝－x2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)，當(dāng)x<0時，－x>0，f(－x)＝(－x)2＋2＝x2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)．當(dāng)x＝0時，f(0)＝0，即x＝0時，f(－x)＝－f(x)．綜上所述，x∈R，有f(－x)＝－f(x)，故該函數(shù)為奇函數(shù)．

已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時，f(x)＝x|x－2|，求當(dāng)x＜0時，f(x)的表達(dá)式．思路探究：已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，可利用對稱性求對稱區(qū)間上的解析式．由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式類型四典例剖析典例4解析：令x＜0，則－x＞0.∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|.∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝x|x＋2|.故當(dāng)x＜0時，f(x)的表達(dá)式為f(x)＝x|x＋2|.歸納提升：由函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的解題策略1．函數(shù)具有奇偶性，若只給出了部分區(qū)間上的解析式，則可以利用函數(shù)的奇偶性求出對稱區(qū)間上的解析式，其解題理論為函數(shù)奇偶性的定義．正用定義可以判斷函數(shù)的奇偶性，逆用可以求出函數(shù)在對稱區(qū)間上的解析式．2．結(jié)論：(1)若f(x)是奇函數(shù)，且已知x＞0時的解析式，則x＜0時的解析式只需將原函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)中的x，y分別替換為－x，－y，然后解出y即可．(2)若f(x)是偶函數(shù)，且已知x＞0時的解析式，則x＜0時的解析式只需將原函數(shù)式y(tǒng)＝f(x)中的x替換為－x，y不變，即得x＜0時的解析式．4．若f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)＝x(1－x)，求：當(dāng)x≥0時，函數(shù)f(x)的解析式．解析：當(dāng)x>0時，－x<0，∵當(dāng)x<0時，f(x)＝x(1－x)，∴f(－x)＝－x(1＋x)，又f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x(1＋x)，∴f(x)＝x(1＋x)，又f(0)＝f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0，∴當(dāng)x≥0時，f(x)＝x(1＋x)．對點訓(xùn)練

已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，若對于任意實數(shù)a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，求證：

f(x)為奇函數(shù)．思路探究：因為對于任意實數(shù)a、b都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)，可以先令a、b為某些特殊值，從而得出f(－x)＝－f(x)．抽象函數(shù)的奇偶性類型五典例剖析典例5證明：令a＝0，則f(b)＝f(0)＋f(b)，∴f(0)＝0，再令a＝－x，b＝x，則f(0)＝f(－x)＋f(x)，∴f(－x)＝－f(x)，且定義域x∈R關(guān)于原點對稱，∴f(x)是奇函數(shù)．歸納提升：判斷抽象函數(shù)的奇偶性，應(yīng)利用函數(shù)奇偶性定義，找準(zhǔn)方向，巧妙賦值，合理，靈活變形配湊，找出f(－x)與f(x)的關(guān)系，從而判斷或證明抽象函數(shù)的奇偶性．5．已知函數(shù)y＝f(x)(x∈R)，若對于任意實數(shù)x1、x2，都有f(x1＋x2)＋f(x1－x2)＝2f(x1)