高中數(shù)學(xué)第二講一比較法學(xué)案含解析新人教A版選修4-5

一比較法考綱定位重難突破1.理解和掌握比較法證明不等式的理論依重點：理解和掌握比較法證明不等式的據(jù)．依據(jù)．2.掌握利用比較法證明不等式的一般步難點：1.掌握利用比較法證明不等式的一驟．般步驟．3.通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對轉(zhuǎn)2.通過學(xué)習(xí)比較法證明不等式，培養(yǎng)對轉(zhuǎn)化思想的理解和應(yīng)用.化思想的理解和應(yīng)用.授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第16頁[自主梳理]一、作差比較法1．作差比較法的理論依據(jù)a－b>0?a>b，a－b<0?a<b，a－b＝0?a＝b.2．作差比較法解題的一般步驟：(1)作差；(2)變形整理，(3)判定符號，(4)得出結(jié)論．其中變形整理是解題的關(guān)鍵，變形整理的目的是為了能夠直接判定差的符號，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．二、作商比較法1．作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：(1)b>0，若>1，則a>b；若<1則a<b；(2)b<0，若>1則a<b；若<1則a>b.2．作商比較法解題的一般步驟：(1)判定a，b符號；(2)作商；(3)變形整理；(4)判定與1的大小關(guān)系；(5)得出結(jié)論．[雙基自測]1．當a<b<0時，下列關(guān)系式中成立的是()A.<B．lgb2<lga2C.>1D．a(chǎn)2>b2解析：法一：取特殊值a＝－4，b＝－1，則知選項A，C，D不正確，選項B正確，故選B；法二：∵a<b<0，∴a2>b2.而函數(shù)y＝lgx(x>0)為增函數(shù)，∴l(xiāng)gb2<lga2，B項正確．答案：B2．設(shè)a≠b，則a2＋3b2和2b(a＋b)的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)2＋3b2>2b(a＋b)B．a(chǎn)2＋3b2≥2b(a＋b)C．a(chǎn)2＋3b2<2b(a＋b)D．a(chǎn)2＋3b2≤2b(a＋b)解析：(a2＋3b2)－2b(a＋b)＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2，∵a≠b，∴(a－b)2>0，∴a2＋3b2>2b(a＋b)．答案：A3．比較大小：log________log.解析：＝log·log＝又∵log>log＝1，∴l(xiāng)og>log.答案：>授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第16頁探究一作差比較法[例1]若a＞b＞c，求證：bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.[證明]bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)＝(b－a)(c－a)(c－b)，∵a＞b＞c，∴b－a＜0，c－a＜0，c－b＜0.∴(b－a)(c－a)(c－b)＜0.∴bc2＋ca2＋ab2＜b2c＋c2a＋a2b.1．作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差能否化簡或值是多少．2．變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運用一切有效的恒等變形的方法．3．因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個常數(shù)，或幾個因式積的形式，當所得的“差式”是某字母的二次三項式時，常用判別式法判斷符號．有時會遇到結(jié)果符號不能確定，這時要對差式進行分類討論．1．設(shè)x>0，y>0，則與的大小關(guān)系是_______．解析：－＝＝>0.答案：>探究二作商比較法[例2]已知a，b，c>0，求證：aabbcc≥(abc).[證明]不妨設(shè)a≥b≥c，則a－b，b－c，a－c∈R，且，，都大于等于1，＝abc＝a＝(·a·b·b·c·c)·()·()≥1.∴aabbcc≥(abc).作商比較法證明不等式的一般步驟(1)作商：將不等式左右兩邊的式子進行作商．(2)變形：化簡商式到最簡形式．(3)判斷：判斷商與1的大小關(guān)系，也就是判斷商大于1或小于1或等于1.(4)得出結(jié)論．2．已知a>0且a≠1,0<x<1.求證：|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.證明：＝|log(1＋x)(1－x)|.∵1＋x>1,0<1－x<1，∴l(xiāng)og(1＋x)(1－x)<0，∴|log(1＋x)(1－x)|＝－log(1＋x)(1－x)＝log(1＋x)＝log(1＋x)＝1－log(1＋x)(1－x2)．∵0<1－x2<1,1＋x>1，∴l(xiāng)og(1＋x)(1－x2)<0，∴1－log(1＋x)(1－x2)>1，即>1.∴|loga(1－x)|>|loga(1＋x)|.探究三比較法的實際應(yīng)用[例3]甲、乙二人同時同地沿同一路線走到同一地點，甲有一半時間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，問甲、乙二人誰先到達指定地點？[解析]設(shè)從出發(fā)地點至指定地點的路程為s，甲、乙二人走完這段路程所用的時間分別為t1，t2，依題意有：m＋n＝s，＝t2，＋∴t1＝，t2＝.∴t1－t2＝－＝＝－.其中s，m，n都是正數(shù)，且m≠n，∴t1－t2<0.即t1<t2.從而知甲比乙先到達指定地點．應(yīng)用不等式解決實際問題的方法應(yīng)用不等式解決實際問題時，關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決．也即建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，最后利用不等式的知識來解．在實際應(yīng)用不等關(guān)系問題時，常用比較法來判斷數(shù)的大小關(guān)系，若是選擇題或填空題則可用特殊值加以判斷．3．某人乘出租車從A地到B地，有兩種方案；第一種方案：乘起步價為10元．每千米1.2元的出租車，第二種方案：乘起步價為8元，每千米1.4元的出租車．按出租車管理條例，在起步價內(nèi)．不同型號的出租車行駛的路程是相等的，則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較合適？解析：設(shè)A地到B地距離為m千米．起步價內(nèi)行駛的路程為a千米．顯然當m≤a時，選起步價為8元的出租車比較便宜．當m＞a時，設(shè)m＝a＋x(x>0)，乘坐起步價為10元的出租車費用為P(x)元．乘坐起步價為8元的出租車費用為Q(x)元，則P(x)＝10＋1.2x，Q(x)＝8＋1.4x∵P(x)－Q(x)＝2－0.2x＝0.2(10－x)∴當x>10時，P(x)<Q(x)，此時選擇起步價為10元的出租車較為合適．當x<10時，P(x)>Q(x)，此時選起步價為8元的出租車較為合適．當x＝10時，P(x)＝Q(x)，兩種出租車任選，費用相同．比較法的變形技巧[典例]已知f(x)＝2x2＋1，p，q>0，p＋q＝1，對任意實數(shù)a，b，則pf(a)＋qf(b)與f(pa＋qb)的大小關(guān)系是()A．pf(a)＋qf(b)>f(pa＋qb)B．pf(a)＋qf(b)<f(pa＋qb)C．pf(a)＋qf(b)≥f(pa＋qb)D．pf(a)＋qf(b)≤f(pa＋qb)[解析]pf(a)＋qf(b)－f(pa＋qb)＝p(2a2＋1)＋q(2b2＋1)－[2(pa＋qb)2＋1]＝2p(1－p)a2＋2q(1－q)b2－4pqab＋p＋q－1(*)，∵p＋q＝1，p，q>0.∴(*)式＝2pqa2＋2pqb2－4pqab＝2pq(a－b)2，∵p，q>0，(a－b)2≥0，∴(*)式≥0，∴pf(a)＋qf(b)≥f(pa＋qb)．[答案]C[規(guī)律探究](1)比較法主要用于比較大小和證明不等式，一般來說整式、分式型常用作差變形，無理式即含根號時先通過乘方去掉根號后再作差變形，指數(shù)式及對數(shù)式較復(fù)雜，但符號確定的代數(shù)式常用作商變形．(2)作差變形時，是選擇配方法，還是因式分解法，要視表達式的結(jié)構(gòu)而定，因式分解時要以每個因式都有明確的正負號為目標，對不能直接判定符號的情況應(yīng)采用分類討論的方法．(3)作商變形時，指數(shù)式型的要正確運用指數(shù)運算法則及指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，對數(shù)式型的要正確運用對數(shù)運算法則，換底公式及對數(shù)函數(shù)性質(zhì).[隨堂訓(xùn)練]對應(yīng)學(xué)生用書第18頁1．下列關(guān)系中對任意a<b<0的實數(shù)都成立的是()A．a(chǎn)2<b2B．lgb2<lga2C.>1D．a(chǎn)2>b2解析：∵a<b<0，∴－a>－b>0.(－a)2>(－b)2>0.即a2>b2>0.∴<1.又lgb2－lga2＝lg<lg1＝0.∴l(xiāng)gb2<lga2.答案：B2．已知P＝，Q＝a2－a＋1，那么P、Q的大小關(guān)系是()A．P>QB．P<QC．P≥QD．P≤Q解析：法一：＝(a2－a＋1)(a2＋a＋1)＝(a2＋1)2－a2＝a4＋a2＋1≥1，又∵a2＋a＋1>0恒成立，∴Q≥P.法二：P－Q＝＝，∵a2＋a＋1>0恒成立且a4＋a2≥0，∴P－Q≤0，即Q≥P.答案：D3．若－1<a<b<0，則，，a2，b2中值最小的是________．解析：依題意，知>，a2>b2，故只需比較與b2的大?。驗閎