2022年中考數(shù)學(xué)真題分類練習(xí)：最值問題（學(xué)生版+解析版）

2022年中考數(shù)學(xué)真題分類練習(xí)：最值問題

一、選擇題

1.（2022廣東）點（2,必），（3,%），（4,乂）在反比例函數(shù)>圖象上，則M，%，為，”中

最小的是（）

A.必B.>2C.%D.%

2.（2022賀州）已知二次函數(shù)片2/YxT在OWxWa時，y取得的最大值為15,則a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022安徽）己知點。是邊長為6的等邊的中心，點-在a1外，XABC,l\PAB,4PBC,/\PCA

的面積分別記為s0,S1,52,S3.若S|+S2+S3=2SO,則線段冰長的最小值是（）

A.芷B.—C.3上D.拽

4.（2022梧州）如圖，已知拋物線丁=依2+汝一2的對稱軸是％=一］,直線/〃刀軸，且交拋物線于點

P（X|，y），Q（W，%），下列結(jié)論埼送的是（）

A.Z?2>-8aB.若實數(shù)mH-1,則。一/<3〃2+/wz

C.3a—2>0D.當y>—2時，-x,<0

5.（2022北京）下面的三個問題中都有兩個變量：

①汽車從A地勻速行駛到6地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間*；

③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x,其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以

利用如圖所示的圖象表示的是（）

yf

O\x

A.①②B.①③C.②③D.①②③

6.（2022貴港）如圖，在邊長為1的菱形ABCD中，NA6C=6O。，動點￡?在A8邊上（與點46均不

重合），點廠在對角線AC上，CE與環(huán)相交于點&連接AG,。/，若AF=BE,則下列結(jié)論錯誤的是

（）

D

G

B'C

A.DF=CEB.NBGC=120°C.AF2=EGECD.AG最小值為豆2

3

二、填空題

7.（2022甘肅武威）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一

條拋物線.若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度力（單位：m）與飛行時間，（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系：

h=-5t2+2Qt^則當小球飛行高度達到最高時，飛行時間。=s.

8.（2022賀州）如圖，在矩形被力中，AB=8,BC=6,E,b分別是/〃，48的中點，NADC的平分

線交46于點G,點尸是線段〃。上的一個動點，則APEF的周長最小值為.

三、解答題

9.（2022北京）在平面直角坐標系xO）>中，點（1,〃2）,（3,〃）在拋物線）?=0?+加;+。3>0）上，設(shè)拋物線

的對稱軸為x=r.

（1）當c=2,7"=〃時，求拋物線與y軸交點的坐標及，的值；

（2）點（%,加）（與21）在拋物線上，若機<〃<c，求r的取值范圍及％的取值范圍.

10.（2022廣東）如圖，拋物線ynf+bx+c（b,c是常數(shù)）的頂點為C,與x軸交于4,8兩點，A（l,0）,

A6=4,點尸為線段AB上的動點，過戶作PQ〃3C交AC于點Q.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）求ACPQ面積的最大值，并求此時夕點坐標.

11.(2022福建)在平面直角坐標系x%中，已知拋物線y=a?+法經(jīng)過/(的。)，BC,4)兩點.P

是拋物線上一點，且在直線48的上方.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若△。仿面積是△為6面積的2倍，求點〃的坐標；

(3)如圖，OP交.AB于點、C,PD〃BO交.AB于煎D.記ACDP,/XCPB,△3。的面積分別為5，52,S3.判

+3是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

12.(2022海南)如圖1,矩形ABC。中,AB=6,AD=S,點/在邊5c上，且不與點AC重合，直線

"與。。的延長線交于點￡.

(1)當點一是的中點時，求證：AABP名△￡"；

(2)將△向沿直線小折疊得到AAPB'，點B'落在矩形ABC。的內(nèi)部，延長尸3'交直線AD于點色

①證明E4=F尸，并求出在(1)條件下”的值；

②連接B'C，求△PCB'周長的最小值；

③如圖2,88'交AE于點〃，點G是AE的中點，當NE48=2NA￡?時，請判斷A8與的的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

79

13.(2022貴港)如圖，已知拋物線y=—F+ZJX+C經(jīng)過4(0,3)和3

2，-4兩點，直線A8與x軸相交

于點G〃是直線A8上方的拋物線上的一個動點，POLx軸交A8于點〃.

yjk

（i）求該拋物線的表達式；

（2）若尸石〃x軸交A6于點E,求PD+PE的最大值；

（3）若以4P,〃為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點R點〃的坐標.

14.（2022甘肅武威）如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=；（x+3）（x—。）與x軸交于A,B（4,0）

兩點，點C在y軸上，且OC=OB,D,E分別是線段AC,AB上的動點（點￡?,E不與點A,B,C

重合）.

（1）求此拋物線的表達式；

（2）連接OE并延長交拋物線于點P,當OELx軸，且AE=1時，求OP的長；

（3）連接BO.

①如圖2,將△BCD沿x軸翻折得到ABFG,當點G在拋物線上時，求點G的坐標;

②如圖3,連接CE,當CD=A￡時，求8O+CE的最小值.

15.（2022北京）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后

的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動

員的豎直高度）（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（x—〃）2+依。＜0）.

某運動員進行了兩次訓(xùn)練.

（1）第一次訓(xùn)練時，該運動員的水平距離》與豎直高度y的兒組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m02581114

豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a（x-〃）2+A（a<0）;

（2）第二次訓(xùn)練時，該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=—0.04。-9）2+23.24.記

該運動員第一次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為d，第二次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為4，則44（填

"=，，或

16.（2022北京）在平面直角坐標系xOy中，已知點〃（凡份,乂對于點2給出如下定義：將點尸向右（。20）

或向左3<0）平移同個單位長度，再向上S20）或向下S<0）平移網(wǎng)個單位長度，得到點產(chǎn)，點?關(guān)

于點N的對稱點為。，稱點。為點P的“對應(yīng)點”.

（1）如圖，點M（U）,點N在線段0M的延長線上，若點P（—2,0）,點。為點p的“對應(yīng)點”.

①在圖中畫出點Q；

②連接P。,交線段ON于點T.求證：NT=-OM-,

2

（2）的半徑為1,M是。。上一點，點N在線段O河上，且ON=f（g<t<l）,若尸為外一點，

點。為點P的''對應(yīng)點"，連接P。.當點M在O。上運動時直接寫出尸。長的最大值與最小值的差（用含f

的式子表示）

4

17.(2022梧州)如圖，在平面直角坐標系中，直線,=-§工-4分別與x,y軸交于點4B,拋物線

y=』X?+云+c恰好經(jīng)過這兩點.

18

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點C的坐標是(0,6),將△ACO繞著點。逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ECF,點力的對應(yīng)點是點反

①寫出點￡的坐標，并判斷點￡是否在此拋物線上；

②若點尸是y軸上的任一點，求(8P+EP取最小值時，點一的坐標.

18.(2022海南)如圖1,拋物線^=公2+2%+。經(jīng)過點4(-1,0)、C(0,3),并交x軸于另一點瓦點

P(x,y)在第一象限的拋物線上，轉(zhuǎn)交直線3c于點"

(1)求該拋物線的函數(shù)表達式；

(2)當點尸的坐標為(1,4)時，求四邊形80cp的面積；

PD

(3)點0在拋物線上，當——的值最大且AAPQ是直角三角形時，求點0的橫坐標:

AD

19.(2022安徽)如圖1,隧道截面由拋物線的一部分/口和矩形/物構(gòu)成，矩形的一邊以為12米，另

一邊4?為2米.以留所在的直線為“軸，線段比■的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系XZ%,規(guī)定

一個單位長度代表1米.E(0,8)是拋物線的頂點.

圖1圖2圖3（方案一）圖3（方案二）

（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；

（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“E”型或“FJ”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點［，P4

在x軸上，秘￥與矩形48A與的一邊平行且相等.柵欄總長,為圖中粗線段片PE，AE，版V長度之

和.請解決以下問題：

（i）修建一個“E”型柵欄，如圖2,點8,《在拋物線力旗上.設(shè)點々橫坐標為加（0＜加〈6）,

求柵欄總長/與加之間的函數(shù)表達式和1的最大值；

（H）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的修建“m”型或“R”型柵型兩種設(shè)計方案，

請你從中選擇一種，求出該方案下矩形《巴勺心面積的最大值，及取最大值時點片的橫坐標的取值范圍（耳

在巴右側(cè)）.

20.（2022北部灣）已知NMON=a,點、46分別在射線OM,ON上運動，AB^6.

圖①圖②圖③

（1）如圖①，若e=90°,取四中點D,點A,6運動時，點，也隨之運動，點A,6,〃的對應(yīng)點分別為A',B',D',

連接判斷勿與0。有什么數(shù)量關(guān)系?證明你的結(jié)論：

（2）如圖②，若a=60°，以46為斜邊在其右側(cè)作等腰直角三角形4比；求點。與點C的最大距離：

（3）如圖③，若a=45°,當點46運動到什么位置時，AAQB的面積最大?請說明理由，并求出AAOB

面積的最大值.

2022年中考數(shù)學(xué)真題分類練習(xí)：最值問題參考答案

一、選擇題

4

1.（2022廣東）點（l,yj,（2,必），（3,%），（4,%）在反比例函數(shù)y=一圖象上，則H，>2，為，>4中

最小的是（）

A.必B.必C.%D.y4

4

【答案】解：由反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=-可知：4>0,

x

.?.在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，

?.?點（LyJ,（2,%），（3,%），（4,%）在反比例函數(shù)丁=±圖象上，

X>%>%>”，

故選D.

2.（2022賀州）己知二次函數(shù)片2fYx-l在OWxWa時，y取得的最大值為15,則a的值為（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】解：：二次函數(shù)尸2V-4xT=2（rl）2-3,

拋物線的對稱軸為產(chǎn)1,頂點（1,-3）,

Vl>0,開口向上，

.?.在對稱軸尸1的右側(cè)，y隨x的增大而增大，

?.?當OWxWa時，即在對稱軸右側(cè)，y取得最大值為15,

/.當x=a時，7=15,

A2（a-1）2-3=15,

解得：a=4或a=-2（舍去），

故a的值為4.

故選：D.

3.（2022安徽）已知點0是邊長為6的等邊△/直1的中心，點尸在△4回外，4ABC,△必氏/\PBC,/XPCA

的面積分別記為So，S一邑，若與+邑+邑=250,則線段處長的最小值是（）

A.空B.C.3有D.迪

【答案】解：如圖，

**?S[+S?+S3=S[+(SAPDB+SA8DC)+(S//)八+S^ADC)

=S]+(SAPDB+S^PDA)+(S4BDC+SAAOC)

=S]+SJAJJ+SAABC

二S]+s+S()

=2S[+S0=2S0,

?*,E=-SQ9

設(shè)△力以中力〃邊上的高為九，△乃國中4?邊上的高為〃2，

則So=gAB?4=g?6?43%,

S]=548也=g?6冉3kl,

3b=g?3%,

%—2kl,

???△力歐是等邊三角形，

???）=小2-§）2=36,

h,=~h.=—5/3,

-22

.?.點〃在平行于AB,且到的距離等于|百的直線上，

當點一在例的延長線上時，8取得最小值，

過。作OELBC于E,

：.CP=%+%=36）,

；0是等邊△/回的中心，OEVBC

.?./0叱30°,C^-BC=?>

2

0020E

OE2+CE2=OC2>

：.OE2+32=（2OE）2,

解得小G，

二心26，

：.0P=a^0C=-4?>-2百=工后

22

故選B.

4.（2022梧州）如圖，已知拋物線y=o?+法-2的對稱軸是x=—l,直線/〃入軸，且交拋物線于點

2（石,乂）,。（々,必），下列結(jié)論錯送的是（）

B.若實數(shù)加。一1,則

C.3a—2>0D.當y>-2時，%)-x2<0

【答案】解：；拋物線y="2+歷c-2的對稱軸是x=-i,

b—2a<

?..拋物線開口向上，

??a>0,

b2+Sa=4a2+8a>0，

/.b2>-Sa.故A說法正確，不符合題意；

???拋物線開口向下，拋物線對稱軸為直線產(chǎn)T,

，當下T時，y最小值=。一匕一2,

當實數(shù)相。-1,則a—6一2<0〃/+句“-2，

.?.當實數(shù)相。一1時，a-b<am2+bm>故B說法正確，不符合題意;

,當x=l時，y=a+b-2<0,

：.a+2a-2<0,即3b2<0,故C說法錯誤，符合題意；

?/y>-2,

.??直線1與拋物線的兩個交點分別在y軸的兩側(cè)，

.??尤「工2<0,故D說法正確，不符合題意；

故選C.

5.（2022北京）下面的三個問題中都有兩個變量：

①汽車從A地勻速行駛到Z?地，汽車的剩余路程y與行駛時間x；

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y與放水時間x；

③用長度一定的繩子圍成一個矩形，矩形的面積y與一邊長x,其中，變量y與變量x之間的函數(shù)關(guān)系可以

利用如圖所示的圖象表示的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】解：①汽車從/地勻速行駛到8地，汽車的剩余路程y隨行駛時間x的增大而減小，故①可以利

用該圖象表示；

②將水箱中的水勻速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y隨放水時間x的增大而減小，故②可以利用該

圖象表示；

③設(shè)繩子的長為￡,一邊長x,則另一邊長為

2

則矩形的面積為：y=\^L-x^-x=-x2+^Lx,

故③不可以利用該圖象表示；

故可以利用該圖象表示的有：①②，

故選：A.

6.（2022貴港）如圖，在邊長為1的菱形ABCO中，ZABC=60°,動點后在A3邊上（與點46均不

重合），點廠在對角線AC上，CE與5月相交于點。連接AG,。/，若AF=BE,則下列結(jié)論錯誤的是

（）

A.DF=CEB.NBGC=120°C.AF2=EGECD.AG最小值為逑

3

【答案】解：?.?四邊形/靦是菱形，ZABC=60°,

：.AB-AD=BC=CD,NBA*x(l80°-ZABC)=60°=ZABC，

:.ABA2叢DAF^CBE,比是等邊三角形，

.?.旌"，故A項答案正確，

NABF=NBCE,

,：4ABO/ABR/CB打60°,

：.ZGCB+ZGB^O",

：.ZBG(=18O°-60°=180QZGCB^/GBC)=120°,故B項答案正確，

■:NAB戶NBCE,ABEOACEB,

:.叢BEGs^CEB,

.BECE

??=,

GEBE

???BE2=GE?CE，

,/AF=BE,

/.AF2=GE.CE，故C項答案正確，

VZBGC=120°,除1,點G在以線段況為弦的弧比上，

，當點G在等邊△4?。的內(nèi)心處時，4G取最小值，如下圖，

:△/歐是等邊三角形，BOX,

：.BFLAC,A^\AC=\,/必足30°,

：.AG-2GF,/=蕾+―，

(I、2z-x2解得［R且，故D項錯誤,

AAG2=-AG+-

、2)【2,3

故應(yīng)選：D

二、填空題

7.（2022甘肅武威）如圖，以一定的速度將小球沿與地面成一定角度的方向擊出時，小球的飛行路線是一

條拋物線.若不考慮空氣阻力，小球的飛行高度〃（單位：m）與飛行時間，（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系:

〃=一5『+20,則當小球飛行高度達到最高時，飛行時間。=s.

【答案】解：?.?1-5/+20后-5（L2）2+20,

且-5V0,

...當t=2時，力取最大值20,

故答案為：2.

8.（2022賀州）如圖，在矩形4㈱中，AB=S,BC=6,E,尸分別是4446的中點，NAPC的平分

線交48于點。，點一是線段加上的一個動點，則&PEF的周長最小值為.

【答案】解：如圖，在切上取點〃，使嬌/連接以PH,過點尸作“于點4,

在矩形中，ZA=ZAD（=90°,AD=BC=6,CD=A48,

：.△應(yīng)7/為等腰直角三角形，

■:DG平-分匕ADC,

.?.比■垂直平分包/,

:.P斤PH,

：.APEF的周長等于PE+PF+EF^PihPF+EF^FUPrEF,

二當點八P、，三點共線時，△尸所的周長最小，最小值為的外

■:E,1分別是M48的中點，

二心鹿=嬌3,仍4,

:.E戶5,

■:FK1CD,

:.NDK六NA=NADO9&,

???四邊形4晰為矩形，

.?.游止4,小小6,

：.HK=\,

FH=yjFK2+HK2=737,

:.F小EH+E，即4P￡尸的周長最小為5+歷.

故答案為：5+歷

三、解答題

9.（2022北京）在平面直角坐標系xOy中，點（1,加）,（3,〃）在拋物線丁=以2+法+。3>0）上，設(shè)拋物線

的對稱軸為x=f.

（1）當c=2,〃z=〃時，求拋物線與y軸交點的坐標及f的值；

（2）點（/，加）（X0r1）在拋物線上，若加<〃<G求f的取值范圍及』的取值范圍.

【答案】（1）（0,2）；2

3

（2），的取值范圍為/</<2,%的取值范圍為2</<3

【解析】

【分析】（1）當尸0時，尸2,可得拋物線與y軸交點坐標；再根據(jù)題意可得點（1,加）,（3,〃）關(guān)于對稱軸

為為=，對稱，可得r的值，即可求解；

（2）拋物線與y軸交點關(guān)于對稱軸x=，的對稱點坐標為（2八c）,根據(jù)拋物線的圖象和性質(zhì)可得當xWt時，

y隨x的增大而減小，當%>/時，y隨x的增大而增大，然后分兩種情況討論：當點（1,機），點（3,〃），（23

c）均在對稱軸的右側(cè)時；當點（1,〃。在對稱軸的左側(cè)，點（3,〃），（23c）均在對稱軸的右側(cè)時，即可求

解.

（1）ft?：當c=2時，y=cuc2+hx+2,

:.當x=Q時,7=2,

???拋物線與y軸交點的坐標為（0,2）；

?/m=n,

.??點（1,m）,（3,n）關(guān)于對稱軸為％=%對稱，

1+3△

/.t=----=2；

2

（2）解：當A=0時，y=c,

.,.拋物線與y軸交點坐標為（0,c）,

.?.拋物線與y軸交點關(guān)于對稱軸％=，的對稱點坐標為（23c）,

a>0,

...當xW,時，y隨x的增大而減小，當時，y隨x的增大而增大,

當點（1,加），點（3,〃），（23c）均在對稱軸的右側(cè)時,t<1.

m<n<c,1<3,

3

/.2t>3,即2>一（不合題意，舍去），

2

當點（1,m）在對稱軸左側(cè)，點（3,〃），（2f,c）均在對稱軸的右側(cè)時，點（％,加）在對稱軸的右側(cè)，1<。<3,

此時點（3,n）到對稱軸x=/距離大于點（1,〃?）到對稱軸x=，的距離，

：.t-l<3-t,解得：t<2,

.".2t>3,即r>3,

2

3°

..—<f<2,

2

V(x0,m),(1,m),對稱軸為x=t,

?._xo+1

??I—,

2

解得：2<X0<3,

3

：.t的取值范圍為一<r<2,x0的取值范圍為2<為<3.

2

10.(2022廣東)如圖，拋物線ynf+bx+c(b,c是常數(shù))的頂點為C,與x軸交于4,8兩點，A(1,O),

A6=4,點尸為線段AB上的動點，過戶作PQ〃3c交AC于點Q.

Ax

(1)求該拋物線的解析式；

(2)求ACPQ面積的最大值，并求此時尸點坐標.

【答案】

(1)解：；點4(1,0),AB=4,

.?.點6的坐標為(-3,0),

將點/(I,0),B(-3,0)代入函數(shù)解析式中得：

0=l+Z?+c

[0=9-3。+?！?/p>

解得：b=2,c=-3,

拋物線的解析式為y=F+2x—3；

(2)解：由(1)得拋物線的解析式為y=/+2x—3,

頂點式為：y=(x+l)2-4,

則C點坐標為：(-1,-4),

由6(-3,0),C(-1,-4)可求直線比的解析式為：尸-2尸6,

由/(I,0),C(-l,-4)可求直線4c的解析式為：尸2尸2,

'：PQ//BC,

設(shè)直線圖的解析式為：尸-2日〃，與x軸交點/{5()),

在線段46上,

."的取值范圍為

則S&CPQ—SMPA—

n-2

x4——x

2~2~

2)2+2

...當爐-2時，即一"1,0)時，Sa”。最大，最大值為2.

11.(2022福建)在平面直角坐標系宜〃中，已知拋物線y=經(jīng)過/(4,0),B(1,兩點.P

是拋物線上一點，且在直線47的上方.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若△力6面積是△為6面積的2倍，求點？的坐標；

(3)如圖，冰交48于點C,PD〃BO交AB于點D.記△a",XCPB,△曲的面積分別為S1,S2,S3.判

5s

斷寸+才是否存在最大值.若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由.

【答案】

(1)解：(1)將4(4,0),6(1,4)代入丫=依2+笈，

16a+4Z?=0

得4,

[a+b=4-

4

a=——

3

解得，,?

所以拋物線的解析式為y=-^x2+^-x.

(2)設(shè)直線16的解析式為y=Ax+f(攵wO),

將1(4,0),B(1,4)代入y=

4k+t-0

得《

k+t=4

k一

3

解得《

16

t=—

3

416

所以直線4?的解析式為y=-§x+、.

過點尸作RJUx軸，垂足為機PM交AB于懸N.

過點6作施二掰垂足為日

p

X

所以S&PAB=S^PNB+S&PNA

=！PNxBE+!PNxAM

22

/PNx（BE+AM）

=*

因為八4,。），〃。，4）,所以5_《><4><4=8.

因為△勿8的面積是△處8面積的2倍，

所以2x^PN=8,PN=~.

23

設(shè)P（，九，一件m？+與〃?）（1<〃？<4）,則N,〃，一&"?+

所以吶=（一加2+牛機）一（一刎+塔哈

48

-〃-

20一16-

3333

解得g=2,加2=3.

所以點尸的坐標為（2,5）或（3,4）.

（3）VPD//B0

:AOBCS^PDC

CDPDPC

.法一而一元

SS廠opr）

記△czw,I\CPB,的面積分別為S],s,S3.則￡■+￡■=方方=-----

yS2s3BCOCOB

如圖，過點反尸分別作x軸的垂線，垂足分別尸,后，PE交AB于點Q,過。作x的平行線，交PE于點G

???8(1,4),

??.*1,0)

：.OF=1

?：PD〃OB,DG〃OF

：.^DPG~^￡,OBF

PDPGDG

設(shè)+牛〃z)(l<m<4)

416

???直線AB的解析式為y=—X+y.

，/416

設(shè)?！═〃+號,則Gm,--n+—

\JJ

416416

PG=——m2+—m+—n-----

3333

=g(加2-4772-n+4)

DG=m-n

4.

—(m-4m-n+4)

3、_m-n

~~T

整理得4〃=加2—m+4

.S】S?=CDPC=?PD

一S2S3"BCOC~~OB

^DG

—2-----

OF

二2(加一力)

5ssQ

二根=一時，U+K取得最大值，最大值為一

2邑S38

12.(2022海南)如圖1,矩形ABQ9中，AB=6,AO=8,點/在邊3c上，且不與點8、C重合，直線

針與DC的延長線交于點￡.

(1)當點尸是5c的中點時，求證：；

(2)將沿直線4＞折疊得到AAPB'，點8'落在矩形A8CD的內(nèi)部，延長交直線AD于點尸.

①證明￡4=尸尸，并求出在(1)條件下質(zhì)的值；

②連接B'C，求周長的最小值；

③如圖2,BB'交AE于點兒點G是AE的中點，當NE43'=2NAEB’時，請判斷A8與用的數(shù)量關(guān)系,

并說明理由.

【答案】

(1)解：如圖9-1,在矩形A8C。中，AB\\DC,

圖9-1

即AB//DE^

：.N1=NE,NB=N2.

?.?點。是BC的中點，

,BP=CP.

AABP^A￡CP(AAS).

(2)①證明：如圖9-2,在矩形ABC。中，AD//BC,

DE

N3=NE4P.

由折疊可知N3=N4,

???ZE4P=N4.

；?FA=FP.

在矩形ABC。中，BC=AD=8，

?.?點戶是3c的中點,

BP=-BC=-xS=4.

22

由折疊可知AB'=AB=6,P8'=P8=4,NB=NAB'P=NAB'F=90。.

設(shè)E4=x,則a=x.

FB'=尤—4.

在RtMF中，由勾股定理得A/2=B'A1+B'F2，

x2=62+(x-4)2,

CAPCB.=CP+PB'+CB'=CB+CB'=8+CB'.

由兩點之間線段最短可知，

當點8'恰好位于對角線AC上時，CB'+AB'最小.

連接AC，在用AAOC中，Z￡>=90°,

AC=y]AD2+DC2=V82+62=10-

.?.C琮小值=AC-河=10-6=4,

???GPCB，最小值=8+C&=8+4=12-

③解：A8與形的數(shù)量關(guān)系是AB=2HG.

理由是：如圖9-4,由折疊可知N1=N6,A?=43,33'LAE.

過點B'作B'M//DE，交AE于點M,

?/AB//DE，

/.AB//DE//B'M，

N1=N6=N5=ZA￡D.

，AB'=B'M=AB，

.??點〃是A"中點.

：/EAR'=2/AEQ,即N6=2N8,

Z5=2Z8.

???N5=N7+N8,

/.Z7=Z8.

，RM=EM.

?.?點G為AE中點，點〃是AM中點，

AG=-AE,AH=-AM.

22

HG=AG-AH=-（AE-AM）=-EM.

22

：.HG=-AB.

2

AB=2HG.

13.（2022貴港）如圖，已知拋物線丁=一/+區(qū)+。經(jīng)過40,3）和兩點，直線A8與x軸相交

于點C,〃是直線AB上方的拋物線上的一個動點，軸交AB于點〃

yjk

（i）求該拋物線的表達式；

（2）若尸石〃x軸交45于點E,求PD+PE的最大值；

（3）若以4P,〃為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點R點〃的坐標.

【答案】

⑴解:（1）??,拋物線y=f2+foc+c經(jīng)過40,3）和嗚,一皆兩點,

c=3

?JJ、27A9

I224

解得：b=2,c=3,

拋物線的表達式為y=—/+2》+3.

(2)解:VA(0,3),B

直線AB表達式為y=—；x+3,

?..直線AB與x軸交于點C,

.?.點C的坐標為(2,0),

：PZ)_Lx軸，PE||x軸，

；?R14DPEsRt/\AOC，

PDOA3

??___—____—,

PEOC2

PE=-PD,

3

25

則PD+PE=PD+-PD=-PD,

33

設(shè)點尸的坐標為(根，一根2+2m+3),其中〃?>0,

則點〃的坐標為卜”,一?m+3),

7Y49

-+一

^)16

245

PD+PE=

——<0，

3

7245

.?.當」時，PD+PE有最大值，且最大值為至.

448

(3)解：根據(jù)題意，

3

在一次函數(shù)y=-5x+3中，令y=0,則x=2,

.?.點C的坐標為(2,0)；

當時，如圖

此時點，與點C重合，

二點〃的坐標為(2,0)；

?/軸，

.,.點尸的橫坐標為2,

二點一的縱坐標為：y=-22+2x2+3=3,

二點4的坐標為(2,3)；

當AAOCs4Mp時，如圖，則APLA8,

設(shè)點￡>["?,-1■機+3),則點。為尸(團,一小2+2加+3),

-m2+2m+3-3

=-m+2,

m—0

***^AP*^AB=-1，氏AB=

?**(m+2)x(-^)二一1，

4

m=—

3

???點〃的坐標為，點〃的坐標為

?,?滿足條件的點R點〃的坐標為尸(2,3),0(2,0)或P

14.(2022甘肅武威)如圖1,在平面直角坐標系中，拋物線y=；(x+3)(x-a)與X軸交于A,3(4,0)

兩點，點C在，軸上，且OC=O3,D,E分別是線段AC，AB上的動點(點。，E不與點A,B,C

重合).

(1)求此拋物線的表達式；

(2)連接OE并延長交拋物線于點P,當OELx軸，且AE=1時，求。P的長；

(3)連接BD.

①如圖2,將△BCD沿龍軸翻折得到ABEG，當點G在拋物線上時，求點G的坐標;

②如圖3,連接CE,當C￡>=AE時，求8D+CE的最小值.

【答案】

(1)解：；B(4,0)在拋物線y=；(x+3)(x—a)上，

.?.；(4+3)(4—a)=0,解得a=4,

y=；(x+3)(x-4),即y=；x2_；x_3；

(2)在y=；(x+3/x—4)中，令y=0,得玉=-3,x2=4,

A(-3,0),OA—3,

?.?OC=OB=4,

C(0,4),

AE=\，

OC44

...DE^AE-tanZCAO^AE——=lx—=—,

OA33

OE=Q4—AE=3-1=2,

￡(-2,0),

<?￡>E_Lx軸，

=

?**Xp=X[)Xp=12f

i3

2+3)(-2-4)=-萬，

3

PE=~,

2

4317

DP=DE+PE=-+-=—.

326

(3)①連接。G交AB于點M,如圖1所示：

???△BCD與ABFG關(guān)于x軸對稱，

DGLAB,DM=GM,

設(shè)OM=a(a>0),則AM=Q4—OA/=3—a,

4

MG=MD=AM-tanZCAO=-(3-a),

4-

G—3),

4~]i

???點G-a,-(tz-3)在拋物線y=1(x+3)(x—4)上，

i4

/.1(-Q+3)(-Q-4)=§(Q-3),

4

解得6=3(舍去)，a)=—,

一3

時w)；

②在A8下方作NE4Q=NOC8且AQ=3C,連接EQ,CQ,如圖2所示:

AE=CD,

：.A4EQ三△CDB（SAS）,

EQ=BD,

當C,E，。三點共線時，8D+CE=EQ+CE最小，最小為CQ,

過C作C〃J_AQ,垂足為“，

VOC^OB,0C=QB=4,

/CBA=45°,BC=472，

：ZCAH=180°—ZCAB-ZEAQ=180°-ZCAB-ZDCB=ZCBA=45°,

AC=VOA2+OC2=A/32+42=5'AH=CH=AC=5f>

HQ=AH+AQ=AH+BC=^+4g=^^，

.'-CQ=ylCH2+HQ2

=屈,

即30+CE的最小值為質(zhì).

15.（2022北京）單板滑雪大跳臺是北京冬奧會比賽項目之一，舉辦場地為首鋼滑雪大跳臺，運動員起跳后

的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，建立如圖所示的平面直角坐標系，從起跳到著陸的過程中，運動

員的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數(shù)關(guān)系y=a（無一〃）2+&（。<0）.

某運動員進行了兩次訓(xùn)練.

（1）第一次訓(xùn)練時，該運動員的水平距離x與豎直高度y的幾組數(shù)據(jù)如下:

水平距離x/m02581114

豎直高度y/m20.0021.4022.7523.2022.7521.40

根據(jù)上述數(shù)據(jù)，直接寫出該運動員豎直高度的最大值，并求出滿足的函數(shù)關(guān)系y=a（x-/O2+%（a<o）；

（2）第二次訓(xùn)練時,該運動員的豎直高度y與水平距離x近似滿足函數(shù)關(guān)系y=-0.04（x-9）2+23.24.記

該運動員第一次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為4,第二次訓(xùn)練的著陸點的水平距離為4，則44（填

或

【答案】

（1）解：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，拋物線的頂點坐標為：（8,23.20）,

/./?=8,k—23.20?

即該運動員豎直高度的最大值為23.20m,

根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可知，當x=0時，>=20.00,代入y=a（x—8）2+23.20得：

20.00=a（0-8）2+23.20,解得：。=-0.05,

函數(shù)關(guān)系關(guān)系式為：y=-0.05（x-8）2+23.20.

（2）設(shè)著陸點的縱坐標為f,則第一次訓(xùn)練時，f=-0.05（x-8）2+23.20,

解得：x=8+也0（23.20-1）或x=8-j20（23.20-f）,

，根據(jù)圖象可知，第一次訓(xùn)練時著陸點水平距離d=8+^20（23.20—1）,

第二次訓(xùn)練時，z=-0.04（x-9）2+23.24,

解得：x=9+j25（23.24-r）或x=9-j25（23.24-f）,

...根據(jù)圖象可知，第二次訓(xùn)練時著陸點的水平距離%=9+525（23.247）,

???20（23.20-7）V25（23.24T）,

J20（23.20T）VJ25（23.24T）,

/.d}<d2.

故答案為：V.

16.（2022北京）在平面直角坐標系xOy中，已知點對于點p給出如下定義：將點p向右（。20）

或向左（。<0）平移同個單位長度，再向上S?o）或向下（6<0）平移四個單位長度，得到點尸，點尸關(guān)

于點N的對稱點為。，稱點。為點P的“對應(yīng)點

（1）如圖，點點N在線段的延長線上，若點P（—2,0）,點。為點p的“對應(yīng)點”.

①在圖中畫出點。；

②連接P。,交線段QV于點T.求證：NT^-OM-

2

(2)的半徑為1,“是。。上一點，點N在線段OM上，且ON=f(g</<l),若P為。。外一點，

點。為點P的“對應(yīng)點”，連接PQ.當點M在OO上運動時直接寫出R2長的最大值與最小值的差(用含f

的式子表示)

【答案】

(1)解：①點0如下圖所示.

?.?點

.?.點P(-2,0)向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到點尸，，

??.P'(-Ll)，

???點P'關(guān)于點N的對稱點為。，N(2,2),

???點。的橫坐標為：2x2-(—1)=5,縱坐標為：2x2—1=3,

???點。(5,3),在坐標系內(nèi)找出該點即可；

②證明：如圖延長放至點A(3,3),連接四,

AQHOP,

：.ZAQT=ZOPT,

在MQT與A/OPT中，

ZAQT=ZOPT

<ZATQ=NOTP,