2022年中考數(shù)學壓軸題型幾何探索專題（含答案）

2022年中考壓軸題型(三)規(guī)律探索

1.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,在CB上截取CD=CA,連接A。，過點C作CE

,43于點E,交A。于點F.

(1)如圖1,若。為BC邊的中點，且CE=2,BE=4,求線段AO的長度；

(2)如圖2,過點C作CG_LAO于點G,延長CG交A8于點”，連接BG.若N1=N

2,求證：CF+BH=\[2BG.

(3)如圖3,過點C作CGLAO于點G,把△4GC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的△

AGC為△AG'C,過點A作直線AM〃G'C交直線A'C于點M,連接8M.當4C=

。8=加時，直接寫出線段8M的最小值.

C

4>

AE

圖1

2.數(shù)學課上，有這樣一道探究題.如圖，已知△48C中，AB=AC=m,BC=n,ZBAC=a

（0°<a<180°）,點P為平面內(nèi)不與點A、C重合的任意一點，連接CP,將線段CP

繞點P順時針旋轉(zhuǎn)a,得線段PD,連接CD、AP點E、F分別為BC、C￡>的中點，設(shè)直

線AP與直線EF相交所成的較小角為仇探究旦2的值和。的度數(shù)與〃八小a的關(guān)系.

AP

請你參與學習小組的探究過程，并完成以下任務：

【問題發(fā)現(xiàn)】（1）

小明研究了a=60°時，如圖1,旦工=,0=；

PA

小紅研究了a=90°時，如圖2,旦工=,0=；

PA

【類比探究】他們又共同研究了a=120°時，如圖3,也求出了旦2的值和B的度數(shù)；

PA

【歸納總結(jié)】最后他們終于共同探究得出規(guī)律：里=_____________（用含根、〃的式子表

PA一

示）；P=（用含a的式子表示）.

（2）求出a=120°時毀的值和0的度數(shù).

PA

B

3.（1）【探究發(fā)現(xiàn)】

如圖1,正方形ABCD兩條對角線相交于點0,正方形AiBiCiO與正方形ABC￡>的邊長

相等，在正方形4B1C10繞點。旋轉(zhuǎn)過程中，邊04交邊AB于點邊0。交邊BC

于點M則①線段BM、BN、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是.

②四邊形0MBN與正方形ABCD的面積關(guān)系是SmmOMBN=S正方形ABS；

（2）【類比探究】

如圖2,若將（1）中的“正方形ABC?！备臑椤昂?0°的菱形ABC。"，即NBiO￡）i=/

D4B=60°,且菱形OBiCiO與菱形48co的邊長相等.當菱形OBiCid繞點。旋轉(zhuǎn)

時，保持邊。助交邊AB于點M,邊。Ci交邊BC于點N.

請猜想：

①線段BM、BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系是；

②四邊形0MBN與菱形ABCD的面積關(guān)系是S四邊形OMBN=S娜ABCD；

請你證明其中的一個猜想.

（3）【拓展延伸】

如圖3,把（2）中的條件“/BiO￡>i=/D4B=60°”改為uZDAB=ZB\0Di=an,

其他條件不變，則

①BM+BN=.（用含a的式子表示）

BD

②邊形OMBN=________.（用含a的式子表示）

S菱形ABCD

圖1圖2圖3

4.如圖1,己知點G在正方形ABC。的對角線AC上，GELBC,垂足為點E,GF1CD,

垂足為點F.

(1)證明與推斷：

①求證：四邊形CEG尸是正方形；

②推斷：旭的值為_________.

BE-

(2)探究與證明：

將正方形的CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<a<45°),如圖2所示，試探究線段

AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)拓展與運用：

正方形CEG尸在旋轉(zhuǎn)過程中，當8、E、尸三點在一條直線上時，如圖3所示，延長CG

交AO于點”，若AG=4,G”=&,則BC=.

圖⑴圖(2)圖(3)

5.(1)【探究發(fā)現(xiàn)】

如圖1,/EOF的頂點。在正方形ABC。兩條對角線的交點處，Z￡OF=90°,將NEOF

繞點O旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，NEOF的兩邊分別與正方形ABCZ)的邊和8交于點E

和點尸(點尸與點C,。不重合).則CE,CF,8c之間滿足的數(shù)量關(guān)系是.

(2)【類比應用】

如圖2,若將(1)中的“正方形ABCZT改為“NBCZ)=120°的菱形ABC。"，其他條

件不變，當NEOF=60°時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，

請猜想結(jié)論并說明理由.

(3)【拓展延伸】

如圖3,ZBOD=120°,0。=旦，OB=4,0A平分/BO。，AB=VT^,且0B>20A,

4

點C是OB上一點，ZCAD=60°,求0C的長.

圖1圖2圖3

6.（1）【問題發(fā)現(xiàn)】

如圖①，正方形AEFG的兩邊分別在正方形ABCD的邊AB和A。上，連接CF.

填空：

①線段CF與DG的數(shù)量關(guān)系為；

②直線CF與DG所夾銳角的度數(shù)為.

（2）【拓展探究】

如圖②，將正方形AEFG繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成

立，請利用圖②進行說明.

（3）【解決問題】

如圖③，ZVIBC和△AOE都是等腰直角三角形，N8AC=ND4E=90°,A8=AC=10,O

為AC的中點.若點Z）在直線上運動，連接0E,則在點。的運動過程中，線段0E長

的最小值為（直接寫出結(jié)果）.

參考答案與試題解析

1.如圖，在RtZXABC中，ZACB=90Q,在C3上截取CD=C4,連接AZ),過點C作CE

_LAB于點E,交AD于點F.

(1)如圖1,若。為8c邊的中點，且CE=2,BE=4,求線段AO的長度；

(2)如圖2,過點C作CGLA。于點G,延長CG交AB于點H,連接BG.若Nl=/

2,求證：CF+BH=*^BG.

(3)如圖3,過點C作CGJ_A。于點G,把△AGC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)后的△

4GC為△4'G'C,過點A作直線AM〃G'C交直線A'C于點M,連接當AC=

加時，直接寫出線段的最小值.

A

圖1圖2圖3

【分析】(1)根據(jù)勾股定理求出C8,因。為BC中點且CD=C4,則可計算出CO和CA,

再利用勾股定理求出AD即可：

(2)根據(jù)A4S證△AG”絲△CGF,得出C￡>2=Z)G?A。，AD=?CD,再證△AOBs4

BDG,得出BD=CD,BA=&8G,再利用等量代換即可得證結(jié)論；

(3)根據(jù)G'C〃AM,得N4WC=NA'CG'=45°=ZCDA,即可得出何在以A3為直徑,

G為圓心的圓上運動，即當例在BG上時，最小，證ADBMsABNC,根據(jù)線段比

例關(guān)系即可求得此時的BM.

【解答】解：(1)：CE=2,BE=4,且CE_LA8,

?*-CS=VCE2+BE2=V22+42=2^，

為8C的中點，

.\CD=ACB=V5>

2

在RtZ\4C￡>中，ZACB=90°,CD=CA=\r5,

???AQ=JcD2KA2=J(泥產(chǎn)+(痛)2=折；

(2)"：AC=CD,且CGJ_A。，

：.AG=GC=GD,ZAGH=90°,

VZ1+ZCHE=ZDAB+ZCHE=90°,

又?：NAGH=NCGF=90°,AG=CG9

：./\AGH^/\CGF(A4S),

:?CF=AH,

AD2=AC2+CD1=2CD2,GD=XAD,

2

C.CD^^DG-AD,AD=y/^CD,

"：ZDAB=Z\=Z2,S.ZADB=ZGDB,

：.△ADBsABDG,

?BD=DA=BA(

,?麗BDBG，

:.Ba=DG?AD=C》,

：.BD=CD,

:.型=也=近,

BGCD

：.BA=y[2BG,

:BA=BH+AH,AH=CF,

:.BH+CF=?BG；

(3)'：G'C//AM,

：.ZAMC=N4'CG'=45°=NCDA,

：.A.C、D、M四點共圓，M在以AO為直徑，G為圓心的圓上運動,

.?.當M在3G上時，MB最小,

?:AC=CD=近,

：.AD^2,

：.AG=DG=\,

如圖3,延長3G交圓G于N,連接CMDM,

：.MN=AD=2,

VZN+ZCDW=180°,ZBDM+ZCDM=\SO0,

NN=NBDM,

又,：4DBM=4DBM,

:ADBMsABNC,

?BM=BC

,?麗麗’

?BM的

??—,—■=:,

V2BM+2

即8M?8W+2）=&X2A/2.

解得8知=遙-1或-遙-1（舍去）,

故線段8M的最小值為遙-1.

AA'

【點評】本題主要考查勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)

等知識點，準確找出M點的運動軌跡和MB最小時M點的位置是解題的關(guān)鍵.

2.數(shù)學課上，有這樣一道探究題.

如圖，已知△ABC中，AB=AC=m,BC=n,ZBAC=a(0°<a<180°)，點P為平

面內(nèi)不與點A、C重合的任意一點，連接CP,將線段CP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)a,得線段

PD,連接C。、AP點、E、F分別為BC、CO的中點，設(shè)直線AP與直線E尸相交所成的

較小角為B，探究旦旦的值和0的度數(shù)與機、"、a的關(guān)系.

AP

請你參與學習小組的探究過程，并完成以下任務：

(1)填空：

【問題發(fā)現(xiàn)】

小明研究了a=60°時，如圖1,求出了22的值和p的度數(shù)分別為里=1,0=

PAPA-2一

60°；

小紅研究了a=90°時，如圖2,求出了工上的值和0的度數(shù)分別為旦2=1，0=

PAPA—2一

45°；

【類比探究】

他們又共同研究了a=120°時，如圖3,也求出了巫的值和p的度數(shù)；

PA

【歸納總結(jié)】

最后他們終于共同探究得出規(guī)律：變=旦（用含機、n的式子表示）；0=

PA-2m-

18。°<（用含。的式子表示）.

2.

（2）求出a=120°時毀的值和0的度數(shù).

PA

【分析】（1）當a=60°時，AABC和△POC都是等邊三角形，可證△AC「s△￡（；下,

從而有22」，Z2=p=ZACB=60°；

AP2

當a=90°時，ZSABC和△POC都是等腰直角三角形，同理可證△ACPsa/cF即可解

決，依此可得出規(guī)律；

（2）當a=120°,可證出"2,空”2,從而有更工由NEC/=NACP,可

AC2CP2CFCP

得△PCAS^FCE即可解決問題.

【解答】解：（1）如圖1,連接AE,PF,延長EF、AP交于點Q,

當a=60°時，△ABC和△PDC都是等邊三角形，

，/PC￡)=NACB=60°,PC=CD,AC=CB,

,：F,E分別是CO、BC的中點，

?.?-C-F=1，-C-E-zz--1，

PC2AC2

.CFCE

"PC'AC"

又ZACP=ZECF,

：./XACP^/XECF,

.?旦」，ZCEF=ZCAP,

AP2

，/Q=B=/ACB=60°,

當a=90°時，△ABC和△PCC都是等腰直角三角形,

B

圖2

；尸、E分別是C。、BC的中點，

?CE_1CF_1

'KF'PCW

???CFCE,

PCAC

又?：NACP=NECF,

AACP^AECF,

...EF1_^/2

NCEF=/CAP,

APV22

???/Q=0=NAC8=45°,

由止匕可歸納出里02JL,B=NACB=&;二2

APACm2m2

(2)當a=120°,連接AE,PF,延長AP交于點Q,

圖3

■：AB=AC,E為5c的中點,

J.AELBC,ZCAE=60°

.\sin60°

AC2

同理可得：受巫，

CP2

???C-E二CF,

ACCP

??.-C-E~CA,

CFCP

又,：NECF=ZACP,

：.IXPCAs/\FCE,

AEF^=fEC=2/3,）/CEF=NCAP,

APAC2

：.ZQ=^=ZACB=30°.

【點評】本題主要考查了三角形相似的判定與性質(zhì)，通過解決本題感受到：圖形在變化

但解決問題的方法不變，體會“變中不變”的思想.

3.（1）【探究發(fā)現(xiàn)】

如圖1,正方形ABCZ）兩條對角線相交于點0,正方形A181。。與正方形A8CZ）的邊長

相等，在正方形4B1G0繞點O旋轉(zhuǎn)過程中，邊04交邊AB于點M,邊0。交邊8c

于點M則①線段BM、BN、AB之間滿足的數(shù)量關(guān)系是AB=BN+BM.

②四邊形0MBN與正方形ABCZ）的面積關(guān)系是S四邊形OMBN=———S正方形ABCD;

4

（2）【類比探究】

如圖2,若將（1）中的“正方形ABCZT改為“含60°的菱形A8C?！保?BiO￡>i=N

DAB=60°,且菱形OBiCi。與菱形ABC。的邊長相等.當菱形OBiCiDi繞點。旋轉(zhuǎn)

時，保持邊。囪交邊AB于點M,邊0。交邊8c于點M

請猜想：

①線段BM、BN與AB之間的數(shù)量關(guān)系是BN+BM=LB；

2

②四邊形0MBN與菱形ABCD的面積關(guān)系是S四邊形OMBN=J_S哪ABCD；

-8―

請你證明其中的一個猜想.

（3）【拓展延伸】

如圖3,把（2）中的條件“N8iO￡>i=/D4B=60°”改為“/D4B=/8i0￡>i=a"，

其他條件不變，則

①辿典_=sin烏；（用含a的式子表示）

BD2一

②包型型吧=_工墟（用含0的式子表示）

S菱形ABCD22

圖1圖2圖3

【分析】(1)證明△AOM絲/SBON(ASA),推出AM=8N,可得結(jié)論；

(2)猜想：BM+BN=1AB,S四邊彩OMBN=2S箜形ABCD.如圖2中，連接MN.將△OBN

28

繞點。順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△OHM,證明AH=H8,可得結(jié)論；

(3)如圖3中，在A8上取一點的H,連接O”，使得。"=。8,證明△OBN四△OH例

CAAS),推出“M=BM可得BN+BM=BH,再利用△BAQSABOH,可得結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖1中，

圖1

,/四邊形ABCD是正方形，

：.AC±BD,ZOAB=ZOBC=45°,OA=OB,

'：ZAiOCi=ZAOB=9Q°,

，ZAOM=NBON,

在△4OM和△BON中，

，ZOAM=ZOBN

<OA=OB，

ZAOM=ZBON

：.4AOM9叢BON(4S4),

：.AM=BN,

,.?A8=AM+8M,

:?AB=BN+BM,

S”d）M=S"ON，

??S四邊形OA/BN-S/^AOB--^-S正方形ABC。,

4

故答案為：AB=BN+BM,A；

4

（2）猜想：BM+BN=^AB,S四邊影0MBN=4差形A8CD.

28

理由：如圖2中，連接用M

D

G

圖2

:四邊形48C￡>是菱形，/BiODi=NDAB=60°,

：.AABC=\20°,

:NM0N+/MBN=180°,

：.O,M,B,N四點共圓，

：./OMN=NOBN=60°,

VZMON=60°,

.?.△MON是等邊三角形，

：.0M=0N,

將△08V繞點0順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△OHM,

?：OM=ON,ZOMB+ZONB=\m0,

邊BN剛好落在AB上，即為MH,

：.BM+BN=BH.

"：OB=OH,NBOH=60°,

：.40BH是等邊二角形，

:?BH=OB=1AB,

2

:.BM+BN=LAB,

2

,S四邊形0M8N-S&OBH——S^OBA-2-S菱形A8C。.

28

故答案為：BM+BN=LAB,工；

28

(3)如圖3中，在A5上取一點的從連接。/7,使得0”=05,

圖3

?：OH=OB,

：?/OBH=/OHB,

?.?NABD=NADB,

:?NDAB=NBOH=a,

:?/BOH=/MON=a,

：.ZMOH=ZNOB,

NMON+NMBN=180°,

AZOMB+ZONB=180°,

VZOMB+ZOM/7=180°,

：./ONB=/OMH,

???△OBN之/\OHM(AAS),

:?HM=BN,

；?BN+BM=BH,

'：△BADs^BOH,

.?.跑=強=52，

DBAB2

，典吟展

BD2

.5四邊形OMEN_^AOBH_1-20.

?.sin?

S菱形ABCD2SAABD22

故答案為：sin-SL,Asin2-1^-.

222

【點評】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判

定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全

等三角形解決問題，屬于中考壓軸題.

4.如圖1,已知點G在正方形A8CO的對角線AC上，GELBC,垂足為點E,GF±CD,

垂足為點F.

(1)證明與推斷：

①求證：四邊形CEGF是正方形；

②推斷：巡的值為

BE

(2)探究與證明：

將正方形的CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)a(0°<a<45°),如圖2所示，試探究線段

AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

(3)拓展與運用：

正方形CEG尸在旋轉(zhuǎn)過程中，當8、E、尸三點在一條直線上時，如圖3所示，延長CG

交AO于點H,若AG=4,GH=&,則3C=，百5_.

【分析】(1)①由GELBC.GFLC。結(jié)合/BC￡>=90°可得四邊形CEGF是矩形，再

由NECG=45°即可得證；②由正方形性質(zhì)知/CEG=N8=90°、ZECG=45°,據(jù)此

可得空死、GE//AB,利用平行線分線段成比例定理可得;

CE

(2)連接CG,只需證△4CGs/i3CE即可得；

(3)證明△AHGs^CHA,由相似三角形的性質(zhì)得出旭型_賀，設(shè)BC=CD=AD

ACAHCH

=a,則AC=&“，求出。的值，則可得出答案.

【解答】解：(1)①???四邊形ABCO是正方形，

:./BCD=90°,ZBCA=45",

\'GEA.BC,GFLCD,

：.ZCEG=NCFG=NEC尸=90°,

四邊形CEGF是矩形，ZCGE=ZECG=45°,

：.EG=EC,

二四邊形CEG尸是正方形；

②由①知四邊形CEGF是正方形,

；.NCEG=/B=90°,ZECG=45°,

??里班,GE//AB,

CE

:出望地,

BECE

故答案為：n；

(2)連接CG,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知NBCE=/ACG=a,

在RtACEG和RtZXCBA中，

—=cos45°=返＞、—=cos45°=返＞,

CG2CA2

?CGCA用

.?.△ACGs/SBCE,

二線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=J^BE；

(3)由(2)知△BCEs/\ACG,

.../AGC=N8EC=135°,

VZCGF=45°,

AZAGC+ZCGF=180°,

；.A、G、F三點共線.

,：ZCEF=45°，點8、E、F三點共線,

AZB￡C=135°,

IXACGs叢BCE,

：.ZAGC=ZBEC=135°,

；.N4GH=NC4H=45°,

'：ZCHA^ZAHG,

.AGGH_AH

AC=AHW

設(shè)BC=CQ=AO=a,則AC=&”，

則由旭烏得^^正，

ACAHV2aAH

2_

則DH=AD-AH=2,CH=7CD2+DH2-

.AGAH

"AC"CH，

a

._4____T_

Fa雙'

2a

解得：a=2而，即8c=2行，

故答案為：2/記.

【點評】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，相似

三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(1)【探究發(fā)現(xiàn)】

如圖1,NEO尸的頂點。在正方形ABC。兩條對角線的交點處，NEOF=90°,將/EOF

繞點。旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，ZEOF的兩邊分別與正方形ABCD的邊BC和CD交于點E

和點F(點、F與點C,D不重合).則CE,CF,BC之間滿足的數(shù)量關(guān)系是CE+CF=

BC.

(2)【類比應用】

如圖2,若將(1)中的“正方形ABCD”改為“Z8CD=120°的菱形ABC。"，其他條

件不變，當NEOF=60°時，上述結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立,

請猜想結(jié)論并說明理由.

(3)【拓展延伸】

如圖3,ZBOD=120°,0D=3,0B=4,0A平分/BOO,且08>20A,

4

點C是OB上一點，ZCAD=6Q°,求OC的長.

【分析】(1)如圖1中，結(jié)論：CE+CF=BC.證明aBOE絲ZSCOF(ASA),即可解決問

題.

(2)如圖2中，結(jié)論不成立.CE+CF=1BC.連接EF,在CO上截取CJ=CF,連接

2

FJ.首先證明CE+CF=OC,再利用直角三角形30度角的性質(zhì)即可解決問題.

(3)如圖3中，由。8>204可知△BAO是鈍角三角形，/94。>90°,作AH_L08于

H,設(shè)OH=x.構(gòu)建方程求出x可得0A=1,再利用(2)中結(jié)論即可解決問題.

【解答】解：(1)如圖1中，結(jié)論：CE+CF=BC.理由如下：

???四邊形A8CO是正方形,

：.AC±BDfOB=OC,ZOBE=ZOCF=45°,

■:NEOF=NBOC=90°,

???NBOE=NCOF,

:?△BOE安叢COF(ASA),

:?BE=CF,

：?CE+CF=CE+BE=BC.

故答案為CE+CF=BC.

圖2

理由：連接在C。上截取C/=CR連接/V.

???四邊形A8C。是菱形，ZBCD=120°,

：.ZBCO=ZOCF=60°,

VZEOF+Z￡CF=180°,

??.O,E,C,尸四點共圓,

：.ZOFE=ZOCE=60°,

VZEOF=60°,

???△EOF是等邊三角形，

：.OF=FE,NOEE=60°,

■:CF=CJ,NFCJ=60°,

AACFJ是等邊三角形，

：.FC=FJfNJFC=NOFE=60°,

：.ZOFJ=ZCFE,

.,.△OFJ^AEFC(SAS),

：.OJ=CE,

:.CF+CE=CJ+OJ=OC=1BC,

2

(3)如圖3中，由0B>20A可知△84。是鈍角三角形，N8AO>90°,作A”_LOB于

H,設(shè)OH=x.

B

在RtZXAB”中，BH=yji2-3x2,

\"OB=4,

?',713-3x2+x=4,

解得x=3或工，