新教材人教b版必修第二冊4.4冪函數(shù)學(xué)案

冪函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解冪函數(shù)的概念.2.掌握y＝xαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＝－1，\f(1,2)，1，2，3))的圖像與性質(zhì).3.理解和掌握冪函數(shù)在第一象限的分類特征，能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法處理冪函數(shù)的有關(guān)問題．知識點(diǎn)一冪函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)．提醒冪函數(shù)中底數(shù)是自變量，而指數(shù)函數(shù)中指數(shù)為自變量．知識點(diǎn)二冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)1．冪函數(shù)的圖像在同一平面直角坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x－1的圖像如圖．2．五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)y＝xy＝x2y＝x3y＝y(tǒng)＝x－1定義域RRR[0，＋∞){x|x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上是增函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù)在R上是增函數(shù)在[0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)公共點(diǎn)(1,1)1．y＝－eq\f(1,x)是冪函數(shù)．(×)2．當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，x2>x3.(√)3．y＝與y＝定義域相同．(×)4．若y＝xα在(0，＋∞)上為增函數(shù)，則α>0.(√)一、冪函數(shù)的概念例1(1)(多選)下列函數(shù)為冪函數(shù)的是()A．y＝x3 B．y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))xC．y＝4x2 D．y＝x答案AD解析B項(xiàng)為指數(shù)函數(shù)，C中的函數(shù)的系數(shù)不為1，AD為冪函數(shù)．(2)已知y＝(m2＋2m－2)＋2n－3是冪函數(shù)，則m＝______，n＝________.答案－3或1eq\f(3,2)解析由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1，,2n－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－3，,n＝\f(3,2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝1，,n＝\f(3,2).))所以m＝－3或1，n＝eq\f(3,2).反思感悟判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為y＝xα(α為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為一個(gè)冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為1.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知f(x)＝ax2a＋1－b＋1是冪函數(shù)，則a＋b等于()A．2B．1C.eq\f(1,2)D．0答案A解析因?yàn)閒(x)＝ax2a＋1－b＋1是冪函數(shù)，所以a＝1，－b＋1＝0，即a＝1，b＝1，則a＋b＝2.(2)若函數(shù)f(x)是冪函數(shù)，且滿足

eq\f(f4,f2)＝3，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))的值為()A．－3B．－eq\f(1,3)C．3D.eq\f(1,3)答案D解析設(shè)f(x)＝xα(α為常數(shù))，因?yàn)?/p>

eq\f(f4,f2)＝3，所以eq\f(4α,2α)＝2α＝3，即α＝log23，所以f(x)＝，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝＝eq\f(1,3).二、冪函數(shù)的圖像例2(1)如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限的圖像，已知n取±2，±eq\f(1,2)四個(gè)值，則對應(yīng)于c1，c2，c3，c4的n依次為()A．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2 B．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2C．－eq\f(1,2)，－2,2，eq\f(1,2) D．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)答案B解析根據(jù)冪函數(shù)y＝xn的性質(zhì)，故c1的n＝2，c2的n＝eq\f(1,2)，當(dāng)n<0時(shí)，|n|越大，曲線越陡峭，所以曲線c3的n＝－eq\f(1,2)，曲線c4的n＝－2.(2)函數(shù)y＝的圖像大致是圖中的()答案B解析∵函數(shù)y＝是奇函數(shù)，且α＝eq\f(5,3)>1，反思感悟解決冪函數(shù)圖像問題應(yīng)把握的兩個(gè)原則(1)依據(jù)圖像高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖像越靠近x軸(簡記為指大圖低)；在(1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖像越遠(yuǎn)離x軸(簡記為指大圖高)．(2)依據(jù)圖像確定冪指數(shù)α與0,1的大小關(guān)系，即根據(jù)冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像(類似于y＝x－1或y＝或y＝x3)來判斷．跟蹤訓(xùn)練2(1)下圖給出四個(gè)冪函數(shù)的圖像，則圖像與函數(shù)的大致對應(yīng)是()A．①y＝，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝，④y＝x－1C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x－1，④y＝D．①y＝，②y＝，③y＝x2，④y＝x－1答案B解析②的圖像關(guān)于y軸對稱，②應(yīng)為偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)C，D，①由圖像知，在第一象限內(nèi)，圖像下凸，遞增的較快，所以冪函數(shù)的指數(shù)大于1，故排除A.(2)函數(shù)f(x)＝的大致圖像是()答案A解析因?yàn)椋璭q\f(1,2)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，排除選項(xiàng)B，C；又f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，故排除選項(xiàng)D.三、比較冪值的大小例3比較下列各組數(shù)中兩個(gè)數(shù)的大小：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1；(3)與.解(1)∵冪函數(shù)y＝x在(0，＋∞)上是單調(diào)遞增的，又eq\f(2,5)>eq\f(1,3)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3))).(2)∵冪函數(shù)y＝x－1在(－∞，0)上是單調(diào)遞減的，又－eq\f(2,3)<－eq\f(3,5)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))－1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))－1.(3)∵函數(shù)y1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))x為R上的減函數(shù)，又eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，∴>.又∵函數(shù)y2＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且eq\f(3,4)>eq\f(2,3)，∴>，∴>.反思感悟比較冪值大小的方法跟蹤訓(xùn)練3比較下列各組值的大?。?1)，；(2)，，2.解(1)∵y＝為R上的偶函數(shù)，∴＝.又函數(shù)y＝為[0，＋∞)上的增函數(shù)，且，∴<，即<.(2)∵y＝在[0，＋∞)上是增函數(shù)，且，∴<.又∵y＝x為增函數(shù)，且eq\f(1,2)<2，∴2，∴<2.冪函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用典例已知冪函數(shù)y＝x3m－9(m∈N＋)的圖像關(guān)于y軸對稱且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，求滿足的a的取值范圍．解因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3m－9在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以3m－9<0，解得m<3.又因?yàn)閙∈N＋，所以m＝1,2.因?yàn)楹瘮?shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，所以3m－9為偶數(shù)，故m＝1.則原不等式可化為.因?yàn)閥＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以a＋1>3－2a>0或3－2a<a＋1<0或a＋1<0<3－2a，解得eq\f(2,3)<a<eq\f(3,2)或a<－1.故a的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a<－1或\f(2,3)))<a<\f(3,2))).[素養(yǎng)提升](1)冪函數(shù)y＝xα中只有一個(gè)參數(shù)α，冪函數(shù)的所有性質(zhì)都與α的取值有關(guān)，故可由α確定冪函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，也可由這些性質(zhì)去限制α的取值．(2)通過具體實(shí)例抽象出冪函數(shù)的概念和性質(zhì)，并應(yīng)用單調(diào)性求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中數(shù)學(xué)運(yùn)算與直觀想象的核心素養(yǎng)．1．下列函數(shù)是冪函數(shù)的是()A．y＝5x B．y＝x5C．y＝5x D．y＝(x＋1)3答案B解析函數(shù)y＝5x是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝5x是正比例函數(shù)，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝(x＋1)3的底數(shù)不是自變量x，不是冪函數(shù)；函數(shù)y＝x5是冪函數(shù)．2．冪函數(shù)y＝xα(α∈R)的圖像一定不經(jīng)過()A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限答案A解析由冪函數(shù)的圖像可知，其圖像一定不經(jīng)過第四象限．3．設(shè)α∈eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，1，\f(1,2)，3))，則使函數(shù)y＝xα的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有α值為()A．1,3 B．－1,1C．－1,3 D．－1,1,3答案A解析可知當(dāng)α＝－1,1,3時(shí)，y＝xα為奇函數(shù)，又因?yàn)閥＝xα的定義域?yàn)镽，則α＝1,3.4．已知冪函數(shù)f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的圖像過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，則k＋α等于()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(3,2)D．2答案A解析∵冪函數(shù)f(x)＝kxα(k∈R，α∈R)的圖像過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(2)))，∴k＝1，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\r(2)，即α＝－eq\f(1,2)，∴k＋α＝eq\f(1,2).5．已知f(x)＝，若0<a<b<1，則下列各式中正確的是()A．f(a)<f(b)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))B．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)<f(a)C．f(a)<f(b)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))<f(a)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f(b)答案C解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是增函數(shù)，又0<a<b<1<eq\f(1,b)<eq\f(1,a)，故f(a)<f(b)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,b)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a))).1．知識清單：(1)冪函數(shù)的概念．(2)冪函數(shù)的圖像．(3)冪函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別；冪函數(shù)的奇偶性．1．冪函數(shù)f(x)＝xα的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,4)，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C．－eq\f(1,4)D．2答案B解析冪函數(shù)f(x)＝xα的圖像經(jīng)過點(diǎn)(2,4)，則2α＝4，解得α＝2；∴f(x)＝x2，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＝eq\f(1,4).2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)，又在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減的函數(shù)是()A．y＝x－2 B．y＝x－1C．y＝x2 D．y＝答案A解析所給選項(xiàng)都是冪函數(shù)，其中y＝x－2和y＝x2是偶函數(shù)，y＝x－1和y＝不是偶函數(shù)，故排除選項(xiàng)B，D，又y＝x2在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，不合題意，y＝x－2在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，符合題意．3．設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)>c>b B．a(chǎn)>b>cC．c>a>b D．b>c>a答案A解析∵y＝(x>0)為增函數(shù)，又eq\f(3,5)>eq\f(2,5)，∴a>c.∵y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))x(x∈R)為減函數(shù)，又eq\f(2,5)<eq\f(3,5)，∴c>b.∴a>c>b.4．在同一坐標(biāo)系內(nèi)，函數(shù)y＝xa(a≠0)和y＝ax－eq\f(1,a)的圖像可能是()答案C解析選項(xiàng)A中，冪函數(shù)的指數(shù)a<0，則y＝ax－eq\f(1,a)應(yīng)為減函數(shù)，A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B中，冪函數(shù)的指數(shù)a>1，則y＝ax－eq\f(1,a)應(yīng)為增函數(shù)，B錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中，冪函數(shù)的指數(shù)a<0，則－eq\f(1,a)>0，直線y＝ax－eq\f(1,a)在y軸上的截距為正，D錯(cuò)誤．5．(多選)已知函數(shù)f(x)＝xα的圖像經(jīng)過點(diǎn)(4,2)，則下列命題正確的有()A．函數(shù)為增函數(shù)B．函數(shù)為偶函數(shù)C．若x>1，則f(x)>1D．若0＜x1＜x2，則

eq\f(fx1＋fx2,2)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))答案ACD解析將點(diǎn)(4,2)代入函數(shù)f(x)＝xα，得2＝4α，則α＝eq\f(1,2).所以f(x)＝，顯然f(x)在定義域[0，＋∞)上為增函數(shù)，所以A項(xiàng)正確；f(x)的定義域?yàn)閇0，＋∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B項(xiàng)不正確；當(dāng)x>1時(shí)，eq\r(x)>1，即f(x)>1，所以C項(xiàng)正確；當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx1＋fx2,2)))2－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f

\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(x1)＋\r(x2),2)))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(x1＋x2,2))))2＝eq\f(x1＋x2＋2\r(x1x2),4)－eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(2\r(x1x2)－x1－x2,4)＝eq\f(－\r(x1)－\r(x2)2,4)＜0.即

eq\f(fx1＋fx2,2)＜f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))成立，所以D項(xiàng)正確．6．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的部分對應(yīng)值如表：x1eq\f(1,2)f(x)1eq\f(\r(2),2)則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是________．答案[0，＋∞)解析因?yàn)閒

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))α＝eq\f(\r(2),2)，即α＝eq\f(1,2)，所以f(x)＝的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，＋∞)．7．已知冪函數(shù)f(x)＝xα(α∈R)的圖像經(jīng)過點(diǎn)(8,4)，則不等式f(6x＋3)≤9的解集為________．答案[－5,4]解析由題意知8α＝4，故α＝log84＝eq\f(2,3)，由于f(x)＝＝eq\r(3,x2)為R上的偶函數(shù)且在(0，＋∞)上遞增，故f(6x＋3)≤9即為f(6x＋3)≤f(27)，所以|6x＋3|≤27，解得－5≤x≤4.8．設(shè)a＝，b＝，c＝，則a，b，c從小到大的順序是________．答案b<a<c解析由a＝，b＝，可利用冪函數(shù)的性質(zhì)，得a>b，可由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得c>a，∴b<a<c.9．已知冪函數(shù)f(x)＝xα的圖像過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，試畫出f(x)的圖像并指出該函數(shù)的定義域與單調(diào)區(qū)間．解因?yàn)閒(x)＝xα的圖像過點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,4)))，所以f(2)＝eq\f(1,4)，即2α＝eq\f(1,4)，得α＝－2，即f(x)＝x－2，f(x)的圖像如圖所示，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)．10．已知冪函數(shù)f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在R上單調(diào)遞增．(1)求f(x)的解析式；(2)求滿足f(a＋1)＋f(3a－4)<0的a的取值范圍．解(1)由冪函數(shù)f(x)＝x9－3m(m∈N＋)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在R上單調(diào)遞增，可得9－3m>0，解得m<3，m∈N＋，可得m＝1,2，若m＝1，則f(x)＝x6的圖像不關(guān)于原點(diǎn)對稱，舍去；若m＝2，則f(x)＝x3的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在R上單調(diào)遞增，成立．則f(x)＝x3.(2)由(1)可得f(x)是奇函數(shù)，且在R上單調(diào)遞增，由f(a＋1)＋f(3a－4)<0，可得f(a＋1)<－f(3a－4)＝f(4－3a)，即為a＋1<4－3a，解得a<eq\f(3,4).11．若函數(shù)f(x)＝(m＋2)xa是冪函數(shù)，且其圖像過點(diǎn)(2,4)，則函數(shù)g(x)＝loga(x＋m)的單調(diào)遞增區(qū)間為()A．(－2，＋∞) B．(1，＋∞)C．(－1，＋∞) D．(2，＋∞)答案B解析由題意得m＋2＝1，解得m＝－1，則f(x)＝xa，將(2,4)代入函數(shù)的解析式得，2a＝4，解得a＝2，故g(x)＝loga(x＋m)＝log2(x－1)，令x－1>0，解得x>1，故g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．12．函數(shù)y＝－1的圖像關(guān)于x軸對稱的圖像大致是()答案B解析y＝的圖像位于第一象限且為增函數(shù)，所以函數(shù)圖像是上升的，函數(shù)y＝－1的圖像可看作由y＝的圖像向下平移一個(gè)單位長度得到的(如選項(xiàng)A中的圖所示)，將y＝－1的圖像關(guān)于x軸對稱后即為選項(xiàng)B.13．為了保證信息的安全傳輸，有一種密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文到密文(加密)，接收方由密文到明文(解密)．現(xiàn)在加密密鑰為y＝xα(α為常數(shù))，如“4”通過加密后得到密文“2”．若接收方接到密文“3”，則解密后得到的明文是________．答案9解析由題意可知加密密鑰y＝xα(α為常數(shù))是一個(gè)冪函數(shù)，所以要想求得解密后得到的明文，就必須先求出α的值．由題意，得2＝4α，解得α＝eq\f(1,2)，則y＝.由＝3，得x＝9，即明文是9.14．已知冪函數(shù)f(x)＝，若f(a＋1)<f(10－2a)，則a的取值范圍是________．答案(3,5)解析∵f(x)＝＝eq\f(1,\r(x))(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)，又f(a＋1)<f(10－2a)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1>0，,10－2a>0，,a＋1>10－2a，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>－1，,a<5，,a>3.))∴3<a<5.15.冪函數(shù)y＝xα，當(dāng)α取不同的正數(shù)時(shí)，在區(qū)間[0,1]上它們的圖像是一族美麗的曲線