新教材人教a版選擇性必修第三冊6.2.4第2課時組合的應用學案

第2課時組合的應用核心知識目標核心素養(yǎng)目標1.學會運用組合的概念,分析簡單的實際問題.2.通過實例掌握常見的組合問題,掌握解決組合問題常用的方法和技巧.通過組合解決實際問題,提升邏輯推理和數(shù)學運算的素養(yǎng).1.排列數(shù)公式(用階乘表示):Anm=組合數(shù)公式:Cnm=2.全排列:n個不同元素全部取出的一個排列,叫做n個元素的一個全排列.在排列數(shù)公式中,當m=n時,即有Ann=n(n-1)·(n-2)·…·3·2·1,3.組合數(shù)的性質(zhì):(1)Cnm=C(2)Cn+1m=Cn1.某同學從8道概率題和2道排列題中選3道題進行測試,則他至少選中1道排列題的選法有(B)(A)56種 (B)64種 (C)72種 (D)144種解析:從8道概率題和2道排列題中選3道題進行測試,至少選中1道排列題的選法有C21C822.(2021·廣東汕頭高二期中)將2名教師,4名學生分成2個小組,分別安排到甲、乙兩地參加社會實踐活動,每個小組由1名教師和2名學生組成,不同的安排方案共有(A)(A)12種 (B)24種 (C)36種 (D)8種解析:根據(jù)題意,分3步進行:①甲地選一名老師,不同的選法種數(shù)為C2②甲地選兩名學生,不同的選法種數(shù)為C4③剩下的1名教師,2名學生安排到乙地,有1種選法.故不同的安排方案共有2×6×1=12(種).C183n+6=C18解析:由C183n得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18,解得n=2或n=8(舍去),則C8答案:284.在一次醫(yī)療救助活動中,需要從A醫(yī)院某科室的6名男醫(yī)生、4名女醫(yī)生中分別抽調(diào)3名男醫(yī)生、2名女醫(yī)生,且男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加,則不同的選派方案共有種.(用數(shù)字作答)

解析:男醫(yī)生中唯一的主任醫(yī)師必須參加,則從剩余5名男醫(yī)生中選2名,從4名女醫(yī)生中選2名,共有C52C答案:60有限制條件的組合問題[例1]男運動員6名,女運動員4名,其中男、女隊長各1名.現(xiàn)選派5人外出參加比賽,在下列情形中各有多少種選派方法?(1)男運動員3名,女運動員2名;(2)隊長中至少有1人參加;(3)既要有隊長,又要有女運動員.解:(1)分兩步完成:第1步,選3名男運動員,有C6第2步,選2名女運動員,有C4由分步乘法計數(shù)原理可得,共有C63·(2)法一(直接法)可分類求解:“只有男隊長”的選法種數(shù)為C8“只有女隊長”的選法種數(shù)為C8“男、女隊長都入選”的選法種數(shù)為C8所以共有2C84+法二(間接法)從10人中任選5人有C10其中不選隊長的方法有C85C10(3)當有女隊長時,其他人任意選,共有C94種選法;當不選女隊長時,必選男隊長,共有C84種選法,其中不含女運動員的選法有C54種,所以不選女隊長時的選法共有(C84解答有限制條件的組合問題的基本方法是“直接法”和“間接法(排除法)”.其中用直接法求解時,則應堅持“特殊元素優(yōu)先選取”的原則,優(yōu)先安排特殊元素,再安排其他元素.而選擇間接法(即先不考慮限制條件計算選法種數(shù),然后排除不滿足條件的選法)的原則是“正難則反”,也就是若正面問題分類較多、較復雜或計算量較大,不妨從反面問題入手,特別是涉及“至多”“至少”等組合問題時更是如此.變式訓練1:要從6名男生和4名女生中選出5人參加一項活動,按下列要求,各有多少種不同的選法?(1)甲當選且乙不當選;(2)至多有3名男生當選.解:(1)甲當選且乙不當選,只需從余下的8人中任選4人,有C8(2)至多有3名男生當選時,應分三類:第1類是3男2女,有C6第2類是2男3女,有C6第3類是1男4女,有C6由分類加法計數(shù)原理知,共有C63C42組合中的多面手問題[例2]車間有11名工人,其中5名是鉗工,4名是車工,另外2名既能做鉗工又能做車工,從中選出4名鉗工、4名車工,問有多少種不同的選法?解:法一以“既能做鉗工又能做車工”的2人(記為A,B)來考慮分類,A,B都不在內(nèi),有C54C44=5種選法;A,B都在內(nèi)時又分“都做鉗工”“都做車工”“一個做鉗工,一個做車工”三類,共有C22C5法二從“只會做鉗工”的5人入選情況來考慮,5人中選4人,有C55人中選3人,有C55人中選2人,有C5所以共有75+100+10=185(種)不同的選法.分類問題找準標準是關鍵,對于多面手問題,在弄清楚多面手的人數(shù)后,只需按照多面手參加其中某項活動的人數(shù)來分類,剩余多面手在另一種活動中待選,這樣可以做到不重不漏.變式訓練2:有12名外語翻譯人員,其中8名會翻譯英語,6名會翻譯日語,從中找出8人,使他們組成兩個翻譯小組,其中4人翻譯英語,另4人翻譯日語,這兩個小組能同時工作,問這樣的分配名單共有多少種?解:依題意,這12人中既會英語又會日語的有2人,可以按“既會翻譯英語又會翻譯日語”的人的參與情況進行分類.第1類,既會翻譯英語又會翻譯日語的兩位都不參加,這時分配名單有C6第2類,既會翻譯英語又會翻譯日語的兩位中有一人入選,這時又有該人參加英語和日語翻譯兩種可能,因此分配名單有C21C第3類,既會翻譯英語又會翻譯日語的兩位均入選,這時又分三種情況:兩人都翻譯英語、兩人都翻譯日語、兩人各翻譯一種語種,因此分配名單有C22C62綜上,共有15+160+265=440(種)分配名單.排列組合綜合問題[例3]有5名男生和3名女生,從中選取5人擔任5門不同學科的科代表,求分別符合下列條件的選法種數(shù):(1)有女生但人數(shù)必須少于男生;(2)某女生一定要擔任語文科代表;(3)某男生必須包括在內(nèi),但不擔任數(shù)學科代表;(4)某女生一定要擔任語文科代表,某男生必須擔任科代表,但不擔任數(shù)學科代表.解:(1)先取后排,先取有C53·C32+C5(C53·C32+C54(2)除去該女生后先取后排,有C74·(3)先取后排,但先安排該男生,有C74·C4(4)先從除去該男生和該女生的6人中選3人有C63種,再安排該男生有C31種,其余3人全排列有A33種,共有(1)解排列、組合綜合問題的一般思路是“先選后排”,也就是先把符合題意的元素都選出來,再對元素或位置進行排列.(2)解排列、組合綜合問題時要注意以下幾點①元素是否有序是區(qū)分排列與組合的基本方法,無序的問題是組合問題,有序的問題是排列問題;②對于有多個限制條件的復雜問題,應認真分析每個限制條件,然后再考慮是分類還是分步,這是處理排列、組合綜合問題的一般方法.變式訓練3:(1)(2021·浙江寧波高二期末)將4個不同的小球放入3個不同的盒子,則每個盒子中至少有1個小球的放法總數(shù)為()(A)18 (B)24 (C)36 (D)72(2)(2021·河南商丘一高高二月考)某工廠將甲、乙等五名新招聘員工隨機分配到兩個不同的車間,每個車間至少分配一名員工,則甲、乙兩名員工被分配到同一個車間的方案數(shù)為.

解析:(1)由題意,先將4個不同的小球分為3組,其中一組2個,一組1個,一組1個,共有C42=6(種)不同的分法,再將三組放在3個不同的盒子中,共有A3(2)因為甲、乙兩名員工被分配到同一車間,則甲、乙兩人可看成一個整體,即將四名員工分配到兩個車間.若每個車間分2人,則有C42C22種分法,若一個車間分1人,一個車間分3人,則有C答案:(1)C(2)14[結(jié)論]平均分組問題解法策略所謂“平均分組”是指將所有元素分成所有組元素個數(shù)相等或部分組元素個數(shù)相等的組.若有n組元素個數(shù)相同,則所有分組方法數(shù)除以n!即為所求.[典例]某學校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的3所中學進行教學交流,每所中學至少派一名教師,則不同的分配方法有()(A)80種 (B)90種(C)120種 (D)150種解析:分兩類:一類,第1步將5名教師按2,2,1分成3組,其分法有C52C32另一類,第1步將5名教師按3,1,1分成3組,其分法有C53C21所以不同的分派方法有90+60=150(種).故選D.(1)對于整體均分問題,往往是先分組再排列,在解題時要注意分組后,不管它們的順序如何,都是一種情況,所以分組后一定要除以An(2)對于部分均分問題,解題時要注意重復的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù),即若有m組元素個數(shù)相等,則分組時應除以m!.(3)對于不等分問題,首先要對分配數(shù)量的可能情形進行一一列舉,然后再對每一種情形分類討論.在每一類的計數(shù)中,又要考慮是分步計數(shù)還是分類計數(shù),是排列問題還是組合問題.[素養(yǎng)演練]6本不同的書,分為三份,每份兩本,有多少種不同的分法.解:分給甲、乙、丙三人,每人兩本有C62C42C22種分法,這個過程可以分兩步:第1步分為三份,每份兩本,設有x種分法;第2步再將這三份分給甲、乙、丙三人有1.從1,2,3,4,5,6,7這7個數(shù)字中任取2個奇數(shù)和2個偶數(shù),組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù),其中奇數(shù)的個數(shù)為(C)(A)432 (B)288 (C)216 (D)108解析:因為奇數(shù)有4個,偶數(shù)有3個,所以要想取出的4個數(shù)字組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)且是奇數(shù),個位數(shù)字必須是奇數(shù),因而這樣的奇數(shù)有C42.有5本不同的教科書,其中語文書2本,數(shù)學書2本,物理書1本.若將其并排擺放在書架的同一層上,則同一科目書都不相鄰的放法種數(shù)是(B)(A)24 (B)48 (C)72 (D)96解析:根據(jù)題意可先擺放2本語文書,當1本物理書在2本語文書之間時,只需將2本數(shù)學書插在前3本書形成的4個空中即可,此時共有A22A42種擺放方法;當1本物理書放在2本語文書一側(cè)時,共有A3.平面內(nèi)有四個紅點,六個藍點,其中只有一個紅點和兩個藍點共線,其余任意三點不共線,過這十個點中的任意兩點所確定的直線中,至少過一個紅點的直線的條數(shù)是(B)(A)30 (B)29 (C)28 (D)27解析:過一個紅點有C41C4.現(xiàn)從8名學生中選出4人去參加一項活動,若甲、乙兩名同學不能同時入選,則共有種不同的選派方案.(用數(shù)字作答)

解析:根據(jù)題意,分兩種情況討論:①甲、乙兩名同學只有1人入選,只需從剩余的6人中再選出3人,有C21×②甲、乙兩名同學都沒有入選,只需從剩余的6人中選出4人,有C6答案:55[例1]從10種不同的作物種子中選出6種放入6個不同的瓶子中展出,每瓶不空,如果甲、乙兩種種子不能放入第1號瓶內(nèi),那么不同的放法種數(shù)為()(A)C102A(C)C81解析:先排第1號瓶,從除甲、乙以外的8種不同作物種子中選出1種有C81種方法,再排剩余的瓶子,有A9[例2]某大學學生會從6名女大學生和4名男大學生中選出3名同學去參加志愿者活動.(1)共有多少種不同的選法?(2)若選出的3名同學中恰有一名男大學生的方法有多少種?(3)若選出的3名同學中至少有一名男大學生的方法有多少種?(4)若選出的3名同學中至多有一名男大學生的方法有多少種?解:(1)6名女大學生和4名男大學生共有10名大學生,從10人中取出3人共有C10(2)選出的3名同學中恰有一名男大學生,分兩步進行,第1步,從4名男大學生中選1人,有C41種選法,第2步,從6名女大學生中選2