新教材人教a版選擇性必修第一冊1.4.2用空間向量研究距離夾角問題2

空間向量的應用第一章1.4.2用空間向量研究距離、夾角問題（第2課時）1.會用向量法求線線、線面、面面夾角.2.能正確區(qū)分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關(guān)系.核心素養(yǎng)：數(shù)學推理、數(shù)學運算.學習目標一兩個平面的夾角平面α與平面β的夾角：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中

的二面角稱為平面α與平面β的夾角.不大于90°新知學習二空間角的向量法解法角的分類向量求法范圍兩條異面直線所成的角設(shè)兩異面直線l1，l2

所成的角為θ，其方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝_____直線與平面所成的角設(shè)直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝_____________＝______兩個平面的夾角設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝_______|cos〈u，n〉|1.如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是CD，CC1的中點，則異面直線A1M與DN所成角的大小是（）D解析以D為原點，DA，DC，DD1所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體棱長為1，即時鞏固2.已知向量m，n分別是直線l與平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝

，則l與α所成的角為（）A.30° B.60° C.150° D.120°解析設(shè)l與α所成的角為θ，B3.已知平面α的法向量u＝(1,0，－1)，平面β的法向量v＝(0，－1,1)，則平面α與β的夾角為____.一、兩條異面直線所成的角例1如圖，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝

，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值.典例剖析建立如圖所示的空間直角坐標系，反思感悟求異面直線夾角的方法(1)傳統(tǒng)法：作出與異面直線所成角相等的平面角，進而構(gòu)造三角形求解.(2)向量法：在兩異面直線a與b上分別取點A，B和C，D，則

與

可分別為a，b的方向向量，則cosθ＝

.跟蹤訓練如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點，則B1M與D1N所成角的余弦值為（）A解析建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為2，則B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，二、直線與平面所成的角

(1)證明：CM⊥SN；證明設(shè)PA＝1，以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標系(如圖).則P(0,0,1)，C(0,1,0)，B(2,0,0)，因此CM⊥SN.(2)求SN與平面CMN所成角的大小.設(shè)a＝(x，y，z)為平面CMN的一個法向量，取y＝1，得a＝(2,1，－2).設(shè)SN與平面CMN所成的角為θ，反思感悟反思感悟利用平面的法向量求直線與平面夾角的基本步驟(1)建立空間直角坐標系.(2)求直線的方向向量u.(3)求平面的法向量n.(4)設(shè)線面角為θ，則sinθ＝

.跟蹤訓練如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F(xiàn)依次為C1C，BC的中點.求A1B與平面AEF所成角的正弦值.解以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(0,0,0)，A1(0,0,2)，B(2,0,0)，E(0,2,1)，F(xiàn)(1,1,0)，設(shè)平面AEF的一個法向量為n＝(a，b，c)，令a＝1可得n＝(1，－1,2).設(shè)A1B與平面AEF所成角為θ，三、兩個平面的夾角例3如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.(1)證明：O1O⊥平面ABCD；證明因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，又CC1∥DD1∥OO1，所以O(shè)O1⊥AC，OO1⊥BD，因為AC∩BD＝O，AC，BD?平面ABCD，所以O(shè)1O⊥平面ABCD.(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1與平面OB1D夾角的余弦值.解因為四棱柱的所有棱長都相等，所以四邊形ABCD為菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以O(shè)B，OC，OO1兩兩垂直.如圖，以O(shè)為原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.設(shè)棱長為2，因為∠CBA＝60°，平面BDD1B1的一個法向量為n＝(0,1,0)，設(shè)平面OC1B1的法向量為m＝(x，y，z)，反思感悟求兩平面夾角的兩種方法(1)定義法：在兩個平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角.也可轉(zhuǎn)化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同.跟蹤訓練如圖所示，在幾何體S－ABCD中，AD⊥平面SCD，BC⊥平面SCD，AD＝DC＝2，BC＝1，又SD＝2，∠SDC＝120°，求平面SAD與平面SAB夾角的余弦值.解如圖，過點D作DC的垂線交SC于E，以D為原點，以DC，DE，DA所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.∵∠SDC＝120°，∴∠SDE＝30°，又SD＝2，設(shè)平面SAD的法向量為m＝(x，y，z)，四空間向量和實際問題例4如圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B處.從A，B到直線(庫底與水壩的交線)的距離AC和BD分別為a和b，CD的長為c，甲乙之間拉緊的繩長為d，求庫底與水壩所在平面夾角的余弦值.解由題意可知AC＝a，BD＝b，CD＝c，AB＝d，反思感悟利用空間向量解決實際問題(1)分析實際問題的向量背景，將題目條件、結(jié)論轉(zhuǎn)化為向量問題.(2)對于和垂直、平行、距離、角度有關(guān)的實際問題，可以考慮建立向量模型，體現(xiàn)了數(shù)學建模的核心素養(yǎng).1.若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為150°，則l1與l2所成的角為（）A隨堂小測

B解析設(shè)α與β所成的角為θ，且0°≤θ≤90°，3.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點，BC＝CA＝CC1，則BM與AN所成角的余弦值為（）C解析如圖所示，以C為原點，直線CA為x軸，直線CB為y軸，直線CC1為z軸建立空間直角坐標系，設(shè)CA＝CB＝1，4.若平面α的一個法向量為n＝(4,1,1)，直線l的一個方向向量為a＝(－2，－3,3)，則l與α所成角的余弦值為（）D解析設(shè)α與l所成的角為θ，5.如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CC1＝2CB，則直線BC1與直線AB1所成角的余弦值為（）A解析不妨設(shè)CA＝CC1＝2CB＝2，6.正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為_____.解析設(shè)正方體的棱長為1，建立空間直角坐標系如圖.則D(0,0,0)，B(1,1,0)，B1(1,1,1).7.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為________.解析如圖所示，建立空間直角坐標系，則D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0，2,0)，D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，連接AC，易證AC⊥平面BB1D1D，8.已知點E，F(xiàn)分別在正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，則平面AEF與平面ABC夾角的余弦值等于________.解析如圖，建立空間直角坐標系.設(shè)正方體的棱長為1，平面ABC的法向量為n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量為n2＝(x，y，z).取x＝1，則y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3).9.在空間中，已知平面α過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(0,0，a)(a>0)，如果平面α與平面xOy的夾角為45°，則a＝____.解析平面xOy的法向量n＝(0,0,1)，10.如圖，在三棱錐V－ABC中，頂點C在空間直角坐標系的原點處，頂點A，B，V分別在x軸、y軸、z軸上，D是線段AB的中點，且AC＝BC＝2，∠VDC＝

，則異面直線AC與VD所成角的余弦值為_____.解析∵AC＝BC＝2，D是AB的中點，∴C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，D(1,1,0).11.如圖所示，在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，A1D1的中點.(1)求直線A1C與DE所成角的余弦值；解以A為坐標原點，分別以AB，AD，AA1所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系A(chǔ)xyz.(2)求直線AD與平面B1EDF所成角的余弦值；解連接DB1，∵∠ADE＝∠ADF，∴AD在平面B1EDF內(nèi)的射影在∠EDF的平分線上.又四邊形B1EDF為菱形，∴DB1為∠EDF的平分線，故