2022-2023學(xué)年初中數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題5-1 期中期末專項復(fù)習(xí)之有理數(shù)十六大必考點（人教版）（原卷版）

專題5.1有理數(shù)十六大必考點【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【考點1相反意義的量】 1【考點2有理數(shù)的概念及分類】 2【考點3相反數(shù)】 2【考點4絕對值】 3【考點5根據(jù)數(shù)軸化簡絕對值】 3【考點6相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)綜合】 4【考點7有理數(shù)的混合運算】 4【考點8新定義中的有理數(shù)運算】 5【考點9科學(xué)記數(shù)法】 5【考點10有理數(shù)乘方的應(yīng)用】 6【考點11有理數(shù)的大小比較】 7【考點12閱讀材料中的有理數(shù)運算】 7【考點13有理數(shù)的實際應(yīng)用】 9【考點14正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用】 10【考點15有理數(shù)中的規(guī)律探究】 11【考點16數(shù)軸與絕對值、動點的綜合探究】 12【考點1相反意義的量】【例1】（河北省保定市新秀學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題）在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，首次引入負(fù)數(shù)，如果收入100元記作+100元，則-50元表示（

）A．支出50元 B．收入50元 C．支出60元 D．收入60元【變式1-1】（重慶市育才中學(xué)校2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果水庫的水位高于正常水位4m時，記作+4m，那么低于正常水位5m時，應(yīng)記作(

)A．5m B．-5m C．+15m D．-1【變式1-2】（山西省呂梁市交城縣2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如果電梯上升5米，記作+5米，那么-3米表示_______________________________．【變式1-3】（2022·全國·七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）文具店、書店和玩具店依次坐落在一條東西走向的大街上，文具店在書店西邊20米處，玩具店位于書店西邊100米處，小明從書店沿街向東走了40米，接著又向西走了60米，此時小明的位置在（

）A．文具店 B．玩具店 C．文具店西邊40米 D．玩具店西邊60米【考點2有理數(shù)的概念及分類】【例2】（2022·湖北·公安縣教學(xué)研究中心七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）把下列有理數(shù)填入它所屬于的集合圈內(nèi)．?34，1，3.5，0，【變式2-1】（2022·江蘇·泰州市姜堰區(qū)第四中學(xué)七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）在23，?4.3，0.25，0，1.23，1.01001000100001…，π【變式2-2】（2022·黑龍江·肇源縣超等蒙古族鄉(xiāng)學(xué)校期中）在下列數(shù)中：?|?3|，0.23，(?2)2，0，(?3)3，??20062，?15，?【變式2-3】（2022·陜西·白水縣田家炳實驗中學(xué)七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）把下列各數(shù)填入它所屬的集合內(nèi)：15，?19，﹣5，215，0，﹣5.32，2.3·，π(1)分?jǐn)?shù)集合{…}；(2)自然數(shù)集合{…}；(3)非正整數(shù)集合{…}；(4)非負(fù)有理數(shù)集合{…}．【考點3相反數(shù)】【例3】（2022·黑龍江·同江市第三中學(xué)七年級期中）下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）A．2與12 B．（﹣1）2與1 C．﹣1與（﹣1）2 【變式3-1】（2022·河北保定·七年級期中）如圖，在數(shù)軸上表示互為相反數(shù)的兩數(shù)的點是_____．【變式3-2】（2022·寧夏·銀川市第三中學(xué)七年級期中）下列各組數(shù)中：①﹣32與32；②（﹣3）2與32；③﹣（﹣2）與﹣（+2）；④（﹣3）3與﹣33；⑤﹣23與32，其中互為相反數(shù)的共有（）A．4對 B．3對 C．2對 D．1對【變式3-3】（2022·山東威?！て谥校┤鬽，n互為相反數(shù)，則下列各組數(shù)中不是互為相反數(shù)的是（）A．﹣m和﹣n B．m+1和n+1 C．m+1和n﹣1 D．5m和5n【考點4絕對值】【例4】（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二四中學(xué)校期中）若|a|=12，且a<0，則a+1=【變式4-1】（2022·黑龍江·蘭西縣紅星鄉(xiāng)第一中學(xué)校期中）已知|x|＝8，|y|＝5，且xy＜0，則x+y的值等于_____．【變式4-2】（2022·廣東·肇慶市頌德學(xué)校七年級期中）絕對值小于3的正整數(shù)有________．【變式4-3】（2022·遼寧本溪·七年級期中）化簡：3?π【考點5根據(jù)數(shù)軸化簡絕對值】【例5】（2022·四川廣安·七年級期末）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，化簡：?b【變式5-1】（2022·廣東·廣州市真光中學(xué)七年級期中）如圖，點A和B表示的數(shù)分別為a和b，若c是絕對值最小的數(shù)，d是最大的負(fù)整數(shù)．（1）在數(shù)軸上表示c＝，d＝．（2）若|x+3|＝2，則x的值是多少？（3）若﹣1＜x＜0，化簡：|x﹣b|+|x+a|+|c﹣x|．【變式5-2】（2022·山東德州·七年級期中）有理數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖，解答下列問題：（1）若a＝2，將a表示的點沿數(shù)軸方向平移5個單位，得到的點表示的數(shù)為；（2）數(shù)b與其相反數(shù)相距10個單位長度，則b表示的數(shù)是；（3）化簡：|b﹣c|+|a+b|+|c﹣a|．【變式5-3】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)七年級期中）如圖，數(shù)軸上有點a，b，c三點．(1)c?b0；c?a0(填“<”，“>”，“=”)；(2)化簡|c?b|?|c?a|+|a?1|(3)求a|a|【考點6相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)綜合】【例6】（2022·全國·七年級課時練習(xí)）若m、n互為相反數(shù)，則|m?5+n|=______．【變式6-1】（2022·廣東·揭西縣寶塔實驗學(xué)校七年級期中）?3的絕對值加上?3的倒數(shù)等于______．【變式6-2】（2022·湖南·李達(dá)中學(xué)七年級期中）?1【變式6-3】（2022·湖北十堰·七年級期中）已知a，b互為相反數(shù)，c，d互為倒數(shù)，e的絕對值為1，求3a+3b+cd+e2的值．【考點7有理數(shù)的混合運算】【例7】（2022·黑龍江·蘭西縣崇文實驗學(xué)校期中）計算：(1)（-7）-（-10）+（-8）-（+2）；(2)3×（-1）-4÷（-2）；(3)23(4)?【變式7-1】（2022·黑龍江·哈爾濱市第一二四中學(xué)校期中）計算，有簡便方法的用簡便方法．(1)?(2)(?2)×31×(?0.5)(3)?9+2×(?4)+(?6)÷(4)(?1)【變式7-2】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心七年級期中）計算:(1)(?3)×(?4)?15÷(2)((3)?(4)?【變式7-3】（2022·安徽·七年級期中）計算:(1)12+56(2)(-81)÷94×49÷【考點8新定義中的有理數(shù)運算】【例8】（2022·河南駐馬店·七年級期中）對于有理數(shù)a，b，定義一種新運算”⊙”，規(guī)定a⊙b＝|a＋b|＋|a﹣b|．（1）計算：2⊙（﹣3）的值；（2）當(dāng)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示時，化簡：a⊙b．【變式8-1】（2022·山東·招遠(yuǎn)市教學(xué)研究室期中）現(xiàn)定義運算“*”，對于任意有理數(shù)a，b，都有a*b＝a2?ab?b，例如：5*3＝【變式8-2】（2022·吉林長春·七年級期中）完成下列各題．（1）定義新運算：對于任意有理數(shù)a、b，都有a⊕b=aa?b+1．計算如下：求?2⊕3（2）對于有理數(shù)a、b，若定義運算：a?b=a?ba+b，求【變式8-3】（2022·遼寧沈陽·七年級期中）定義一種新運算：a?m＝a×|m|．如5?（﹣3）＝5×|﹣3|＝15，﹣8?4＝﹣8×|4|＝﹣32．（1）計算：65?0＝，﹣43?|﹣2|＝；（2）若n＜0，化簡48?（﹣3n）；（3）若a，m，n為任意有理數(shù)，等式a?（m+n）＝a?m+a?n一定成立嗎？請說理由．【考點9科學(xué)記數(shù)法】【例9】（2022·山東濟南·七年級期中）我國的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米．將數(shù)字21500000用科學(xué)記數(shù)法表示為（

）A．2.15×107 B．0.215×108 C．【變式9-1】（2022·北京市陳經(jīng)綸中學(xué)分校七年級期中）2020年國慶檔電影《我和我的家鄉(xiāng)》上映13天票房收入達(dá)到21.94億元，并連續(xù)10天拿下票房單日冠軍．其中21.94億元用科學(xué)記數(shù)法可表示為（

）A．21.94×108元 B．2.194×108元 C．0.2194×10【變式9-2】（2022·河北·廊坊市第四中學(xué)七年級期中）整數(shù)613550?0用科學(xué)記數(shù)法表示為8.1555×1010，則原數(shù)中“0”的個數(shù)為（A．4 B．6 C．5 D．10【變式9-3】（2022·廣東·廣州四十七中七年級期中）過度包裝既浪費資源又污染環(huán)境，據(jù)測算如果全國每年減少十分之一的包裝紙用量那么能減少3.12×106噸二氧化碳的排放量，把3.12×10A．312000 B．3120000 C．31200000 D．312000000【考點10有理數(shù)乘方的應(yīng)用】【例10】（2022·全國·七年級期中）我們平常用的是十進制，如:1967=1×103+9×102+6×101+7，表示十進制的數(shù)要用10個數(shù)碼：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在計算機中用的是二進制，只有兩個數(shù)碼：0，1．如:二進制中111=1×22+1×21+1相當(dāng)于十進制中的7，又如：11011=1×24+1×23+0×22+1×21+1相當(dāng)于十進制中的27．那么二進制中的1011相當(dāng)于十進制中的(

)A．9 B．10 C．11 D．12【變式10-1】（2022·廣東·東莞市光大新亞外國語學(xué)校七年級期中）將一根繩子對折一次后從中間剪一刀，繩子變成3段；對折兩次后從中間剪一刀，繩子變成5段：將這根繩子對折n次后從中間剪一刀，繩子變成_____段．【變式10-2】（2022·河南鄭州·七年級期中）你喜歡吃拉面嗎？拉面館的師傅，用一根很粗的面條，把兩頭捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反復(fù)幾次，就把這根很粗的面條拉成了許多細(xì)的面條，如下面草圖所示．這樣捏合到第____次后可拉出64根細(xì)面條.【變式10-3】（2022·全國·七年級期中）一質(zhì)點P從距原點1個單位的A點處向原點方向跳動，第一次跳動到OA的中點A1處，第二次從A1點跳動到OA1的中點A2處，第三次從A2【考點11有理數(shù)的大小比較】【例11】（2022·湖北·老河口市第四中學(xué)七年級階段練習(xí)）下列有理數(shù)的大小關(guān)系正確的是（

）A． B． C．D．【變式11-1】（2022·浙江·七年級專題練習(xí)）已知，那么的大小關(guān)系是（

）A．a(chǎn)＞-b＞-a＞b B．-b＞a＞-a＞bC．a(chǎn)＞b＞-a＞-b D．a(chǎn)＞-b＞b＞-a【變式11-2】（2022·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心七年級期中）有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，試比較a，b，－a，－b四個數(shù)的大小關(guān)系：____________________．【變式11-3】（2022·全國·七年級專題練習(xí)）探索研究：（1）比較下列各式的大小（用“＜”、“＞”、“＝”連接）①|(zhì)2|+|3||2+3|；②|﹣2|+|﹣3||﹣2﹣3|；③|2|+|﹣3||2﹣3|；④|2|+|0||2+0|．（2）a、b為有理數(shù)，通過比較、分析，歸納|a|+|b|與|a+b|的大小關(guān)系．（用“＜”、“＞”、“＝”、“≥”、“≤”連接）當(dāng)a、b同號時，|a|+|b||a+b|；當(dāng)a、b異號時，|a|+|b||a+b|；當(dāng)a＝0或b＝0時，|a|+|b||a+b|；綜上，|a|+|b||a+b|．（3）根據(jù)（2）中得出的結(jié)論，當(dāng)|x|+2015＝|x﹣2015|時，則x的取值范圍是．【考點12閱讀材料中的有理數(shù)運算】【例12】（2022·浙江·余姚市高風(fēng)中學(xué)七年級期中）閱讀下列材料：對于排好順序的三個數(shù)：x1，x2，x3稱為數(shù)列x1，x2，x3．將這個數(shù)列如下式進行計算：x1(1)數(shù)列-5，4，-3的“理想數(shù)值”為；(2)將-5，4，-3這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個不同的數(shù)列，這些數(shù)列的“理想數(shù)值”的最大值是，取得“理想數(shù)值”的最大值的數(shù)列是；(3)將“-1，7，a（a<0）”這三個數(shù)按照不同的順序排列，可得到若干個不同的數(shù)列，這些數(shù)列的“理想數(shù)值”的最大值是10，求【變式12-1】（2022·山東威?！て谥校緮?shù)學(xué)閱讀】高斯上小學(xué)時，有一次數(shù)學(xué)老師讓同學(xué)們計算“從1到100這100個正整數(shù)的和”．許多同學(xué)都采用了依次累加的計算方法，計算起來非常繁瑣，且易出錯．聰明的高斯經(jīng)過探索后，給出了下面的解答過程：解：設(shè)S＝1+2+3+…+100，①則S＝100+99+98+…+1．②①+②，得（即左右兩邊分別相加）：2S＝（1+100）+（2+99）+（3+98）+…+（100+1）＝100×101．所以，S＝100×1012所以，1+2+3+…+100＝5050．后來人們將高斯的這種解答方法概括為“倒序相加法”．【問題解決】利用“倒序相加法”解答下面的問題：(1)計算：1+2+3+…+101；(2)猜想：1+2+3+…+n＝；(3)利用（2）中的結(jié)論，計算：1001+1002+…+2000．【變式12-2】（2022·上海黃浦·期中）每個假分?jǐn)?shù)可以寫成一個自然數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和（例如4211=3+911，真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)又可以寫成一個自然數(shù)與一個真分?jǐn)?shù)的和(11如：對于假分?jǐn)?shù)4211，則421199221所生成的自然數(shù)組為{3，1，4，2}．請根據(jù)上述閱讀材料填空：(1)由假分?jǐn)?shù)277(2)已知某個假分?jǐn)?shù)所生成的自然數(shù)組為{2，4，1，1，3}，那么這個假分?jǐn)?shù)是_______．【變式12-3】（2022·重慶市第九十五初級中學(xué)校七年級期中）閱讀理解材料一：若一個正整數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被3整除，則這個數(shù)就能被3整除；反之也能夠成立．材料二：兩位數(shù)p和三位數(shù)q，它們各個數(shù)位上的數(shù)字都不為0，將數(shù)p任意一個數(shù)位上的數(shù)字作為一個新的兩位數(shù)的十位數(shù)字，將數(shù)q的任意一個數(shù)位上的數(shù)字作為該新數(shù)的兩位數(shù)的個位數(shù)字，按照這種方式產(chǎn)生的所有新的兩位數(shù)的和記為Tp,q．例如：T12,123=11+12+13+21+22+23=102(1)計算：T15,345(2)試說明：當(dāng)q能夠被3整除時Tp,q【考點13有理數(shù)的實際應(yīng)用】【例13】（2022·湖北黃石·七年級期末）地球北緯30°線是一條神秘而又奇特的緯線，我國有許多資源豐富的名山都分布在這條緯線附近．峨眉山與黃山植物種類的比是11:5，已知峨眉山有植物3300種，黃山的植物種類是廬山的58【變式13-1】（2022·黑龍江省新華農(nóng)場中學(xué)期末）下面是學(xué)校到少年宮的行走路線圖(1)如果小明從公園到學(xué)校，請敘述一下他的行走路線．(2)如果他每分鐘走60米，那么他從公園走到學(xué)校要走幾分鐘？【變式13-2】（2022·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校期中）當(dāng)溫度每上升2℃時，某種金屬絲伸長0.003mm．反之，當(dāng)溫度每下降2℃時，金屬絲縮短0.002mm．把17℃的這種金屬絲加熱到63℃，再使它冷卻降溫到5℃，最后的長度和原來相比是伸長了還是縮短了？伸長了或縮短了多少？【變式13-3】（2022·湖北黃石·七年級期末）一個高為8cm，容積為50mL的圓柱形容器里裝滿了水，現(xiàn)把高【考點14正負(fù)數(shù)的實際應(yīng)用】【例14】（陜西省西安市雁塔區(qū)師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）為全力迎接全國第十四屆運動會，西安市將繼續(xù)加快交通高質(zhì)量發(fā)展，不斷增強市民獲得感和幸福感．某檢修小組從O地出發(fā)，在東西向的馬路上檢修線路，如果規(guī)定向東行駛為正，向西行駛為負(fù)，一天中七次行駛記錄如下，（單位：km）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次﹣4＋7﹣9＋8＋6﹣5﹣1（1）求收工時距O地多遠(yuǎn)？（2）在第幾次記錄時距O地最遠(yuǎn)？（3）若每千米耗油0.2升，問共耗油多少升？【變式14-1】（黑龍江省哈爾濱市德強初中2022-2023學(xué)年下學(xué)期雙減下的數(shù)學(xué)匯報試卷六年級（五四制））某一出租車一天下午以博物館為出發(fā)地在東西方向營運，向東為正，向西為負(fù)，行車?yán)锍蹋▎挝唬簁m）依先后次序記錄如下：＋9、－3、－5、＋4、－8、＋6、－3、－6、－4、＋8(1)在第______次記錄時距博物館最遠(yuǎn)．(2)將最后一名乘客送到目的地，出租車離博物館出發(fā)點多遠(yuǎn)？在博物館的什么方向？(3)若每千米的價格為1.9元，司機一個下午的營業(yè)額是多少？【變式14-2】（山東省煙臺市牟平區(qū)2022-2023學(xué)年六年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）某小型體育用品加工廠計劃一天生產(chǎn)300個足球，但由于各種原因，實際每天生產(chǎn)足球個數(shù)與計劃每天生產(chǎn)足球個數(shù)相比有出入．下表是某周的生產(chǎn)情況（增產(chǎn)記為正、減產(chǎn)記為負(fù)）：星期一二三四五六七增減+3?5?2+9?7+12?3(1)求該廠本周實際生產(chǎn)足球的個數(shù)；(2)求產(chǎn)量最多的一天比產(chǎn)量最少的一天多生產(chǎn)足球的個數(shù)；(3)該廠實行每日計件工資制，按計劃完成每生產(chǎn)一個足球可得6元，若超額完成任務(wù)，則超過部分每個另獎2元，若未能完成任務(wù)，則少生產(chǎn)一個扣2.5元，那么該廠工人這一周的工資總額是多少元？【變式14-3】（廣西桂林市灌陽縣2022-2023學(xué)年七年級上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）如圖，某快遞員要從公司點A出發(fā)，前往B、C、D等地派發(fā)包裹，規(guī)定：向上向右走為正，向下向左走為負(fù)，并且行走方向順序為先左右再上下．如果從A到B記為：A→B（＋1，＋4），從B到A記為：B→A（－1，－4），其中第一個數(shù)表示左右方向，第二個數(shù)表示上下方向，請根據(jù)圖完成如下問題：（1）A→C（，），B→D（，），C→D（＋1，）；（2）若快遞員的行走路線為A→B→C→D，請計算該快遞員走過的路程；（3）若快遞員從A處去某P處的行走路線依次為（＋2，＋2），（＋1，－1），（－2，＋3），（－1，－2），請在圖中標(biāo)出P的位置．【考點15有理數(shù)中的規(guī)律探究】【例15】（2022·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)七年級期中）觀察下面算式的演算過程：1+11×31+13×5……（1）根據(jù)上面的規(guī)律，直接寫出下面結(jié)果：1+15×7=______________．1+12n×(2n+2)=（2）根據(jù)規(guī)律計算：(1+1【變式15-1】（2022·湖南岳陽·七年級期中）請觀察下列算式，找出規(guī)律并填空．，，，．則第10個算式是________，第個算式是________．根據(jù)以上規(guī)律解讀以下兩題：（1）求的值；（2）若有理數(shù)，滿足，試求：的值．【變式15-2】（2022·湖南長沙·七年級期中）由乘方的定義可知：an=a×a×a×???×a（n個222(1)52(2)m2(3)計算：(?2)2021【變式15-3】（2022·寧夏·銀川英才學(xué)校七年級期中）點（為正整數(shù)）都在數(shù)軸上，點在原點的左邊，且；點在點的右邊，且；點在點的左邊，且；點在點的右邊，且；…，依照上述規(guī)律，點所表示的數(shù)分別為

（

）A．2018，－2019 B．1009，－1010 C．－2018，2019 D．－1009，1009【考點16數(shù)軸與絕對值、動點的綜合探究】【例16】（2022·湖南·永州市德雅學(xué)校七年級階段練習(xí)）閱讀下面材料：如圖，點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，則A，B兩點之間的距離可以表示為a?b．根據(jù)閱讀材料與你的理解回答下列問題：(1)數(shù)軸上表示3與﹣2的兩點之間的距離是______．(2)數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)7所對應(yīng)兩點之間的距離用絕對值符號可以表示為______．(3)代數(shù)式x+8可以表示數(shù)軸上有理數(shù)x與有理數(shù)______所對應(yīng)的兩點之間的距離；若x+8=5，則x(4)求代數(shù)式x+1010+x+505+【變式16-1】（2022·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校期中）如圖，數(shù)軸上點O為原點，點A所表示的數(shù)為a，點B所表示的數(shù)為b，且a、b滿足|a+4|+(b?2)(1)請直接寫出點A所表示的數(shù)：______，點B所表示的數(shù)：______．(2)如圖1，點P從A出發(fā)以2個單位/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，點P運動的同時，點Q從B出發(fā)以1個單位/秒的速度沿數(shù)軸向右運動，在運動過程中，數(shù)軸上動點M到點P、原點O的距離始終相等，設(shè)點Q到點M之間的距離為d，求d的值．(