2023年高考數學一輪復習 考點15 數列綜合問題解析版

考點15數列綜合問題（核心考點講與練）數列應用題常見模型(1)等差模型：如果后一個量比前一個量增加(或減少)的是同一個固定值，該模型是等差模型，增加(或減少)的量就是公差.(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是同一個固定的非零常數，該模型是等比模型，這個固定的數就是公比.(3)遞推數列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關系不固定，隨項的變化而變化，應考慮an與an＋1(或者相鄰三項等)之間的遞推關系，或者Sn與Sn＋1(或者相鄰三項等)之間的遞推關系.1.數列的應用，解題的關鍵是通過找到圖形之間的關系，得到等比數列，求數列通項公式常用的方法：（1）由與的關系求通項公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）兩邊取到數，構造新數列法.2.等差、等比數列的綜合問題的分析，應重點分析等差、等比數列的通項及前n項和；分析等差、等比數列項之間的關系．往往用到轉化與化歸的思想方法．3.數列與函數常常以函數的解析式為載體，轉化為數列問題，常用的數學思想方法有“函數與方程”“等價轉化”等．4.數列與不等式問題要抓住一個中心——函數，兩個密切聯(lián)系：一是數列和函數之間的密切聯(lián)系，數列的通項公式是數列問題的核心，函數的解析式是研究函數問題的基礎；二是方程、不等式與函數的聯(lián)系，利用它們之間的對應關系進行靈活的處理．5.＂新定義＂型問題是指在問題中定義了初中數學中沒有學過的一些概念、新運算、新符號，要求學生讀懂題意并結合已有知識進行理解，而后根據新定義進行運算、推理、遷移的一種題型.它一般分為三種類型：（1）定義新運算；（2）定義初、高中知識銜接＂新知識＂;（3）定義新概念.這類試題考查考生對＂新定義＂的理解和認識，以及靈活運用知識的能力，解題時需要將＂新定義＂的知識與已學知識聯(lián)系起來，利用已有的知識經驗來解決問題.6.數列與函數、不等式綜合問題的求解策略：1、已知數列的條件，解決函數問題，解決此類問題一把要利用數列的通項公式，前項和公式，求和方法等對于式子化簡變形，注意數列與函數的不同，數列只能看作是自變量為正整數的一類函數，在解決問題時要注意這一特殊性；2、解決數列與不等式的綜合問題時，若是證明題中，則要靈活選擇不等式的證明方法，如比較法、綜合法、分析法、放縮法等，若是含參數的不等式恒成立問題，則可分離參數，轉化為研究最值問題來解決.數列的綜合應用一、單選題1．（2022·山東青島·一模）我國古代數學著作《九章算術》中有如下問題：“今有人持金出五關，前關二稅一，次關三而稅一，次關四而稅一，次關五而稅一，次關六而稅一，并五關所稅，適重一斤．問本持金幾何？”其意思為“今有人持金出五關，第1關收稅金為持金的，第2關收稅金為剩余金的，第3關收稅金為剩余金的，第4關收稅金為剩余金的，第5關收稅金為剩余金的，5關所收稅金之和恰好重1斤．問原來持金多少？”．記這個人原來持金為斤，設，則（

）A． B．7 C．13 D．26【答案】C【分析】根據題意求得每次收的稅金，結合題意得到，求得的值，代入函數的解析式，即可求解.【詳解】由題意知：這個人原來持金為斤，第1關收稅金為：斤；第2關收稅金為斤；第3關收稅金為斤，以此類推可得的，第4關收稅金為斤，第5關收稅金為斤，所以，即，解得，又由，所以.故選：C.2．（2021·廣東佛山·二模）科技創(chuàng)新離不開科研經費的支撐，在一定程度上，研發(fā)投入被視為衡量“創(chuàng)新力”的重要指標.“十三五”時期我國科技實力和創(chuàng)新能力大幅提升，2020年我國全社會研發(fā)經費投入達到了24426億元，總量穩(wěn)居世界第二，其中基礎研究經費投入占研發(fā)經費投入的比重是6.16%.“十四五”規(guī)劃《綱要草案》提出，全社會研發(fā)經費投入年均增長要大于7%，到2025年基礎研究經費占比要達到8%以上，請估計2025年我國基礎研究經費為（

）A．1500億元左右 B．1800億元左右 C．2200億元左右 D．2800億元左右【答案】D【分析】由題意可知，2025年我國全社會研發(fā)經費投入不得低于,再根據2025年基礎研究經費占比要達到8%以上，即可求出2025年我國基礎研究經費的最低值，從而選出正確選項.【詳解】由題意可知，2025年我國全社會研發(fā)經費投入不得低于億元，又因為2025年基礎研究經費占比要達到8%以上，所以2025年我國基礎研究經費不得低于億元故選：D3．（2022·湖南·一模）在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設某種傳染病的基本傳染數，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）那么感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數為（參考數據：，）（

）A．35 B．42 C．49 D．56【答案】B【分析】根據題意列出方程，利用等比數列的求和公式計算n輪傳染后感染的總人數，得到指數方程，求得近似解，然后可得需要的天數.【詳解】感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數為，經過n輪傳染，總共感染人數為：，∵，∴當感染人數增加到1000人時，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數由1個初始感染者增加到1000人大約需要天，故選：B【點睛】等比數列基本量的求解是等比數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程．4．（2022·陜西西安·一模（理））2020年底，國務院扶貧辦確定的貧困縣全部脫貧摘帽脫貧攻堅取得重大勝利！為進步鞏固脫貧攻堅成果，接續(xù)實施鄉(xiāng)村振興戰(zhàn)略，某企業(yè)響應政府號召，積極參與幫扶活動．該企業(yè)2021年初有資金500萬元，資金年平均增長率可達到20%．每年年底扣除下一年必須的消費資金后，剩余資金全部投入再生產為了實現(xiàn)5年后投入再生產的資金達到800萬元的目標，每年應扣除的消費資金至多為（

）（單位：萬元，結果精確到萬元）（參考數據：，）A．83 B．60 C．50 D．44【答案】B【分析】由題可知5年后投入再生產的資金為：，即求.【詳解】設每年應扣除的消費資金為萬元，則1年后投入再生產的資金為：，2年后投入再生產的資金為：，5年后投入再生產的資金為：∴，∴.故選：B二、雙空題5．（2022·湖北·一模）2022年北京冬奧會開幕式中，當《雪花》這個節(jié)目開始后，一片巨大的“雪花”呈現(xiàn)在舞臺中央，十分壯觀.理論上，一片雪花的周長可以無限長，圍成雪花的曲線稱作“雪花曲線”，又稱“科赫曲線”，是瑞典數學家科赫在1904年研究的一種分形曲線.如圖是“雪花曲線”的一種形成過程：從一個正三角形開始，把每條邊分成三等份，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，重復進行這一過程若第1個圖中的三角形的周長為1，則第n個圖形的周長為___________；若第1個圖中的三角形的面積為1，則第n個圖形的面積為___________.【答案】

【分析】由圖形之間的邊長的關系，得到周長是等比數列，再按照等比數列通項公式可得解；由圖形之間的面積關系及累加法，結合等比數列求和可得解.【詳解】記第個圖形為，三角形邊長為，邊數，周長為，面積為有條邊，邊長；有條邊，邊長；有條邊，邊長；分析可知，即；，即當第1個圖中的三角形的周長為1時，即，所以由圖形可知是在每條邊上生成一個小三角形，即即，，，利用累加法可得數列是以為公比的等比數列，數列是以為公比的等比數列，故是以為公比的等比數列，當第1個圖中的三角形的面積為1時，，即，此時，，有條邊，則所以，所以故答案為：，【點睛】關鍵點睛：本題考查數列的應用，解題的關鍵是通過找到圖形之間的關系，得到等比數列，求數列通項公式常用的方法：（1）由與的關系求通項公式；（2）累加法；（3）累乘法；（4）兩邊取到數，構造新數列法.三、填空題6．（2021·遼寧鐵嶺·一模）趙先生準備通過某銀行貸款5000元，然后通過分期付款的方式還款．銀行與趙先生約定：每個月還款一次，分12次還清所有欠款，且每個月還款的錢數都相等，貸款的月利率為，則趙先生每個月所要還款的錢數為______元．（精確到元，參考數據）【答案】【分析】本題首先可設每一期所還款數為元，然后結合題意列出每期所還款本金，并根據貸款5000元列出方程，最后借助等比數列前項和公式進行計算即可得出結果.【詳解】設每一期所還款數為元，因為貸款的月利率為，所以每期所還款本金依次為、、、、，則，即，，，，小明每個月所要還款約元，故答案為：.四、解答題7．（2020·河南·一模（理））市民小張計劃貸款60萬元用于購買一套商品住房，銀行給小張?zhí)峁┝藘煞N貸款方式.①等額本金：每月的還款額呈遞減趨勢，且從第二個還款月開始，每月還款額與上月還款額的差均相同；②等額本息：每個月的還款額均相同.銀行規(guī)定，在貸款到賬日的次月當天開始首次還款（若2019年7月7日貸款到賬，則2019年8月7日首次還款）.已知小張該筆貸款年限為20年，月利率為0.004.（1）若小張采取等額本金的還款方式，現(xiàn)已得知第一個還款月應還4900元，最后一個還款月應還2510元，試計算小張該筆貸款的總利息；（2）若小張采取等額本息的還款方式，銀行規(guī)定，每月還款額不得超過家庭平均月收入的一半，已知小張家庭平均月收入為1萬元，判斷小張該筆貸款是否能夠獲批（不考慮其他因素）；（3）對比兩種還款方式，從經濟利益的角度來考慮，小張應選擇哪種還款方式.參考數據：.【答案】（1）289200元；（2）能夠獲批；（3）應選擇等額本金還款方式【解析】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數列，即可由等差數列的前n項和公式求得其還款總額，減去本金即為還款的利息；（2）根據題意，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數列，設小張每月還款額為元，由等比數列求和公式及參考數據，即可求得其還款額，與收入的一半比較即可判斷；（3）計算出等額本息還款方式時所付出的總利息，兩個利息比較即可判斷.【詳解】（1）由題意可知，等額本金還款方式中，每月的還款額構成一個等差數列，記為，表示數列的前項和，則，，則，故小張該筆貸款的總利息為元.（2）設小張每月還款額為元，采取等額本息的還款方式，每月還款額為一等比數列，則，所以，即，因為，所以小張該筆貸款能夠獲批.（3）小張采取等額本息貸款方式的總利息為：，因為，所以從經濟利益的角度來考慮，小張應選擇等額本金還款方式.【點睛】本題考查了等差數列與等比數列求和公式的綜合應用，數列在實際問題中的應用，理解題意是解決問題的關鍵，屬于中檔題.8．（2022·全國·模擬預測）在一個傳染病流行的群體中，通常有3類人群：類別特征S類（Susceptible）易感染者，體內缺乏有關抗體，與I類人群接觸后易變?yōu)镮類人群．I類（Infectious）感染者，可以接觸S類人群，并把傳染病傳染給S類人群；康復后成為R類人群．R類（Recovered）康復者，自愈或者經治療后康復且體內存在相關抗體的I類人群；若抗體存在時間有限，可能重新轉化為S類人群．在一個600人的封閉環(huán)境中，設第n天S類，I類，R類人群人數分別為，，．其中第1天，，．為了簡化模型，我們約定各類人群每天轉化的比例參數恒定：S類→I類占當天S類比例I類→R類占當天I類比例R類→S類占當天R類比例(1)已知對于傳染病A有，，．求，；(2)已知對于傳染病B有，，．（Ⅰ）證明：存在常數p，q，使得是等比數列；（Ⅱ）已知防止傳染病大規(guī)模傳播的關鍵途徑至少包含：①控制感染人數；②保護易感人群．請選擇一項，通過相關計算說明：實際生活中，相較于傳染病A需要投入更大力量防控傳染病B．【答案】(1)；；【分析】（1）根據條件可得，進而可得，再通過構造數列，可得，即求；（2）由題可得，進而可得，即得；再結合傳染病A和傳染病B的及傳染病A和傳染病B的分析即得結論.(1)由題可知，所以，∵，，∴是以540為首項，以為公比的等比數列，∴，所以，配湊得到，又，所以是首項為，公比為的等比數列，∴，即，所以．(2)（Ⅰ）由題可知，，，，所以，對比系數得到解得或因此我們有：是首項為1480，公比為的等比數列；是首項為1980，公比為的等比數列．原命題得證．（Ⅱ）由上可知，，解得，，選擇①：對比傳染病A和傳染病B的可知，當時間足夠長時傳染病A的I類人群將趨向于0，傳染病B的I類人群將趨向于80．為了控制感染人數，相較于傳染病A需要投入更大力量防控傳染病B．選擇②：對比傳染病A和傳染病B的可知，當時間足夠長時傳染病A的S類人群將趨向于0，傳染病B的S類人群將趨向于40．為了保護易感人群，相較于傳染病A需要投入更大力量防控傳染病B．【點睛】關鍵點點睛：本題第一問的關鍵是構造數列，進而可得；第二問中關鍵是通過對比系數找出關系式，即得.等差數列、等比數列的綜合1.（2021黑龍江省大慶第一中學高三第三次模擬）在各項不為零的等差數列中，，數列是等比數列，且，則的值為（）A．1B．2C．4D．8【答案】C【分析】根據等差數列的性質可知，代入方程可求出，再根據等比數列的性質即可代入求解.【詳解】因為等差數列中，所以，因為各項不為零，所以，因為數列是等比數列，所以所以，故選C.2.（2020貴州省遵義航天高級中學高三（最后一卷)）已知等比數列中，若，且成等差數列，則（）A.2 B.2或32 C.2或-32 D.-1【答案】B【分析】根據等差數列與等比數列的通項公式及性質，列出方程可得q的值，可得的值.【詳解】解：設等比數列的公比為q（），成等差數列，，，，解得：，，，故選B.【點睛】本題主要考查等差數列和等比數列的定義及性質，熟悉其性質是解題的關鍵.數列與函數1.（2019河南省八市重點高中聯(lián)盟“領軍考試”高三壓軸）已知函數有兩個不同的零點，，-2和，三個數適當排序后既可成為等差數列，也可成為等比數列，則函數的解析式為（）A．B．C．D．【答案】C【分析】由函數零點的定義和韋達定理，得，再由和，三個數適當排序后既可成為等差數列，也可成為等比數列，得，，解得，，進而可求解得值，得出函數的解析式．【詳解】由題意，函數有兩個不同的零點，，可得，則，，又由和，三個數適當排序后既可成為等差數列，也可成為等比數列，不妨設，則，，解得，，所以，，所以，故選C.2.（2020上海市建平中學高三月考）已知數列滿足，若存在實數，使單調遞增，則的取值范圍是A. B. C. D.【答案】A【分析】由單調遞增，可得恒成立，則，分析和可排除錯誤選項.【詳解】由單調遞增，可得，由，可得，所以.時，可得.①時，可得，即.②若，②式不成立，不合題意；若，②式等價為，與①式矛盾，不合題意.排除B,C,D,故選A.【點睛】本題考查數列的性質，結合不等式的性質求解.數列不等式1.（2020山西重點中學協(xié)作體高三暑期聯(lián)考）已知數列的各項排成如圖所示的三角形數陣，數陣中每一行的第一個數構成等差數列，是的前項和，且，.(1)若數陣中從第3行開始每行中的數按從左到右的順序均構成公比為正數的等比數列，且公比相等，已知，求的值；(2)設，當時，對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）160；（2）或.試題分析：（I）由等差數列{bn}滿足b1=a1=1，S5=15．求出數列公差后，可得數列的通項公式，結合數陣中從第三行開始每行中的數按從左到右的順序均構成公比為正數的等比數列，且公比相等，a9=16，可求出公比，進而求出a50的值；（Ⅱ）由（1）求出Sn的表達式，利用裂項相消法求出Tn的表達式，進而將不等式恒成立問題，轉化為最值問題，利用導數法，可得答案．試題解析：(1)設等差數列的公差為，∵，，∴，.∴，設從第3行起，每行的公比都是，且，，，.，故是數陣中第10行的第5個數.故.(2)∵，∴；令，則當時，，在上為減函數，∴為遞減數列，的最大值為.∴不等式變?yōu)楹愠闪ⅲO，，則，即，解得或.2.（2022河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟高三聯(lián)考）已知數列滿足且數列是單調遞增數列，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根據遞增數列可得關于的不等式組，從而可求其取值范圍.【詳解】由題意可得解得.故選：A.數列新定義1.（2020廣東省廣州、深圳市學調聯(lián)盟高三下學期第二次調研）對于實數x，[x]表示不超過x的最大整數，已知正數列{an}滿足Sn=（an），n∈N*，其中Sn為數列{an}的前n項的和，則[]=______．【答案】20【分析】先由數列的關系求出，再利用放縮法和裂項相消求得前n項和S的值，可得答案.【詳解】由題可知，當時，化簡可得，當所以數列是以首項和公差都是1等差數列，即又時，記一方面另一方面所以即故答案為202.（2022遼寧省六校高三上學期期初聯(lián)考）意大利著名數學家斐波那契在研究兔子繁殖問題時，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數：1，1，2，3，5，…，其中從第三項起，每個數等于它前面兩個數的和，后來人們把這樣的一列數組成的數列稱為“斐波那契數列”，記為數列的前項和，則下列結論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ACD【分析】由題意可得數列滿足遞推關系，依次判斷四個選項，即可得正確答案.【詳解】對于A，寫出數列的前6項為，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，由，，，……，，可得：，故C正確.對于D，斐波那契數列總有，則，，，……，，，可得，故D正確；故選：ACD.【點睛】本題以“斐波那契數列”為背景，考查數列的遞推關系及性質，考查方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意遞推關系的靈活轉換，屬于中檔題.1.（2021年全國高考乙卷）設是首項為1的等比數列，數列滿足．已知，，成等差數列．（1）求和的通項公式；（2）記和分別為和的前n項和．證明：．【答案】（1），；（2）證明見解析.【分析】（1）利用等差數列的性質及得到，解方程即可；（2）利用公式法、錯位相減法分別求出，再作差比較即可.【詳解】（1）因為是首項為1的等比數列且，，成等差數列，所以，所以，即，解得，所以，所以.（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和，，．設，⑧則．⑨由⑧-⑨得．所以．因此．故．[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法證明：由（1）可得，，①，②①②得，所以，所以，所以.[方法三]：構造裂項法由（Ⅰ）知，令，且，即，通過等式左右兩邊系數比對易得，所以．則，下同方法二．[方法四]：導函數法設，由于，則．又，所以，下同方法二．【整體點評】本題主要考查數列的求和，涉及到等差數列的性質，錯位相減法求數列的和，考查學生的數學運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據式子得結構類型靈活選擇，關鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進而證得結論；方法二根據數列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結論,為最優(yōu)解；方法三采用構造數列裂項求和的方法，關鍵是構造，使，求得的表達式，這是錯位相減法的一種替代方法，方法四利用導數方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.一、單選題1．（2022·重慶八中模擬預測）如圖，將鋼琴上的12個鍵依次記為，，，．設．若且，則，，為原位大三和弦；若且，則稱，，為原位小三和弦．用這12個鍵可以構成的原位大三和弦與原位小三和弦的個數之差為（

）A．5 B． C．0 D．10【答案】C【分析】按照題目中的定義依次列舉出來，計算差即可.【詳解】若且，則，，為原位大三和弦，即有，，；，，；，，；，，；，，，共5個；若且，則，，為原位小三和弦，可得，，；，，；，，；，，；，，，共5個，個數差為0．故選：C.2．（2021·陜西咸陽·模擬預測）某城鎮(zhèn)為改善當地生態(tài)環(huán)境，2016年初投入資金120萬元，以后每年投入資金比上一年增加10萬元，從2020年初開始每年投入資金比上一年增加，到2025年底該城鎮(zhèn)生態(tài)環(huán)境建設共投資大約為（

）A．1600萬元 B．1660萬元 C．1700萬元 D．1810萬元【答案】D【解析】設2016年到2025年每年投入資金分別為，，，，，，，，由題意知分別為等差數列、等比數列，分別求數列和，即可求解.【詳解】設2016年到2025年每年投入資金分別為，，，，，，，，由已知，，，為等差數列，，，其和為.，，，為等比數列，，公比，其和為，又，.共投入資金大約為1810萬元.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：實際問題中，關鍵要讀懂題意，抽象出數列，并判斷數列為等差還是等比數列，利用數列的通項公式、求和公式解決實際問題.3．（2022·四川涼山·二模（文））在“全面脫貧”行動中，貧困戶小王2020年1月初向銀行借了扶貧免息貸款10000元，用于自己開設的土特產品加工廠的原材料進貨，因產品質優(yōu)價廉，上市后供不應求，據測算每月獲得的利潤是該月月初投入資金的20%，每月月底需繳納房租600元和水電費400元.余款作為資金全部用于再進貨，如此繼續(xù).設第n月月底小王手中有現(xiàn)款為，則下列結論正確的是（

）（參考數據：，）①②③2020年小王的年利潤約為40000元④兩年后，小王手中現(xiàn)款約達41萬A．②③④ B．②④ C．①②④ D．②③【答案】A【分析】由題可知，月月底小王手中有現(xiàn)款為，月月底小王手中有現(xiàn)款為之間的遞推關系為，，進而根據遞推關系求出通項公式即可得答案.【詳解】對于①選項，元，故①錯誤對于②選項，第月月底小王手中有現(xiàn)款為，則第月月底小王手中有現(xiàn)款為，由題意故②正確；對于③選項，由得所以數列是首項為公比為1.2的等比數列，所以，即所以2020年小王的年利潤為元，故③正確；對于④選項，兩年后，小王手中現(xiàn)款為元，即41萬，故④正確.故選：A.二、多選題4．（2022·重慶·一模）已知數列，均為遞增數列，它們的前項和分別為，，且滿足，，則下列結論正確的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用代入法求出前幾項的關系即可判斷出與的取值范圍，再分別求出數列與的前項和的表達式即可判斷大小關系．【詳解】由是遞增數列，得；又，所以，所以，所以，故選項A正確；，故B不正確；由是遞增數列，得，又，所以，所以，所以，故選項C正確；所以，所以，又，所以，而，當時，；當時，可驗證，所以對于任意的，，故選項D正確．故選：ACD．【點睛】關鍵點點睛：解決本題的第一個關鍵是根據數列的單調性建立不等式，從而判斷選項A、C，第二個關鍵是在求和時采用分組求和，第三個關鍵是比較大小.5．（2022·全國·模擬預測）對于給定數列，如果存在實數t，m，對于任意的均有成立，那么我們稱數列為“M數列”，則下列說法正確的是（

）A．數列是“M數列”B．數列不是“M數列”C．若數列為“M數列”，則數列是“M數列”D．若數列滿足，，則數列是“M數列”【答案】ACD【分析】根據“M數列”定義，依次判斷四個答案，驗證t，m的存在性，進而判斷答案.【詳解】對于選項A，由“M數列”定義，得，即，存在，對于任意的都成立，故選項A正確；對于選項B，由“M數列”定義，得，即，存在，對于任意的都成立，故選項B錯誤；對于選項C，若數列為“M數列”，則，所以，存在m=0成立所以數列是“M數列”，故選項C正確；對于選項D，若數列是“M數列”，則，可得，即，故，對于任意的都成立，則所以，或.當，時，，此時數列是“M數列”；當時，，此時數列是“M數列”，故選項D正確.故選：ACD.6．（2021·全國·模擬預測）對于首項為負數的無窮等比數列，若對任意的n，，，則稱為“M數列”；若對任意的，存在，使得，則稱為“L數列”.若數列的公比為q，則（

）A．當q<0時，是“M數列”B．當q<0時，不是“L數列”C．當q>0時，為“L數列”，則一定為“M數列”D．當q>0時，為“M數列”，則一定為“L數列”【答案】BC【分析】根據“M數列”和“L數列”的定義逐一對各選項分析判斷即可.【詳解】選項A，當時，取，則，不成立，這與對任意的n，，，相矛盾，故不是“M數列”，故A不正確；選項B，假設為“L數列”，則對任意的，存在，使得，由，得，所以，即，所以，但此時，與對任意的，存在，使得相矛盾，所以假設不成立，所以當q<0時，不是“L數列”，故B正確；選項C，當時，為“L數列”，則對任意的，存在，使得，即，又，所以，所以，所以，而對任意的n，，，因為，所以，，所以，即對任意的n，，，所以為“M數列”，故C正確；選項D，當q>0時，為“M數列”，取，則不存在，使得成立，故不為“L數列”，故D不正確.故選：BC7．（2022·山東聊城·一模）在數列中，對于任意的都有，且，則下列結論正確的是（

）A．對于任意的，都有B．對于任意的，數列不可能為常數列C．若，則數列為遞增數列D．若，則當時，【答案】ACD【分析】A由遞推式有上，結合恒成立，即可判斷：B反證法：假設為常數列，根據遞推式求判斷是否符合，即可判斷；C、D由上，討論、研究數列單調性，即可判斷.【詳解】A：由，對有，則，即任意都有，正確；B：由，若為常數列且，則滿足，錯誤；C：由且，當時，此時且，數列遞增；當時，此時，數列遞減；所以時數列為遞增數列，正確；D：由C分析知：時且數列遞減，即時，正確.故選：ACD【點睛】關鍵點點睛：選項B應用反證法，假設為常數列求通項，判斷是否與矛盾；對于C、D，將遞推式變形為，討論、研究數列單調性.8．（2021·福建·廈門一中模擬預測）記表示與實數最接近的整數，數列通項公式為，其前項和為，設，則下列結論正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】BC【分析】由時，可判定A不正確；由，可判定B正確；由，可得，根據是右側的最接近的整數，可判定C正確；根據題意歸納得到數列中，有2個1，4個，6個，8個，，結合等差數列求和公式，可判定D不正確.【詳解】由題意，記表示與實數最接近的整數，且，當時，可得，所以A不正確；由，即，可得，可得成立，所以B正確；由，可得，平方可得，因為，且不是整數，其中是右側的最接近的整數，所以成立，所以C正確；當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；當時，，此時；歸納可得數列中，有2個1，4個，6個，8個，又由構成首項為2，公差為2的等差數列，可得，令，解得，所以，所以D不正確.故選：BC.【點睛】與數列的新定義有關的問題的求解策略：1、通過給出一個新的數列的定義，或約定一種新的運算，或給出幾個新模型來創(chuàng)設新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎上，依據題目提供的信息，聯(lián)系所學的知識和方法，實心信息的遷移，達到靈活解題的目的；2、遇到新定義問題，應耐心讀題，分析新定義的特點，弄清新定義的性質，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運算、驗證，使得問題得以解決.三、填空題9．（2022·重慶八中模擬預測）已知數列滿足：①仍為數列中的項；②當，且時，仍為數列中的項；③仍為數列中的項.則其通項公式可以為___________.【答案】(答案不唯一)【分析】結合三個性質與等比數列的性質即可猜測該數列為一個等比數列，構造一個通項公式逐項驗證即可得到一個答案．【詳解】結合三個性質與等比數列的性質，不妨設，則仍為數列中的項；當，且時，仍為數列中的項；仍為數列中的項；故滿足題意．故答案為：．四、解答題10．（2022·湖北·二模）已知正項等差數列滿足：，且成等比數列．(1)求的通項公式；(2)設，是數列的前n項和，若對任意均有恒成立，求的最小值．【答案】(1)(2)最小值為【分析】（1）設等差數列的公差為，由及等差數列的通項公式得到，則，再根據等比中項的性質得到方程，求出，即可得解；（2）由（1）可得，利用裂項相消法求和得到，即可得到，從而求出的取值范圍，即可得解；(1)解：設等差數列的公差為，由得，則，所以．因為、、成等比數列，所以，即，所以，解得或，因為為正項數列，所以，所以，所以．(2)解：由（1）可得，所以，因為對任意均有，所以，所以實數的最小值為11．（2022·湖南·雅禮中學二模）已知數列{}滿足∈N*，為該數列的前n項和.(1)求證：數列{}為遞增數列；(2)求證：.【分析】（1）由題可得即可證明；（2）由已知可得，即可求出，根據數列為遞增數列可得即可證明.(1)因為，取倒數可得，整理可得，所以數列為遞增數列；(2)由可得，即，所以，又，所以，，即.12．（2022·