專題橢圓的離心率解法大全之歐陽德創(chuàng)編

22或3m120.歐陽德創(chuàng)編22或3m120.

專題：橢圓離心率時間：

創(chuàng)作：歐陽德一，利用定求橢圓的離率（

e

ca

或

e

）1，已知橢圓的長軸長是短軸長的2倍，則橢圓的離心率

e

2，橢圓xy的離心率為1，則4m

[解析]當(dāng)焦點在x軸上時，m1軸上時，m3

422，

3

；

當(dāng)焦點在綜上3已知橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率是

354，已知m,n,m+n成等差數(shù)列，m，n成等比數(shù)列，則橢圓

22m

1

的離心率為[解]由

2

m

，橢圓

22m

1

的離心率為225，已知

m歐陽德創(chuàng)編

則當(dāng)

mn取得最小值時，橢

xy21與ABBF交于D,b歐陽德創(chuàng)編xy21與ABBF交于D,b

圓

22m2n

1

的的離心率為

6，設(shè)橢圓=1（a＞＞0）的右焦點為1右準(zhǔn)2b線為l，若過F且垂直于軸的弦的長等于點F到111l1

的距離，則橢圓的離心率是。2二，運用幾圖形中線段幾何意義結(jié)橢圓的定求離心率

e，在中，

，

，如果一個橢圓過A兩點，它的一個焦點為C，另一個焦點在AB上，求這個橢圓的離心率

e3

2，如圖所,圓中心在原點,F是左焦點,直線BDB,則橢圓的離心率為)1[解析]

)aac

2

2

e

523，以橢圓的右焦點F為圓心作圓，使該圓過橢圓的中2心并且與橢圓交于、N兩點，橢圓的左焦點為F，直線MF與圓相切，則橢圓的離心率是11

3變式（1）：以橢圓的一個焦點F為圓心作一個圓，使該圓過橢圓的中心O并且與橢圓交于兩點，如果∣MF∣=∣MO∣，則橢圓的離心率是34,橢圓

x2y2+=1(a>b的兩焦點為F、F，以ab12FF為邊作正三角形，若橢圓恰好平分正三角形的兩12邊，則橢圓的離心率e？解：∵｜FF｜=2c｜=c｜BF｜=3c1212歐陽德創(chuàng)編

1歐陽德創(chuàng)編1

cc+3c=2a∴e==3-1ax2y2變式（1）：橢圓+=1(a>b的兩焦點為F、ab21F，點P在橢圓上，使△為正三角形，求橢圓離21心率？解：連接PF,則｜｜=｜OF｜=｜OP｜,∠FPF2211

2=90°圖形如上圖，e=3-1x2y2變式（2）橢圓+=1(a>b的兩焦點為F、ab21F，AB為橢圓的頂點P是橢圓上一點，且PF21軸，PF∥AB,求橢圓離心率？2b2解：∵｜PF｜=｜FF｜=2c｜OB｜=b｜OA｜1a21｜PF｜b=aPF∴=又∵b=a2｜FF｜a21∴a2

e=

55變式(3):將上題中的條件“PF∥AB變換為“PO∥2AB(為坐標(biāo)原點)”x2y2相似題：橢圓+=1(a>b>0)，A是左頂點，F(xiàn)是ab2右焦點，B是短軸的一個頂點，，求e?解：｜AO｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB=a2+b2a22=(a+c)=aa2-c兩邊同除以a

-1+5-1-5ee=e=(舍去)22變式(1):橢圓

x2y2-1+5+=1(a>b>0),A左ab2歐陽德創(chuàng)編

122，設(shè)橢圓2222PF9022歐陽德122，設(shè)橢圓2222PF9022

頂點，F(xiàn)是右焦點，是短軸的一個頂點，求∠ABF？點評：此題是上一題的條件與結(jié)論的互換，解題中分析各邊，由余弦定理解決角的問題。答案：90°5-1引申：此類e=的橢圓為優(yōu)美橢圓。2性質(zhì)：（1）（2）假設(shè)下端點為B,則ABFB四點共圓。11（3）焦點與相應(yīng)準(zhǔn)線之間的距離等于長半軸長。變式2):橢圓(＞b的四頂點為、ab、D，若四邊形的內(nèi)切圓恰好過橢圓的焦點，則橢圓的離心率e=

52

．提示：內(nèi)切圓的圓心即原點，半徑等于，又等于直角三角形AOB斜邊上的高，∴由面積得：abra

2

2

，但

r左、右焦點分別為FF，1如果橢圓上存在點P，使，求離心率e的取值范圍。解：設(shè)P12法1：利用橢圓范。

12由

FP

得

x

2

2

2

，將這個方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，可解得a22b2

a

2

(c

2e

2

2

)

。由橢圓的性質(zhì)知

，得

附：還可以用參數(shù)的方法也能求出離心率的范圍（與法1類）歐陽德創(chuàng)編

12歐陽德創(chuàng)編12法2：判別式法。

由橢PF|2a|PF|FPF2

圓

定PF|42

義知，又因為可得PF|12

2

PF212

PF|22，

2

F|1

2

c

2

，

則PF1

，

2

是方程

2azb20

的兩個根，則a22)e

22

2e2解法3：正弦定理設(shè)PFFF正弦定理有122|PF|FF||PF|PF|11FFsinsin又因為PFPFac，9012

則

記

0

2

4

4

4

則

2sin()2

，1

4

)所以

22

1解法5：用基本不等式由橢圓定義，有平方后得解法6：巧用圖形的幾何特性

|12由

FPF點P在

FF|2c

為直徑的圓上。有

又點P在橢圓上，因此該圓與橢圓有公共點P故22變式(：圓

x2y2+=1(a>b>0)的兩焦點為F（-c，ab21歐陽德創(chuàng)編

12112121212=e1212(歐陽德創(chuàng)編12112121212=e1212(

0）、F(c,0)，P是以｜F｜為直徑的圓與橢圓的一212個交點，且∠F=5∠PFF,求橢圓的離心率e1221分析：此題有角的值，可以考慮正弦定理的應(yīng)用。｜FF｜｜FP｜解：由正弦定理：=sinFPFsinFFP1212根據(jù)和比性質(zhì)：

PFPF2｜FF｜｜FP｜+｜=變形得：sinFPFsinFFP+sinPFF121212｜FF｜sinFPF=｜PF｜F1P｜sinF1F2+sinPF12asin90°∠PFF=75°∠PFF=15°e=1221sin75°+sin15°=

63點評：在焦點三角形中，使用第一定義和正弦定理可sinFPF知e=sinFFP+sinPFF1212x2y2變式(：橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點為F（-ab21c，0）、F(c,0)，P是圓上一點，且∠FPF212=60°，求橢圓離心率e的值范圍？分析：上題公式直接應(yīng)用。解：設(shè)∠FF，則∠FP=120°-1221sinFPFsin60°e===sinFFP+sinPFFsinα+sin(120°-α)1212111≥∴≤e<12sin(α+30°)22變(3)：過橢圓

2y2a2b2

)的左焦點F作x

軸的垂線交橢圓于點

P

，

F

為右焦點，若

FPF12

，則橢歐陽德創(chuàng)編

b222221,歐陽德創(chuàng)編b222221,圓的離心率e的

解析：因為

b()a

，再由

FPF60

有從而得a

3a變式：若,B為橢圓點，Q為橢圓上一點，使

a0)長軸兩端a221200求此橢圓離心率的最小值。{

}變式(：8、橢圓

a2

0

上一點

A關(guān)于原點的對稱點為B，F(xiàn)為其右焦，若AFBF，設(shè)，且

4

，則橢圓的離心率的取值范圍為解析：設(shè)F左焦點，因為對角線互相平分，所以四邊形AFBF行邊形為形，

AB

，2c

,BFc

，

sin

ccos

2a

，所以c1

sin

，由

4

得2。236，如圖，在平面直角坐標(biāo)系

中，

A,BB為橢圓12ya2b2

的四個頂點，

F

為其右焦點，直線yTB

M歐陽德創(chuàng)編

A

x

,2(a)→→→→M,歐陽德創(chuàng)編,2(a)→→→→M,

AB2

與直線F

相交于點T，線段OT與橢圓的交點

M恰為線T

的中點，則該橢圓的離心率為.直線

1

2

的方程

xyb

，線

1

的方為xyc

，兩式聯(lián)立得T

的坐標(biāo)acba

，所以中點M

的坐標(biāo)為

ac(),

，因為點M在橢圓上，代人方程得

)

4a

則

e

ee所以x2y27，橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點為F（-c，ab210）、F(c,0)，滿足MF·MF=0點M總在橢圓內(nèi)212部，則e的值范圍？分析：∵M(jìn)F·MF=0∴以FF為直徑作圓，M在圓1212O上，與橢圓沒有交點。解：∴c<ba2=b2+c>2c2∴0<e<

22

M

如圖所,圖可知點的軌跡是以

F

為直徑的圓，則

它

在

橢

圓

內(nèi)

部,

故12c0222x2y28，橢圓+=1(a>b>0)的兩焦點為F（-c，ab21a0）、F(c,0)，P為右準(zhǔn)線上一點，F(xiàn)P的垂2c1直平分線恰過F點，求的取值范圍？2分析：思路1,如圖FP與FM垂直，根據(jù)向量垂直，12歐陽德創(chuàng)編

0→0→0→→0歐陽德創(chuàng)編0→0→0→→0找a、c的不等關(guān)系。

思路：根據(jù)圖形中的邊長之間的不等關(guān)系，求ea解法一：F（-c，0）F(c,0)P(,y)12c0M(

a-ccy,)22

M

2y既(,)則PF2c2

1

a=-(+c,y)c0MF2

2y=-(-c,2c2

)PF

a2·MF=0(+c,y)·(-12c02cc,

y02

)=0(

ac

2y23-c)+=0a2-3c2≤0∴≤e<12c23解法2：｜FF｜=｜PF｜=2c｜PF｜≥1222

ac

-c則a232c≥-c3c≥3c2≥a2則≤e<1cc3總結(jié)：對比兩種方法，不難看出法一具有代表性，可謂通法，而法二是運用了垂直平分線的幾何性質(zhì)，巧妙的運用三角形邊的大小求解的妙法。所以垂直平分線這個條件經(jīng)常在解析幾何中出現(xiàn)，對于它的應(yīng)用方法，值得大家注意。9，如圖，正六邊形ABCDEF的頂點A為一橢圓的兩個焦點，其余四個頂點B、E、F均在橢圓上，則橢圓離心率的取值范圍是

31解：以AD所在直線為X軸，AD中點為坐標(biāo)原點建立坐標(biāo)系。設(shè)正六邊形的邊長為r則橢圓的半焦距歐陽德創(chuàng)編

FD

31兩式相除=2(a22a+c23歐陽德創(chuàng)編31兩式相除=2(a22a+c23

，易知Δ

為等邊三角形，∴F（

,c22

，代入橢圓方程

xya2b

1

中，得：

2c4ab

1

，∴

2aa2

4

，即：

e

2

1e2

3

4e

2

3e1

2

4

，e2)e22),e4e4ee又e法二：如圖，連結(jié)AE，易知

AED

，設(shè)AD2EAcEDc

，由橢圓定義，有：

EA2a(32a

，∴

2ea

x2y210，橢圓+=1(a>b>0)，過左焦點且傾斜角a2b21為的直線交橢圓與AB兩點，若｜FA｜=2｜1BF｜,橢圓的離心率的值1解：設(shè)｜BF｜=m則｜AF｜BF｜=2a-122m在△AFF及△BFF中，由余弦定理得：1212：2a-c12e=練習(xí)題：，橢圓

2ya2

上有一點

，

1

是橢圓的歐陽德創(chuàng)編

．若以為焦點的3，已知_________.1(c歐陽德創(chuàng)編．若以為焦點的3，已知_________.1(c

兩個焦點，若

MFMF

，求橢圓的離心率.解析:由定義

MFMF

又MFMF

，所以

MFMF

是方程

x2

的兩根，由

)220

，

可得

a2

，即a

2

2(

2

2

所以

a

，所以橢圓離心率的取值范圍是

[

22

,1)2，ABC中，，34橢圓經(jīng)過點C，則該橢圓的離心率[解析]4k,AC,BCk,ACF,F為橢圓的兩個焦點,P為橢圓上一點,12F:PFF:FPF2:,則此橢圓的離心率為121[解析]

[三角形三邊的比是

1:3:

]4，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓

2a2

0)的焦距為2，以為圓心，a半徑的圓，過的兩切線互相垂直，則離心率e=．[解析]

a2

e

5，

ABC，

2,

ABC

3．若B為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率【解題思路】由條件知三角形可解，然后用定義即可求出離心率歐陽德創(chuàng)編

1||sinFa[解析∵在PFPFF，即，∴，∴，1(1||sinFa[解析∵在PFPFF，即，∴，∴，1(

[解析]

S

ABC

ABAC2

，

|23