2018年數(shù)學總復習專題6.3等比數(shù)列及其前n項和練習（含解析）理

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE38-學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題6.3等比數(shù)列及其前n項和1。【2017課標2理3】我國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？"意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈（）A．1盞B．3盞C．5盞D．9盞【答案】B【解析】設這個塔頂層有a盞燈,∵寶塔一共有七層，每層懸掛的紅燈數(shù)是上一層的2倍，∴從塔頂層依次向下每層燈數(shù)是以2為公比、a為首項的等比數(shù)列,又總共有燈381盞，∴，解得a=3，則這個塔頂層有3盞燈，故選B．【考點解讀】本題考查了等比數(shù)列的定義,以及等比數(shù)列的前n項和公式的實際應用，屬于基礎題．2.【2017課標3理9】等差數(shù)列的首項為1，公差不為0．若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項的和為（）A． B． C．3 D．8【答案】A【考點解讀】本題考查等差數(shù)列前6項和的求法，是基礎題,解題時要認真審題,注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．3。【2017課標1理12】幾位大學生響應國家的創(chuàng)業(yè)號召，開發(fā)了一款應用軟件.為激發(fā)大家學習數(shù)學的興趣，他們推出了“解數(shù)學題獲取軟件激活碼"的活動.這款軟件的激活碼為下面數(shù)學問題的答案:已知數(shù)列1，1，2，1，2,4，1,2,4,8，1,2,4，8,16，…,其中第一項是20，接下來的兩項是20，21,再接下來的三項是20，21,22，是（）A．440 B．330 C．220 D．110【答案】A解：設該數(shù)列為｛an},設，則，由題意可設數(shù)列｛an}的前N項和為SN,數(shù)列｛bn｝的前n項和為Tn，則Tn=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2,可知當N為時（n∈N+），數(shù)列｛an}的前N項和為數(shù)列｛bn｝的前n項和，即為2n﹣n﹣2，容易得到N＞100時，n≥14，A項，由=435，440=435+5,可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230,故A項符合題意．B項，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，顯然不為2的整數(shù)冪，故B項不符合題意．C項,仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，顯然不為2的整數(shù)冪，故C項不符合題意．D項，仿上可知=105,可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，顯然不為2的整數(shù)冪，故D項不符合題意．故選A．方法二:由題意可知:，，，…,根據(jù)等比數(shù)列前n項和公式，求得每項和分別為：21﹣1，22﹣1,23﹣1，…，2n﹣1，每項含有的項數(shù)為:1，2，3，…，n，總共的項數(shù)為N=1+2+3+…+n=，所有項數(shù)的和為Sn：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=(21+22+23+…+2n)﹣n=,由題意可知：2n+1為2的整數(shù)冪．只需將﹣2﹣n消去即可,則①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，總共有+2=3，不滿足N＞100,②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，總共有+3=18,不滿足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0,解得：n=13，總共有+4=95，不滿足N＞100，④1+2+4+8+16+(﹣2﹣n)=0,解得：n=29，總共有+5=440，滿足N＞100,∴該款軟件的激活碼440．故選A．【考點解讀】本題非常巧妙的將實際問題和數(shù)列融合在一起，首先需要讀懂題目所表達的具體含義，以及觀察所給定數(shù)列的特征，進而判斷出該數(shù)列的通項和求和。另外，本題的難點在于數(shù)列里面套數(shù)列，第一個數(shù)列的和又作為下一個數(shù)列的通項，而且最后幾項并不能放在一個數(shù)列中，需要進行判斷。屬于難題．4?！?017課標3理14】設等比數(shù)列滿足a1+a2=–1,a1–a3=–3，則a4=___________?！敬鸢浮俊究键c解讀】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.5.【2017江蘇高考9】等比數(shù)列的各項均為實數(shù),其前項的和為,已知,則=.【答案】32【解析】當時,顯然不符合題意；當時，，解得，則?！究键c解讀】本題考查等比數(shù)列的求和及通項，解題中可運用方程思想（求基本量），注意分類思想.6?！?016高考新課標1卷】設等比數(shù)列滿足a1+a3=10，a2+a4=5,則a1a2…an的最大值為．【答案】【解析】設等比數(shù)列的公比為,由得,,解得。所以，于是當或時,取得最大值.【考點解讀】本題考查了等比數(shù)列與函數(shù)的最值問題。在解答時要注意方程思想及數(shù)列相關性質(zhì)的應用.7.【2017天津高考理18】已知為等差數(shù)列,前n項和為，是首項為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，.（Ⅰ）求和的通項公式；(Ⅱ）求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）。。（2).（II）設數(shù)列的前項和為，由,,有，故，,上述兩式相減，得得.所以，數(shù)列的前項和為.【考點解讀】本題考查等差數(shù)列以及等比數(shù)列通項公式的求法，數(shù)列求和（錯位相減法)，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．8.【2016高考新課標3理數(shù)】已知數(shù)列的前n項和，其中．（I）證明是等比數(shù)列，并求其通項公式；（II）若,求．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【考點解讀】1、數(shù)列通項與前項和為關系即；2、等比數(shù)列的定義與通項及前項和為．9?！?017山東高考理19】已知{xn｝是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且x1+x2=3，x3-x2=2(Ⅰ）求數(shù)列｛xn}的通項公式；（Ⅱ）如圖，在平面直角坐標系xOy中，依次連接點P1(x1,1）,P2（x2，2）…Pn+1（xn+1,n+1)得到折線P1P2…Pn+1，求由該折線與直線y=0，所圍成的區(qū)域的面積.【答案】(I）（II）【考點解讀】1。等比數(shù)列的通項公式；2。等比數(shù)列的求和；3.“錯位相減法”.考點了解A掌握B靈活運用C等比數(shù)列的概念B等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式C等比數(shù)列作為一種特殊的數(shù)列，高考考點為等比數(shù)列的概念，等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系。高考中選填題以考查等比數(shù)列概念、性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等內(nèi)容為主，為中低檔題.解答題以考查等比(差）數(shù)列通項公式、求和公式，錯位相減求和、簡單遞推數(shù)列、也常與不等式結(jié)合綜合考查。復習中注意對等比數(shù)列的定義的理解，訓練和培養(yǎng)函數(shù)與方程的思想、分類與轉(zhuǎn)化的思想、運算能力等。等比數(shù)列知識要點：（1）通項公式要點:.（2）前項和公式要點：.（3）通項公式的函數(shù)特征：是關于的函數(shù)（，都是不為0的常數(shù)，）；前項和公式的函數(shù)特征：前項和是關于的函數(shù)（為常數(shù)且，）。(4)判斷方法：①定義法：（）；（證明方法）②等比中項法：；（證明方法）③通項公式法:④前項和公式法：或。(5)常用性質(zhì)：①如果數(shù)列是等比數(shù)列(），特別地，當為奇數(shù)時，。②等比數(shù)列的前項和為,滿足成等比數(shù)列（其中均不為0）。（6）等比數(shù)列的單調(diào)性設等比數(shù)列的公比為，當或時,為遞增數(shù)列;當或.（7）等差與等比數(shù)列的轉(zhuǎn)化①若為正項等比數(shù)列,則為等差數(shù)列；②若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列；③若為等差數(shù)列又等比數(shù)列是非零常數(shù)列。題型一等比數(shù)列的基本運算典例1.(1）（2017桂林市桂林中學模擬）在等比數(shù)列{｝中，若公比q=4,S3=21，則該數(shù)列的通項公式=()A.B.C.D?！敬鸢浮緼【解析】設等比數(shù)列｛an｝的首項為a1，由公比q=4，S3=21得；，所以，則。選A.（2）（2017吉林大學附屬中學高三模擬）在等比數(shù)列中，已知，則（）A。B.C.D.【答案】B（3）（2017四川省師范大學附屬中學高三模擬）已知為等比數(shù)列且滿足,則數(shù)列的前項和（）A.B。C。D?！敬鸢浮緽【解析】因為為等比數(shù)列且滿足，，可得，數(shù)列的前項和，故選B。（4）(2017寶雞模擬）中國古代數(shù)學著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初步健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還．"其大意為：“有一個人走378里路，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則該人最后一天走的路程為里【答案】6(5）(2017廣東湛江模擬）設等比數(shù)列的前項和為，若則【答案】【解析】設公比為，則，所以，所以。（6）(2017四川瀘州模擬）已知{an｝是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，Sn表示｛an}的前n項和．(1）求an及Sn；(2)設｛bn}是首項為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2－(a4＋1）q＋S4＝0,求{bn｝的通項公式及其前n項和Tn?！敬鸢浮恳娊馕鼋忸}技巧與方法總結(jié)解決等比數(shù)列有關問題的常見思想方法1．方程的思想;等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn,一般可以“知三求二”，通過列方程(組）求關鍵量a1和q，問題可迎刃而解．2．數(shù)形結(jié)合的思想通項an＝a1qn－1可化為an＝eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a1,q））)qn，因此an是關于n的函數(shù)，點(n，an)是曲線y＝eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（a1，q)）)qx上一群孤立的點．3．分類討論的思想當q＝1時，｛an｝的前n項和Sn＝na1；當q≠1時，｛an｝的前n項和Sn＝eq\f（a11－qn，1－q)＝eq\f（a1－anq,1－q）.等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，此處是?？键c,也是易錯點．【變式訓練】（1）（2017銀川一中高二期末）設是公比為負數(shù)的等比數(shù)列,，，則（）A.2B.—2C。8D.-8【答案】A【解析】由題意有：,即：，公比為負數(shù)，則.選A.(2)（2017莆田一中月考)等比數(shù)列的前項和為,已知，，則(）A.B.C.D.【答案】C【解析】由題意可知，,，解得：，，求得，故選C。（3）(2017西安模擬）在等比數(shù)列中,，公比．若，則（）A。11B.10C。9D。8【答案】B【解析】由題意可得，數(shù)列的通項公式為，又,所以，選B。（4)（2017唐山高中聯(lián)考）觀察數(shù)組：，,，，，,則的值不可能為（）A。112B。278C。704D。1664【答案】B（5）（2015浙江高考）已知｛an}是等差數(shù)列，公差d不為零，前n項和是Sn，若a3，a4，a8成等比數(shù)列,則（）A．a(chǎn)1d>0，dS4>0 B．a(chǎn)1d<0,dS4〈0C．a(chǎn)1d〉0，dS4<0 D．a(chǎn)1d〈0，dS4>0【答案】B【解析】∵a3，a4，a8成等比數(shù)列，∴aeq\o\al（2，4)＝a3a8，∴（a1＋3d）2＝（a1＋2d）（a1＋7d),展開整理，得－3a1d＝5d2，即a1d＝－eq\f(5，3）d2?！遜≠0，∴a1d<0?！逽n＝na1＋eq\f(nn－1,2）d,∴S4＝4a1＋6d，dS4＝4a1d＋6d2＝－eq\f(2,3)d2〈0。（6）(2017河北正定中學模擬)如圖，記棱長為的正方體為，以各個面的中心為頂點的正八面體為，以各面的中心為頂點的正方體為,以各個面的中心為頂點的正八面體為,，以此類推．則正方體的棱長為．【答案】(7）（2017天津耀華中學高三模擬)已知等比數(shù)列的公比，前項和為．若成等差數(shù)列,，則_______，_______．【答案】【解析】等比數(shù)列的公比，前項和為.若成等差數(shù)列，,，計算得。。(8）（2017遼寧省錦州市高三質(zhì)檢）已知等比數(shù)列的前項和為，，．(Ⅰ）求的通項公式;（Ⅱ）設，求數(shù)列的前項和．【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ).知識鏈接：知識點1等比數(shù)列的有關概念定義；如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零）,那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，公比的表達式為eq\f(an＋1，an)＝q.知識點2等比數(shù)列的有關公式1．通項公式：an＝a1qn－1＝amqn－m.2．前n項和公式：Sn＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（na1，q＝1，,\f(a11－qn,1－q）＝\f(a1－anq,1－q），q≠1。）)注意；在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q＝1與q≠1分類討論，與等差數(shù)列不同．題型二等比數(shù)列的判定與證明典例2。（1）(2017四川瀘州聯(lián)考）對任意等比數(shù)列｛an｝，下列說法一定正確的是（)A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列【答案】D【解析】設等比數(shù)列的公比為q,因為eq\f(a6，a3)＝eq\f（a9，a6）＝q3，即aeq\o\al（2，6）＝a3a9,所以a3,a6,a9成等比數(shù)列．選D。（2）（2017甘肅武威高中月考)已知數(shù)列（）A.B。C.D?！敬鸢浮緾【解析】由題意可得,數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列，則：.選C.（3）（2017南昌模擬）已知數(shù)列的前項和為，，，則（）A。B.C。D?！敬鸢浮緿【解析】因為，所以,則數(shù)列是等比數(shù)列,選D。（4）（2017安徽安慶市一中高三三模）設數(shù)列的前項和為，且，則通項_________【答案】（5）（2017開封模擬)若數(shù)列滿足，且，則___。【答案】12【解析】由題，所以數(shù)列是等比數(shù)列,公比為10，所以；（6）（2017衡水金卷)已知數(shù)列滿足，若，則的最大值為__________．【答案】【解析】由題意可得:,即:,整理可得：，又，則數(shù)列是首項為-10，公比為的等比數(shù)列，，則:,很明顯，為偶數(shù)時可能取得最大值,由可得：，則的最大值為。（7）(2017青島模擬）已知定義域為的函數(shù)滿足，當時，，設在上的最大值為，且數(shù)列的前項和為，則__________．【答案】(8)(2017福建省廈門一中模擬）已知為數(shù)列的前項和，且滿足。（1）證明為等比數(shù)列；（2）設數(shù)列的前項和，比較與的大小.【答案】（1）見解析（2）,當且僅當時取等號。【解析】分析：（1）利用時化簡得,按結(jié)構整理得，最后根據(jù)等比數(shù)列定義證明；（2）由（1）先求出,再按分組求和得。作差變形得，因此解題技巧與方法總結(jié)等比數(shù)列的判定方法定義法：若eq\f(an＋1,an）＝q（q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f（an，an－1）＝q(q為非零常數(shù)且n≥2,n∈N＊)，則{an｝是等比數(shù)列．2．等比中項公式法:若數(shù)列｛an}中，an≠0且aeq\o\al（2，n＋1)＝an·an＋2（n∈N＊），則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．3．通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N＊）,則｛an}是等比數(shù)列．4．前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an｝是等比數(shù)列．【變式訓練】（1）（2017石嘴山一中期末)在數(shù)列中，對任意,都有，則等于()A。2B.4C.D.【答案】D【解析】因為數(shù)列中,對任意，都有,所以，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，,故選D。（2）（2017浙江省嘉興市一中高三模擬)已知數(shù)列中的任意一項都為正實數(shù),且對任意,有,如果，則的值為（）A.B。2C。D.【答案】C【解析】令，則，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列,從而，因為，所以．（3)（2017安徽銅陵一中月考）已知數(shù)列的前項和為,，，則()A.B.C.D.【答案】D（4）（2017洛陽模擬）已知數(shù)列中，為其前項和,的值為（）A。63B。61C.62D。57【答案】D【解析】由數(shù)列的遞推關系可得：，據(jù)此可得：數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列,則:，分組求和有：。選D。（5）（2017唐山高中聯(lián)考）若數(shù)列滿足，則__________．【答案】【解析】，,所以,，因此數(shù)列是等比數(shù)列，所以．（6)(2017山東聊城模擬）已知數(shù)列中的分別為直線在軸、軸上的截距，且，則數(shù)列的通項公式為．【答案】（7）（2017寶雞模擬）已知數(shù)列滿足，且對任意都有,則實數(shù)的取值范圍為__________．【答案】【解析】已知當時,當時，，所以經(jīng)檢驗,時，通項公式也成立，所以故所以數(shù)列是等比數(shù)列,設其的前和為所以，所以范圍為（8）(2017廣州模擬）已知數(shù)列{an｝的首項為a1＝5，前n項和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*）．（1)證明：數(shù)列{an＋1｝是等比數(shù)列；(2)令f(x）＝a1x＋a2x2＋…＋anxn，f′（x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，令bn＝f′(1）,求數(shù)列｛bn}的通項公式;(3）若bn＜30成立，試求n的最大值．【答案】見解析知識鏈接：1。等比數(shù)列的定義；如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零），那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列．這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示,公比的表達式為eq\f（an＋1,an)＝q。注意；由an＋1＝qan(q≠0）并不能斷言｛an｝是等比數(shù)列，還要驗證a1≠0.題型三等比數(shù)列性質(zhì)的應用典例3。（1）(2017哈爾濱模擬）已知在等比數(shù)列中，，9，則（)A。B。5C.D。3【答案】D【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)：，又因為在等比數(shù)列中,奇數(shù)項的符號一致故3。（2）（2017福建三明一中高二月考）等比數(shù)列的各項為正數(shù)，且,則（）A。B。C.D.【答案】B【解析】由題，.選B（3）（2017河北石家莊二中高三三模）正項等比數(shù)列中，，則的前項和(）A。B。C.D.【答案】B（4）（2017福建省泉州市模擬）已知數(shù)列為等比數(shù)列,則的值為（）A。B.C.D。【答案】C【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，又由，解得或，所以等比數(shù)列的公比為，則或，所以，當，則；當，則，故選C。（5）（2017銀川一中模擬）已知數(shù)列是等差數(shù)列,數(shù)列是等比數(shù)列，則的值為．【答案】（6）(2017江西九江聯(lián)考)設是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是的前項和，已知,則最大時,的值為__________．【答案】4或5【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，解得：，則：，由數(shù)列的公比為正數(shù)可得：，數(shù)列的通項公式為:,據(jù)此：，最大時，有最大值，據(jù)此可得的值為4或5.解題技巧與方法總結(jié)等比數(shù)列常見性質(zhì)的應用等比數(shù)列性質(zhì)的應用可以分為三類：（1)通項公式的變形；(2)等比中項的變形；(3）前n項和公式的變形．根據(jù)題目條件，認真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．【變式訓練】（1）(2017濟南模擬）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a3＝eq\r(2）－1，a5＝eq\r(2）＋1，則aeq\o\al(2，3）＋2a2a6＋a3a7＝(）A．4B．6C．8D．8－4eq\r（2)【答案】C【解析】在等比數(shù)列中，a3a7＝aeq\o\al(2，5），a2a6＝a3a5,所以aeq\o\al(2,3)＋2a2a6＋a3a7＝aeq\o\al(2，3)＋2a3a5＋aeq\o\al（2，5)＝（a3＋a5）2＝（eq\r(2）－1＋eq\r(2）＋1)2＝(2eq\r（2））2＝8。（2）（2017寶雞模擬）在正項等比數(shù)列中，則（）A.B。C。D?！敬鸢浮緽（3)（2017成都市龍泉一中、新都一中等九校聯(lián)考）在公比為的等比數(shù)列中，若，則的值是()A。B.C.D?！敬鸢浮緽【解析】由等比數(shù)列的通項公式可知:=）q2=2），=故選B。（4）（2017銀川一中模擬)已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，設，，則與的大小關系是（)A。B.C.D.無法確定【答案】A【解析】∵等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比，,故選A．（5）（2017銀川一中模擬)設等比數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，若eq\f（S6，S3）＝eq\f（1，2）,則eq\f（S9,S3)＝________.【答案】eq\f(3,4)【解析】法一；∵S6∶S3＝1∶2，∴｛an｝的公比q≠1。由eq\f（a11－q6，1－q)÷eq\f(a11－q3，1－q)＝eq\f(1，2)得q3＝－eq\f（1,2)，∴eq\f（S9,S3)＝eq\f(1－q9,1－q3)＝eq\f（3,4)。法二；因為{an}是等比數(shù)列,所以S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列,即（S6－S3）2＝S3·（S9－S6)，將S6＝eq\f（1,2)S3代入得eq\f(S9,S3）＝eq\f(3,4）.（6)(2017四川宜賓模擬）設是公差不為0的等差數(shù)列的前項和,且成等比數(shù)列,則__________．【答案】3(7）（2017煙臺模擬）數(shù)列的首項為，數(shù)列為等比數(shù)列且，若，則____?！敬鸢浮俊窘馕觥坑梢阎?,所以，由有,同理得,所以,而數(shù)列為等比數(shù)列,故.（8）(2017張家港模擬）已知函數(shù)的三個零點成等比數(shù)列,則．【答案】【解析】設函數(shù)在區(qū)間上的三個零點從小到大位次為,又因為三個零點成等比數(shù)列，則，解之得，，，所以，．知識鏈接：等比中項；如果a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項．即G是a與b的等比中項?a,G，b成等比數(shù)列?G2＝ab。等比數(shù)列的性質(zhì)；（1）對任意的正整數(shù)m,n，p，q,若m＋n＝p＋q＝2k，則am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2，k）。（2）若數(shù)列｛an｝，{bn}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}，｛|an|｝，eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1(\f(1，an）))，｛aeq\o\al（2，n)｝，{an·bn｝，eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(\f(an,bn））)（λ≠0）仍然是等比數(shù)列．（3)在等比數(shù)列{an｝中，等距離取出若干項也構成一個等比數(shù)列，即an，an＋k,an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.（4）公比不為－1的等比數(shù)列{an｝的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn，當公比為－1時，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不一定構成等比數(shù)列．（5)若等比數(shù)列｛an}共2k(k∈N＊）項,則eq\f(S偶，S奇）＝q.課本典例解析與變式例1。【必修第5六十九頁習題2.5A組6題】已知等比數(shù)列｛前n項和,成等差數(shù)列,求證：成等差數(shù)列．【解析】證明：若等比數(shù)列公比，則，而，與成等差數(shù)列矛盾，∴，∵，∴，整理，得，解得或，∵，∴，∴,又，得；，∴成等差數(shù)列．【原題解讀】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．本題考查等差數(shù)列的證明，是中檔題,解題時要認真審題，注意等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用．變式1。（2017北京石景山區(qū)二模)設正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若41S3是S6與S9的等差中項，則數(shù)列{an}的公比q=．【答案】2變式2.（2015湖南高考）設為等比數(shù)列的前項和，若，且，,成等差數(shù)列，則?！敬鸢浮?【解析】∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.變式3.（2014天津高考）設是首項為，公差為的等差數(shù)列，為其前項和．若成等比數(shù)列，則的值為__________．【答案】．【解析】依題意得，∴，解得．變式4.（2016青島模擬)已知等比數(shù)列｛an｝的前n項和為Sn，若S3、S9、S6成等差數(shù)列，則下列說法錯誤的是()A．a(chǎn)3、a6、a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)3、a6、a9成等差數(shù)列C．S2、S8、S5成等比數(shù)列 D．S2、S8、S5成等差數(shù)列【答案】C變式5。（2017武漢模擬）已知Sn是等比數(shù)列{an}的前n項和，S3+2,S9+2，S6+2成等差數(shù)列，且a2+a5=4．(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的公比q；（Ⅱ）設bn=log2|an｜，求數(shù)列{bn｝的前n項和Tn．【答案】（Ⅰ)（Ⅱ）見解析【解析】（I)設等比數(shù)列｛an｝的公比為q，當q≠1時，∵S3+2，S9+2，S6+2成等差數(shù)列,且a2+a5=4．∴2（S9+2）=S6+2+S3+2，．∴=+,化為（2q3+1）(q3﹣1）=0．解得;．a(chǎn)2=8．當q=1時，不滿足條件，舍去．∴．（II)由（I)可得．bn=log2|an｜=,當n≤11時，數(shù)列｛bn}的前n項和Tn==．當n≥12時,數(shù)列｛bn}的前n項和Tn=T11+++…+．=+=．【課本回眸反思】1.注重運用概念思考解決教材中的例題，例題常常是高考題目生成和變化的源頭；2。在復習解題訓練中因注重對數(shù)學課本中典型問題的解讀和拓展；3．解題中應該注重一題多解，一題多變，達到加深理解，靈活運用的目的，并提高復習效率。1.（2017珠海模擬）在等比數(shù)列｛an｝中，若a1＜0，a2＝18，a4＝8，則公比q等于（)A.eq\f(3,2）B。eq\f(2,3）C．－eq\f（2,3）D。eq\f(2，3)或－eq\f（2，3）【答案】C考點：等比數(shù)列基本量的運算2。（2017甘肅武威一模）在等比數(shù)列中，已知是方程的兩根，則（）A.1B。C.D。3【答案】A【解析】在等比數(shù)列中,因為是方程的兩個根，所以所以因為所以選A?？键c：等比數(shù)列的性質(zhì)3。(2017大連模擬）已知數(shù)列，，，,，是首項為，公比為的等比數(shù)列，則下列項中是數(shù)列中的項是（)A．B．C．D．【答案】D【解析】由已知得，則，經(jīng)檢驗可得是數(shù)列中的項，故選D.考點：等比數(shù)列的運用4.（2017甘肅武威模擬）已知是公差不為的等差數(shù)列的前項和,且，，成等比數(shù)列，則等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設公差為，則，由且，,成等比數(shù)列得，解之得，所以,選C．考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)．5．（2017?？谀M)已知數(shù)列｛an}滿足log3an＋1＝log3an＋1（n∈N＊)，且a2＋a4＋a6＝9，則logeq\f(1,3）（a5＋a7＋a9)的值是(）A．－eq\f(1，5）B．－5C．5D.eq\f（1,5）【答案】B考點：等比數(shù)列的定義及性質(zhì)的運用6。（2017山西師大附中期末）古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日五尺,問日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍,已知她5天共織布5尺,問這女子每天分別織布多少？”根據(jù)上題的已知條件，若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，該女子所需的天數(shù)至少為（)A．7B．8C。9D．10【答案】B【解析】設該女第一天織布尺,則,所以前天織布的尺數(shù)是，由,計算得出的最小值為，故選B.考點：等比數(shù)列求和與數(shù)學文化.7.（2017武漢模擬）已知是數(shù)列的前項之和，，，則函數(shù)的值域是（）A.B。C.D?！敬鸢浮緽考點：等比數(shù)列與函數(shù)8.（2017長沙模擬)一個樣本容量為8的樣本數(shù)據(jù)，它們按一定順序排列可以構成一個公差不為0的等差數(shù)列，若，且成等比數(shù)列，則此樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A。6B.7C.8D。9【答案】C【解析】因為成等比數(shù)列，所以，設公差為由因為，所以,解得：(舍），，樣本容量為時，中位數(shù)為,故選C?？键c：等差等比數(shù)列；中位數(shù).9.（2017浙江紹興模擬）已知等比數(shù)列中，,則其前3項的和的取值范圍是（）A．B．C。D．【答案】D【解析】設等比數(shù)列的公比為，由當時取等號;當時取等號；所以,故選D.考點：1.等比數(shù)列；2。基本不等式。10。（2017蘭州模擬)設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，且，，則下列結(jié)論正確的是（)A。B.C.，，D.，，使得【答案】C考點:等差、等比數(shù)列的函數(shù)特點以及基本不等式的應用的綜合問題11。（2017湖南衡陽模擬)設Sn為等比數(shù)列{an｝的前n項和,8a2＋a5＝0，則eq\f(S5，S2）＝________.【答案】－11【解析】設等比數(shù)列｛an｝的公比為q，因為8a2＋a5＝0，所以8a1q＋a1q4∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴eq\f（S5,S2）＝eq\f（a11－q5,1－q)·eq\f（1－q，a11－q2）＝eq\f(1－q5,1－q2）＝eq\f（1－－25，1－4)＝－11.考點:等比數(shù)列的基本運算12.（2017河北唐山模擬)設是正數(shù)，且成等差數(shù)列，成等比數(shù)列,則的最大值是?！敬鸢浮靠键c：等比數(shù)列的性質(zhì)與不等式13。(2017湖北襄陽模擬）的內(nèi)角所對的邊分別為，若成等比數(shù)列，且，則【答案】【解析】若成等比數(shù)列，所以考點：余弦定理及等比數(shù)列14.(2017西安模擬）我國古代數(shù)學著作《九章算術》有如下問題：“今有蒲（水生植物名）生一日，長三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是:今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺．蒲的生長逐日減半,莞的生長逐日增加1倍．若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為_____日．(結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：,)【答案】2.6。【解析】設蒲(水生植物名）的長度組成等比數(shù)列,其