2022年云南省保山市高考數(shù)學第一次質(zhì)檢試卷（理科）（附答案詳解）

2022年云南省保山市高考數(shù)學第一次質(zhì)檢試卷（理科）

一、單選題（本大題共12小題，共60.0分）

1.集合P={x|0<x<3},Q={x\x2<9},則PnQ=（）

A.{x|0<x<3}B.{x[0<x<3}C.{1,2}D.{0,1,2}

2.已知（l+i）2z=2—2i,其中i是虛數(shù)單位，則復平面內(nèi)3+|z|對應(yīng)的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.已知角。的終邊過點4（4,a）,且sin（。-兀）=|,則tan。=（）

A—B.iC—D.J

4.中國古代張蒼、耿壽昌所撰寫的仇章算術(shù)》總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學成就，

其中有如下問題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等，問各得幾何？”

其意思為：“今有5人分5錢，各人所得錢數(shù)依次為等差數(shù)列，其中前2人所得之和

與后3人所得之和相等，問各得多少錢？”則中間三人所得錢數(shù)比第1與第5人所得

錢數(shù)之和多（）

A.一1錢B.*錢C.|錢D.1錢

5.已知函數(shù)/（乃=/+3/+位在％=1處取得極值，若/"（X）的單調(diào)遞減區(qū)間為

（m,n）,n—m=（）

A.5B.4C.-5D.-4

6.已知Fi，F(xiàn)2是離心率等于手的雙曲線C；5-?=1的左、右焦點，過焦點尸2的直

線I與雙曲線C的右支相交于4B兩點，若AABFi的周長20,則等于（）

A.10B.8C.6D.4

7.“直播電商”已經(jīng)成為當前經(jīng)濟發(fā)展的新增長點，某電商平臺的直播間經(jīng)營化妝品

和服裝兩大類商品，2021年前三個季度的收入情況如圖所示，已知直播間每個季

度的總收入都比上一季度的總收入翻一番，貝女）

A.該直播間第三季度服裝收入低于前兩個季度的服裝收入之和

B.該直播間第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的J

C.該直播間第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的：

D.該直播間第三季度總收入是第一季度總收入的3倍

8.已知F為拋物線C：/=16y的焦點，點4在拋物線C上，\AF\=5,則以4尸為直徑

的圓與x軸的位置關(guān)系是()

A.相切B.相交C.相離D.不確定

9.基本再生數(shù)島與世代間隔7是新冠肺炎的流行病學基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個感

染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時間.在新冠肺炎疫

情初始階段，可以用指數(shù)模型：/(t)=描述累計感染病例數(shù)/(t)隨時間t(單位:

天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長率r與&，7近似滿足&=l+rT.有學者基于已有數(shù)據(jù)估

計出島=3.28,T=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初始階段,累計感染病例數(shù)增加3倍

需要的時間約為(仇2x0.69)()

A.1.2天B.1.8天C.2.7天

10.某四面體的三視圖如圖所示，已知其正視圖、側(cè)視圖、

俯視圖是全等的等腰直角三角形.記命題p：從該四面

體的四個面所在的平面中任取兩個，取到的兩個平面互

相垂直的概率為與命題q：設(shè)該四面體的四個頂點恰好

是一個正方體的頂點，從這個正方體中任取一點，取自俯視圖

四面體內(nèi)的概率為:?則下列命題為真命題的是()

O

A.pA<7B.pV(~C.(")vqD.(")八(飛)

第2頁，共20頁

11.若函數(shù)/(x)=3s譏(3X+3)(3>0,\<p\<兀)的圖象過點W，-3),相鄰兩條對稱軸

間的距離是今則下列四個結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)是()

①函數(shù)/(X)在區(qū)間［-?勺上是減函數(shù)；

②函數(shù)/(X)的圖象的一條對稱軸為％=-p

③將函數(shù)f(x)的圖象向右平移g個單位長度后的圖象關(guān)于y軸對稱；

④函數(shù)/(x)的最小正周期為兀.

A.4B.3C.2D.1

12.已知函數(shù)/(%)=￡；；“丁'D/,若方程f(x)=依恰好有四個實根，則實

數(shù)k的取值范圍是()

A-(|.|)B.(|,1)C.怎D.(i,l)

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.設(shè)向量五=(1,-2),b-(m,1)>a-b=-4>貝五+b|=-

(X-2<0

14.點M(x,y)在不等式組3x+4y24所表示的平面區(qū)域上，也在直線4x+3y+t=0

y-3<0

上，則實數(shù)t的最大值是.

15.已知數(shù)列｛即｝滿足：即>0,%=2,且碎+i=2謚+anan+1,令bn=(n+2)an,

設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項和為則57=.

16.如圖，在四棱錐P-4BC。中，底面4BC0為矩形，AB=4a,BC=4,點P是以4D

為直徑的半圓弧上的動點(不含4,。兩點)，面APDJ■面力BCD,經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，四棱

錐P-ABC。的外接球始終保持不變，則該外接球的表面積為.

三、解答題(本大題共7小題，共84.0分)

17.某高中學校為了解學生的課外體育鍛煉時間情況，在全校學生中隨機抽取了200名

學生進行調(diào)查，并將數(shù)據(jù)分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.將平均每天

課外體育鍛煉時間在［40,60)上的學生評價為鍛煉達標，將平均每天課外體育鍛煉

時間在［0,40)上的學生評價為鍛煉不達標

(1)根據(jù)頻率分布直方圖估計這200名學生每天課外體育鍛煉時間的眾數(shù)、中位數(shù);

(2)為了了解學生課外體育鍛煉時間不達標的原因，從上述鍛煉不達標的學生中按

分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人，記這三人中每天課外體育

鍛煉時間在［0,20)的人數(shù)為求f的分布列和數(shù)學期望.

18.在44BC中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,c=3,b^tanB+tanC)=2atanB.

(1)求角C；

(2)已知AB邊上的點P滿足4P=2PB,求線段CP的長度取最大值時△ABC的面積.

19.如圖的多面體是由一個直四棱柱被平面4EFG所截后

得到的，其中力B=2AD=2,/.BAD=60°,/.BAE=

第4頁，共20頁

B

/.GAD=45°.

(1)求證：平面BDGJ■平面4DG；

(2)求直線GB與平面AEFG所成角的正切值.

20.已知橢圓C：各'=l(a>6>0)的左焦點為凡離心率為e=凈斜率為8的

直線，過點F和點4(0,2百).

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)過點E(-2,0)的直線ni交橢圓C于點M、N,且滿足麗?加=3)￡ON(°為坐標

原點)，求直線加的方程.

21.設(shè)函數(shù)f(x)="x+?,m&R.

(1)討論函數(shù)g(x)=((%)-|零點的個數(shù)；

(2)若對任意的b>a>0,華譽<1恒成立，求m的取值范圍.

22.在平面直角坐標系工Oy中，點P(1,O).以原點。為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極

坐標系.直線1的極坐標方程為ps譏(8+?)=芋，曲線C的極坐標方程為p=

8cos2--4.

2

(1)求直線，及曲線C的直角坐標方程；

(2)設(shè)曲線C與直線I交于A,B兩點，求高+高的值.

23.已知函數(shù)/(x)=V4x2+16x+16+\2x-2\.

(1)求不等式/(x)<10的解集；

(2)若對VxCR,不等式3?nW/(x)總成立，設(shè)M是m的最大值，a+b=M,其中

a>—1>b>—2,求+的最小值.

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因為集合Q={x\x2<9}={x|-3<%<3},

P={x|0<x<3},

所以PnQ={x|0Sx<3}.

故選:B.

先求出集合Q,然后由交集的定義求解即可.

本題考查了集合的運算，解題的關(guān)鍵是掌握交集的定義，考查了運算能力，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】A

【解析】解：：(1+i)2z=2-21,

2iz—2—2i,即z——7-——1-i>

:.z=-1+i>

.-?|z|=7(-1)2+(-1)2=V2-

z+|z|=—1+四+i,即復平面內(nèi)z+|z|對應(yīng)的點在(―1+V2,1)在第一象限.

故選：A.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復數(shù)的乘除法原則和復數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題考查了復數(shù)的幾何意義，以及復數(shù)代數(shù)形式的乘除法運算，需要學生熟練掌握公式,

屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

【解析】解：因為角。的終邊過點4(4,a),且sin(O-兀)=-sin。=|,

所以§譏。=方為=一|,解得。=一3,

則tcmJ

44

故選：C.

由已知利用誘導公式，任意角的三角函數(shù)的定義即可求解.

本題主要考查了誘導公式，任意角的三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基

礎(chǔ)題.

4.【答案】D

【解析】解：設(shè)從前到后的5個人所得錢數(shù)分別為@一2d,a-d,a,a+d,a+2d,

則由題意可得a—2d+a—d=a+a+d+Q+2d,即a=—6d,

又a-2d+a—d+a+a+d+a+2d=5a=5,解得a=1,所以d=—

6

則中間三人所得錢數(shù)為a—d+a+a+d=3a=3,

第1與第5人所得錢數(shù)之和a—2d+a+2d=2a=2,

所以中間三人所得錢數(shù)比第1與第5人所得錢數(shù)之和多3-2=1錢，

故選：D.

設(shè)從前到后的5個人所得錢數(shù)分別為a-2d,a-d,a,a+d,a+2d,然后根據(jù)題意

建立方程求出a,d的值，進而可以求解.

本題考查了根據(jù)實際問題建立函數(shù)模型的應(yīng)用，考查了學生的運算求解能力，屬于基礎(chǔ)

題.

5.【答案】B

【解析】解：函數(shù)/'(%)=無3+3x2+ax,

可得/''(%)=3x2+6x+a,

因為函數(shù)/(x)=x3+3x2+ax在％=1處取得極值，

所以3+6+a=0,解得a——9,

令3%2+6x-9<0,解得xG(-3,1),

則"—m=4.

故選：B.

利用函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)的極值點，求解a,然后求解函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即可.

本題考查函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值的求法，是中檔題.

6.【答案】D

第8頁，共20頁

【解析】解：由雙曲線C：-——匕=1,可得a=J正，b=2,c=V44-m,

m4

...6=￡=叵，二普=后，解得皿=9,???雙曲線C的方程為￥-^=1,a=3,

a3vm394

?,?過焦點F2的直線/與雙曲線C的右支相交于4,B兩點，

???I4F1I-\AF2\=2a=6,A\BFr\-\BF2\=2a=6,

A\AFr\+|80|-(|i4F2|+|BF2|)=12,/.\AFr\+\BFr\+\AB\-2\AB\=12,

??,△ABF1的周長20,即+|B&|+|4B|=20,???=4.

故選：D.

由已知得蘭學=解得m=9,可得Q=3,又|4FJ—I/F2I=2Q=6,|BFiI—IB&I=

2a=6,可求|4B|.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：設(shè)直播間第一季度總收入為a,則第二季度總收入為2a,第三季度總收入

為4a,

對于4,該直播間第三季度服裝收入為0.7x4a=2.8a,前兩個季度的服裝收入之和為:

0.9a+0.8x2a=2.5a,

;該直播間第三季度服裝收入高于前兩個季度的服裝收入之和，故A錯誤.

對于8,該直播間第一季度化妝品收入為0.1a,第三季度化妝品收入為0.3x4a=1.2a,

??.該直播間第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的浮=故B錯誤.

1.2a12

對于C,該直播間第二季度化妝品收入為0.2x2a=0.4a,第三季度化妝品收入為1.2a,

;該直播間第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的=《，故選項C正確.

對于D,該直播間第三季度總收入是第一季度總收入的4倍，故。錯誤，

故選：C.

設(shè)直播間第一季度總收入為a,則第二季度總收入為2a,第三季度總收入為4a,再根據(jù)

圖表信息，追個判斷各個選項即可.

本題主要考查了統(tǒng)計圖的應(yīng)用，同時考查了學生的計算能力，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：拋物線C的標準方程為/=16y,焦點為F(0,4),

準線y=-4,點4在拋物線C上，\AF\=5,不妨4在第一象限，所以4(4,1),4尸的中點

坐標(2,|),以4F為直徑的圓的半徑為：炭42+(1-4)2=|,以AF為直徑的圓與x軸的

位置關(guān)系是相切，

故選：A.

求出拋物線的焦點坐標，準線方程，然后求解a的坐標，求出圓的圓心與半徑，即可判

斷結(jié)果.

本題主要考查了拋物線的定義.拋物線簡單性質(zhì)的應(yīng)用，圓與拋物線以及直線的位置關(guān)

系的應(yīng)用，是中檔題.

9.【答案】D

【解析】解：因為品=3.28,7=6,且&=1+「7，

則指數(shù)增長率「=警=0.38,

設(shè)累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間約為t天，

則*=4,BPe038t=4,

兩邊取自然對數(shù)可得，，ne°38t=》4,

又仇2?0.69,

所以"猾23.6,

0.38

則累計感染病例數(shù)增加3倍需要的時間約為3.6天.

故選：D.

根據(jù)題中所給函數(shù)模型求出r的值，然后令t=0,求出/的值，由條件列出方程，求解

即可.

本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用問題，對數(shù)與指數(shù)的運算性質(zhì)的應(yīng)用，考查了學生閱讀

理解能力與化簡運算能力，屬于中檔題.

■.【答案】C

第10頁，共20頁

【解析】解：由三視圖還原原幾何體如圖,

該幾何體為三棱錐P-ABC,P41底面力BC,AB1BC,

則該四面體四個面所在的平面中，兩兩相互垂直的有3對，

??.從該四面體的四個面所在的平面中任取兩個,取到的兩個平面互相垂直的概率為點p為

假命題；

該四面體的四個頂點恰好是一個正方體的頂點，從這個正方體中任取一點，

取自四面體內(nèi)的概率為逶二1=Lq為真命題.

1X1X16

則pAq為假命題，pV(-1?)為假命題，(")Vq為真命題，(")A(-'q)為假命題.

故選：C.

由題意畫出圖形，由概率計算公式判斷p與q的真假，再由復合命題的真假判斷得答案.

本題考查空間幾何體的三視圖，考查命題的真假判定與應(yīng)用，考查空間想象能力與邏輯

思維能力，是中檔題.

1I.【答案】B

【解析】解：函數(shù)/⑶=3sin(a)x+租)的圖象的相鄰兩條對稱軸間的距離是會所以T=

兀，=?==2.故④正確；

函數(shù)圖象過點《,一3),所以3sin(2x爭+乃=-3,即手+*=￡+2"(卜eZ),解

得⑴=，+2kn(keZ),已知I切<n,則>=￡-/(x)=3sin(2x+%

當xe［—3勺時,2x+-［一黑］,所以函數(shù)在［一為勺上單調(diào)遞增，故①錯誤；

因為/'(一)=3s譏(一方+》=3s譏(一方=一3,故函數(shù)圖象關(guān)于％=冶對稱，故②正

確；

將函數(shù)f(x)的圖象向右平移/單位后得到y(tǒng)=3sin(2(x-$+$=3sin(_2x-=

-3cos2x,為偶函數(shù)，故③正確.

故選：B.

利用已知條件可待定系數(shù)確定函數(shù)解析式為f(x)=3s譏(2x+》，然后利用/(x)=

3s譏(2x+?)的圖象與性質(zhì)即可判斷各選項.

本題考查了三角函數(shù)圖象與性質(zhì)，命題真假的判斷，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】D

【解析】解：當xe［0,2］時，1<%<2,"X)的圖象向右平移2個單位，

再把縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得到2/。-2)的圖象，也即/(x)在區(qū)間［2,4］上的圖象.

以此類推，則f(x)在區(qū)間［0,8］上的圖象如圖所示.

記g(x)=依，若方程/0)=依恰好有四個實根，

則函數(shù)/(x)與g(x)的圖象有且只有四個公共點，

由圖得，點4(1,1),B(3,2),C(5,4),￡)(7,8),

則卜。4=LkoB=『koc=g，k0D=/，則<^OA<^OD'

所以/(x)與g(x)的圖象有且只有四個公共點時g<k<l,

所以k的取值范圍為G，l).

故選：D.

畫出/(x)的圖象，根據(jù)/(x)與g(x)=kx的圖象有4個交點來求得k的取值范圍.

本題考查了函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬中檔題.

13.【答案】V2

第12頁，共20頁

【解析】解:向量2=(1,—2),b=(m,1)>a-b=-4>

可得m~2=-4,所以m=—2,b——(—2,1)，a+b-(―1,—1)，

貝五+或=7(-i)2+(-1)2=V2.

故答案為：V2.

利用向量的數(shù)量積求解然后求解向量的模即可.

本題考查向量的數(shù)量積的求法，向量的模的求法，是基礎(chǔ)題.

14.【答案】|

【解析】解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如

圖：

由4x+3y+t=0得y--1x-|t,

作出直線y=-gx,平移直線y=-gx,

由圖象知當直線丫=一：尢-?經(jīng)過點4時，直

線V=一3%一1的截距最小，

此時t最大,

Of8

X=--8

得i

43-

=ty=33

此時t=-4%—3y=-4x—3x3=I，

故答案為：|.

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線的幾何意義進行平移進行求解即可.

本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用直線的幾何意義是

解決本題的關(guān)鍵，是中檔題.

15.【答案】2046

【解析】解：由a"]=2嗎+a/n+i，得(即+i+卅)(即+1-2即)=0，

因為即>0,所以a“+i+所以即+1=2即，

所以數(shù)列國高是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，

故a”=2-2“T=2n,

n

所以bn=(n+2)an=(n+2)-2,

所以S7=3?21+4?22+5?23+…+9?27，

2378

2S7=3-2+4?2+???+8?2+9?2,

兩式相減得，一S7=3-21+22+23+-+27-9-28=6+生匕始-9?28=2-2n=

'1-2

-2046,

所以S7=2046.

故答案為：2046.

分解因式整理可得即+1=2%,從而知數(shù)列｛即｝是首項為2,公比為2的等比數(shù)列，進而

得數(shù)列｛%｝的通項公式，再由錯位相減法，得解.

本題考查數(shù)列的通項公式與前n項和的求法，熟練掌握等比數(shù)列的概念，錯位相減法是

解題的關(guān)鍵，考查邏輯推理能力和運算能力，屬于中檔題.

16.【答案】487r

【解析】解：由題意，APA。為直角三角形，如圖:

取AD中點G,貝IJGA=GC=GP,

取BO中點。，則。是正方形4BC0的中心，連接OG,則OGJ.AD,

已知面4PD_L底面4BCD,且面4PCn面48co=AD,OGu面4BCD,

故OG1面P4。，

則。4=OD=OP,

又OD=OC=OB=OA,

故。到四棱錐P-4BC。各頂點的距離相等，

即。為四棱錐P-4BC。的外接球的球心，半徑R==|x732+16=2百，

故外接球的表面積S=471/?2=4兀x(2V3)2=48兀，

故答案為：487r.

根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特點，找到外接球的球心為AC,8D的交點，求得外接球的

半徑，再求其表面積即可.

第14頁，共20頁

本題考查了面面垂直的性質(zhì)以及幾何體的外接球問題，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)設(shè)中位數(shù)為m,則0.24+(m—20)x0.032=0.5,解得?n=28.125,

由于[20,30)一組的頻率最大，因此眾數(shù)=生寧=25.

(2)根據(jù)題意可得,在[0,10),[10,20),[20,30),[30,40)上抽取的人數(shù)分別為1,2,4,

3,

故f=0,1,2,3,

P(f=0)=卑=P(f=1)=卑=

SJ琮24)信40

PG=2)WP(f=3)=魯=磊,

故f的分布列為：

e0123

7217

P1

244040120

77171

故E(f)=°x萩+1XG+2X^+3X石=。9

【解析】(1)設(shè)中位數(shù)為m，根據(jù)0.24+(?n-20)x0.032=0.5,解得m.由于[20,30)一

組的頻率最大，即可得出眾數(shù).

(2)根據(jù)題意可得，在[0,10),[10,20),[20,30),[30,40)上抽取的人數(shù)分別為1,2,4,

3,f=0,1,2,3,利用超幾何分布列的概率計算公式即可得出概率及其分布列，進

而得出期望.

本題考查了頻率分布直方圖的應(yīng)用、超幾何分布列概率計算公式，考查了推理能力與計

算能力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)由+tanC)=2cttcinB可得b,(--+—-)=2a,—

'''，'cosBcosCCOSB

即b(si?18cosc+cosBsinC)=bsin^B+C)=bsinA=2asinBcosCf

由正弦定理可得sinBsi?i4=2sinAsinBcosC,

因為si兀4H0,sinBH0,所以2cosc=1,解得cosC=

因為C€(O,TT),所以。=親

(2)在△ABC中，由正弦定理可得高=肅=*=2包

所以a=2>/3sinA=2V3sin(y-B)=6sinB+3cosB,

由AP=2PB,AB=3可得PB=1,

22

由余弦定理可得CP?=a+1-2acosB=gstnB+3cosB)+1-2(V3sinB4-

3cosB)cosB=44-2V5s譏2B,

因為0<B<詈，所以0<2B<等，

所以當僅當28=三即B=?時，CP2取最大值，最大值為4+2百，

此時由正弦定理可得b=2asinB=273xy=V6,

...2TTn、.2nn2n.nV6+\/2

sinA=sin(Z-------)=sin—cos——cos—sin-=--------，

'34，34344

則44BC的面積S=-bcsinA=-xV6x3x—2=9+3v3.

2244

【解析】(1)結(jié)合三角恒等變換，正弦定理求得cosC,進而可得角C；

(2)利用正弦定理、余弦定理求得CP的最大值以及此時B的大小，結(jié)合三角形的面積公

式即可求得△ABC的面積.

本題考查解三角形，涉及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式，轉(zhuǎn)化思想，屬

于中檔題.

19.【答案】(I)證明：在△BAD中，AB=24D=2,

乙BAD=60°.

由余弦定理BO?=AD2+AB2-2AB-ADcos60°,BD=

V3.

vAB2=AD2+DB2,

■■■ADLDB,

在直平行六面體中，平面。，u平面

GD1ABCDB4BCD,y

GD1DB,

又4DnGD=D,

BD1平面40G.

(口)解：如圖以D為原點建立空間直角坐標系D-xyz,

???4BAE=/.GAD=45°,AB=2AD=2,

???71(1,0,0),B(0,V3,0)E(0,V3,2),G(0,0,l),

AE=(-1,V3,2),而=(-1,0,1),GB=(0,V3,-l)>

第16頁，共20頁

設(shè)平面4EFG的法向量記=（x,y,z）,

..產(chǎn)?亞=T+百y+2z=0,令x=i,得丫=_旦z=i,

.??平面AEFG的法向量有=（1,一9,1）,

設(shè)直線GB和平面4EFG的夾角為。，

—.五>|=麗向=2=叵

???sinG=|cos<GBf|GB|?同y/3+TxJi+-+i79

：?cosO=>/l—sin20=-????tanO=,

7cosO2

所以直線GB與平面力EFG所成角的正切值為烏

2

【解析】（I）證明：ADVDB,GD1DB,即可證明BD_L平面4DG；

（口）建立空間直角坐標系，利用向量方法求直線GB與平面AEFG所成角的正切值.

本題考查直線與平面垂直，考查直線GB與平面HEFG所成的角的求法，考查向量方法的

運用，屬于中檔題.

20.【答案】解：（1）由題設(shè)知，直線m勺斜率％=筌=a.c=2.

橢圓離心率￡=—^a=j=x2=V6,則/=a2—c2=2.

a3V6

???橢圓C的標準方程為立+乃=1.

62

（2）當直線m的斜率不存在時，m：x=-2,直線m交橢圓C于點M（-2，務(wù)N（-2,-凈.

麗.麗=出

3

注意到OMN是等腰三角形，則tan《4MON）=在，tan/MON=辿，

265

_^=延、_^=12=西?麗，.?.直線加：x=-2滿足要求.

當直線m的斜率存在時，設(shè)直線小的方程為：y=k（x+2）,

與式+g=1聯(lián)立消去y整理得：（3/c2+l）x2+12k2x+12k2-6=0.

62

因直線加過橢圓C的左焦點尸（—2,0）,

二直線?n與橢圓C必相交，設(shè)交點M（%i，yi）、A/（x2,y2）>

22

則%+犯=xr-x2=\MN\=Vl+fc?|%i-%2I=V1+/c-

J（X]+七）2—4X/2=2嚶;：??

點。到直線m：kx-y+2k=0的距離d=-4==.

麗?麗=西.兩COSNMON=^^

,S^OMN=l-\OM\\ON\-sin乙MON=竽

2

c1.j12V6(l+k)12kl2V6,21.,V3

^oMN=^\MN\-d=---1^r-7==—,k=-lk=+-.

???直線m的方程為：尢=-2或y=±g(x+2),

即％=—2或%+V3y+2=0或x-V3y4-2=0.

【解析】(1)由直線斜率求出c,由離心率求出a,由a、氏c關(guān)系求出b；

(2)按優(yōu)斜率是否存在進行討論.當直線m斜率存在時，設(shè)方程為7=以久+2),與橢圓

方程聯(lián)立，求出aOMN的面積，另外也可由麗?麗=———求得AOMN的面積，

3tanLMON

由此得關(guān)于k的方程即可求解.

本題主要考查橢圓方程的求解，直線橢圓的位置關(guān)系，圓錐曲線中的向量問題等知識,

屬于中等題.

21.【答案】解：(l)/(x)=/nx+p則八x)=/要,

令g(x)=0,則得到巾=一：尤3+%,Q>0),

問題轉(zhuǎn)化為y=zn和y=-1x3+x的交點個數(shù)問題，

由曠=一[爐+%,得：y，=一/+i,

令y'>0,解得：OVxVl,令y'V0,解得：x>1,

???函數(shù)在(1,+8)遞減，在(0,1)遞增，

:，x=1時，y取得極大值，了極大值=3,

X7+8時：y—oo,x->0時，y->0,

二函數(shù)y=-1x3+%的值域是(-8,|],

???m=|時，g(x)零點個數(shù)為1個，

0<m<爭寸，g(x)的零點個數(shù)為2個，

mWO時，零點個數(shù)為1個.

(2)由題意得:/(/>)-b</(a)-a,

則構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-%在(0,+8)上單調(diào)遞減，

第18頁，共20頁

所以F'Q)=f'(x)-l=^-^-l<0在(0,+8)上恒成立,

即m>%(1-%)在(0,+8)恒成立，

而y=%(1-%)在(0,+8)上的最大值是；，

故力的取值范圍是日,+8).

【解析】(1)令g(x)=0,則得到m問題轉(zhuǎn)化為y=巾和y=一：/+工的

交點個數(shù)問題，討論根的范圍即可得出結(jié)論；

(2)由題意得到f(b)-b<f(a)-a,構(gòu)造函數(shù)/(%)=/(%)-％在上單調(diào)遞減，根據(jù)函

數(shù)的單調(diào)性，從而求出m的范圍.

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的最值、零點問題，考查導數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題.

X=pcosO