2018年數(shù)學熱點題型和提分秘籍專題04函數(shù)及其表示文

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學必求其心得，業(yè)必貴于專精專題04函數(shù)及其表示1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ鐖D象法、列表法、解析法)表示函數(shù)3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用熱點題型一求函數(shù)的定義域例1、（1）函數(shù)f（x）＝eq\f（1，\r(log2x2－1))的定義域為（)A。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（0，\f(1,2）))B．(2，＋∞）C。eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（1,2)))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0，\f（1，2））)∪［2，＋∞）(2）已知函數(shù)f（x)的定義域為（－1,0），則函數(shù)f(2x＋1）的定義域為（）A．（－1，1）B。eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（－1，－\f(1,2）））C．（－1,0）D.eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f（1，2)，1))【答案】（1)C(2）B【解析】（1）方法一：(log2x）2－1＞0，即log2x＞1或log2x＜－1，解得x＞2或0＜x＜eq\f(1，2）。故所求【提分秘籍】1．求函數(shù)定義域的類型及方法（1)已知函數(shù)的解析式：構(gòu)造使解析式有意義的不等式（組）求解。（2）對實際問題：由實際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式（組)求解.（3）抽象函數(shù):①若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b］，則函數(shù)f(g(x）)的定義域由不等式a≤g（x）≤b求出;②若已知函數(shù)f（g（x))定義域為[a，b］，則f(x)的定義域為g（x）在x∈[a，b］時的值域。2．求函數(shù)定義域的注意點(1）不要對解析式進行化簡變形，以免定義域變化.（2）當一個函數(shù)由有限個基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時，定義域一般是各個基本初等函數(shù)定義域的交集.(3)定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示，不能用“或”連接,而應該用并集符號“∪”連接?！九e一反三】若函數(shù)f（x)＝的定義域為R，則a的取值范圍為__________?！敬鸢浮縖－1，0］熱點題型二求函數(shù)的值域例2、求下列函數(shù)的值域:(1）y＝eq\f（x2－1,x2＋1）；(2）y＝x－eq\r(1－2x)；(3)y＝eq\r(x）＋eq\f（1，\r(x)－1)(x＞1)；（4）y＝eq\f（1，\r（x－x2）)?！窘馕觥?1）解法一：y＝1－eq\f（2，x2＋1）,∵x2＋1≥1，∴0＜eq\f(1，x2＋1)≤1,∴－2≤－eq\f（2,x2＋1)＜0，∴y∈［－1,1)。解法二：由y＝eq\f（x2－1，x2＋1)可得x2＝－eq\f(y＋1,y－1），【提分秘籍】求函數(shù)值域的基本方法(1)觀察法：一些簡單函數(shù)，通過觀察法求值域。（2)配方法：“二次函數(shù)類”用配方法求值域。(3）換元法:形如y＝ax＋b±eq\r（cx＋d)(a，b，c,d均為常數(shù)，且ac≠0）的函數(shù)常用換元法求值域，形如y＝ax＋eq\r（a－bx2）的函數(shù)用三角函數(shù)代換求值域。(4）分離常數(shù)法:形如y＝eq\f（cx＋d，ax＋b)（a≠0)的函數(shù)可用此法求值域。(5)單調(diào)性法：函數(shù)單調(diào)性的變化是求最值和值域的依據(jù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間判斷其增減性進而求最值和值域。（6）數(shù)形結(jié)合法：畫出函數(shù)的圖象，找出坐標的范圍或分析條件的幾何意義,在圖上找其變化范圍?！九e一反三】求下列函數(shù)的值域：（1)y＝eq\f（3x＋1，x－2）；（2)y＝eq\f(5，2x2－4x＋3)；(3)y＝x＋4eq\r（1－x);（4）y＝eq\f(x2,x－1）(x＞1)?！窘馕觥?1)y＝eq\f(3x－2＋7，x－2)＝3＋eq\f（7,x－2)≠3,值域為{y|y≠3｝.(2）y＝eq\f(5,2x－12＋1),∵2(x－1)2＋1≥1,∴y∈（0,5］.(3）令eq\r（1－x)＝t≥0，∴y＝－t2＋4t＋1,∵t≥0，∴y∈(－∞,5].(4)令x－1＝t＞0,x2＝t2＋2t＋1，∴y＝t＋eq\f（1，t)＋2≥4,當且僅當t＝1時取等號.∴y∈[4，＋∞）.熱點題型三求函數(shù)的解析式例3．(1）已知feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（x＋\f（1，x)))＝x2＋eq\f（1,x2),求f（x)的解析式；（2)已知feq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2,x）＋1））＝lgx，求f(x)的解析式；（3）已知f（x）是一次函數(shù)，且滿足3f(x＋1）－2f(x－1)＝2x＋17，求f(（4)已知f（x）滿足2f（x)＋feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(1，x）)）＝3x，求f(x）的解析式。由①②解得f（x)＝2x－eq\f(1，x)(x≠0）,即f（x）的解析式是f(x）＝2x－eq\f（1，x)（x≠0).【提分秘籍】求函數(shù)解析式的常用方法（1)配湊法：由已知條件f（g（x））＝F（x）,可將F（x)改寫成關(guān)于g（x）的表達式，然后以x替代g(x）,便得f（x)的表達式；(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)）可用待定系數(shù)法；(3）換元法：已知復合函數(shù)f（g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍；(4）方程思想：已知關(guān)于f（x）與feq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(1,x)))或f(－x）的表達式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另外一個等式組成方程組，通過解方程組求出f（x)?！九e一反三】已知函數(shù)f（x）滿足2f(x)－f（－x)＝eq\f(1，x),則f（x)＝________?！敬鸢浮縠q\f(1，3x）【解析】∵2f(x)－f（－x)＝eq\f(1，x），①將x用－x代替得2f（－x)－f(x)＝－eq\f（1，x），②由①②消去f（－x)得f（x）＝eq\f(1,3x)。熱點題型四分段函數(shù)及其應用例4、（1)已知實數(shù)a≠0，函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1。)）若f(1－a）＝f(1＋a）,則a的值為__________。（2)已知函數(shù)f（x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≥0,1，x＜0，））則滿足不等式f(1－x2)＞f（2x)的x的取值范圍是________?！敬鸢浮浚?）－eq\f(3，4）(2)（－1，eq\r(2)－1）【提分秘籍】解決分段函數(shù)求值問題的策略（1)在求分段函數(shù)的值f（x0)時，一定要首先判斷x0屬于定義域的哪個子集,然后再代入相應的關(guān)系式。（2）分段函數(shù)是指自變量在不同的取值范圍內(nèi),其對應法則也不同的函數(shù)，分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是多個函數(shù)；分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集，故解分段函數(shù)時要分段解決。（3)求f(f（f（a）））的值時,一般要遵循由里向外逐層計算的原則.【舉一反三】已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x＋1，x＜1，x2＋ax，x≥1，)）若f（f(0））＝4a，則實數(shù)a等于（)A.eq\f（1,2）B。eq\f(4,5）C．2D．9【答案】C【解析】f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2x＋1,x＜1,x2＋ax,x≥1。))∵0＜1，∴f（0)＝20＋1＝2?！遞(0)＝2≥1,∴f（f(0）)＝22＋2a＝4∴a＝2。1.【2017山東,文9】設，若，則A。2B.4C.6D.8【答案】C【解析】由時是增函數(shù)可知,若,則,所以，由得,解得,則，故選C。1.【2016高考浙江文數(shù)】已知函數(shù)滿足:且。（）A。若,則B。若，則C。若,則D。若，則【答案】B2?！?016高考山東文數(shù)】已知函數(shù)f(x)的定義域為R.當x＜0時,f（x)=x3—1；當-1≤x≤1時，f（-x)=—f（x）；當x＞時，f(x+）=f(x—）。則f(6）=（）（A）-2（B）-1(C)0（D）2【答案】D【解析】當時，，所以當時，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，又因為當時，，所以，故選D。1.【2015高考湖北,文6】函數(shù)的定義域為（）A． B．C． D．【答案】C.【解析】由函數(shù)的表達式可知，函數(shù)的定義域應滿足條件：,解之得，即函數(shù)的定義域為，故應選C.3.【2015高考重慶，文3】函數(shù)的定義域是（)（A)（B)（C)（D)【答案】D【解析】由解得或，故選D。3。【2015高考四川，文8】某食品的保鮮時間（單位：小時)與儲藏溫度(單位:℃）滿足函數(shù)關(guān)系（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù))。若該食品在℃的保鮮時間是小時，在℃的保鮮時間是小時，則該食品在℃的保鮮時間是（）（A)16小時（B)20小時（C)24小時（D）21小時【答案】C1．(2014·安徽卷）若函數(shù)f（x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù)，且在[0，2］上的解析式為f（x）＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（1－x)，0≤x≤1,，sinπx，1〈x≤2，）)則feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（29，4)））＋feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（41,6）））＝______．【答案】eq\f（5,16)【解析】由題易知feq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(29,4)))＋feq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(41，6))）＝feq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（3，4)）)＋feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f(7,6））)＝－feq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（3，4）))－feq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(7，6））)＝－eq\f（3,16）＋sineq\f（π,6）＝eq\f（5,16）.2．（2014·北京卷）下列函數(shù)中，定義域是R且為增函數(shù)的是(）A．y＝e－xB．y＝x3C．y＝lnxD．y＝｜x｜【答案】B【解析】由定義域為R，排除選項C，由函數(shù)單調(diào)遞增,排除選項A，D。3．（2014·江西卷）將連續(xù)正整數(shù)1，2，…，n（n∈N*)從小到大排列構(gòu)成一個數(shù)123…n，F(xiàn)（n)為這個數(shù)的位數(shù)(如n＝12時，此數(shù)為123456789101112，共有15個數(shù)字,F（12）＝15），現(xiàn)從這個數(shù)中隨機取一個數(shù)字，p（n）為恰好取到0的概率．(1)求p（100)；(2)當n≤2014時，求F（n）的表達式；(3)令g(n)為這個數(shù)中數(shù)字0的個數(shù)，f（n）為這個數(shù)中數(shù)字9的個數(shù)，h(n)＝f（n)－g（n）,S＝{n|h（n）＝1，n≤100，n∈N＊｝,求當n∈S時p（n)的最大值．【解析】（1）當n＝100時，這個數(shù)中總共有192個數(shù)字，其中數(shù)字0的個數(shù)為11，所以恰好取到0的概率為p(100)＝eq\f（11,192）。由h（n)＝f(n）－g（n)＝1，可知n＝9,19，29，39，49，59，69，79,89，90，所以當n≤100時，S＝{9，19，29，39，49，59，69，79,89，90｝．當n＝9時，p（9)＝0。當n＝90時，p（90）＝eq\f（g(90）,F（90）)＝eq\f(9,171)＝eq\f(1，19）.當n＝10k＋9（1≤k≤8，k∈N*）時,p(n）＝eq\f（g（n),F(n）)＝eq\f（k，2n－9）＝eq\f(k,20k＋9)，由y＝eq\f(k,20k＋9)關(guān)于k單調(diào)遞增,故當n＝10k＋9(1≤k≤8，k∈N*）時,p（n)的最大值為p(89）＝eq\f(8,169）.又eq\f(8,169）〈eq\f(1，19)，所以當n∈S時，p（n）的最大值為eq\f（1，19）。4．（2014·山東卷)函數(shù)f（x）＝eq\f（1，\r（log2x－1))的定義域為（)A．（0，2)B．(0,2］C．(2，＋∞)D．［2,＋∞）【答案】C【解析】若函數(shù)f（x)有意義，則log2x－1＞0，∴l(xiāng)og2x＞1，∴x＞2.1．對于集合A＝{x|0≤x≤2｝，B＝{y｜0≤y≤3｝,則由下列圖形給出的對應f中，能構(gòu)成從A到B的函數(shù)的是（）【答案】D【解析】對于B，C兩圖可以找到一個x與兩個y對應的情形，對于A圖,當x＝2時，在B中找不到與之對應的元素．2．已知a，b為實數(shù)，集合M＝{eq\f（b，a），1}，N＝{a，0}，若f是M到N的映射，f(x）＝x，則a＋b的值為（)A．－1B．0C．1 D．±1【答案】C3．圖中的圖象所表示的函數(shù)的解析式為（)A．y＝eq\f（3,2）｜x－1｜（0≤x≤2)B．y＝eq\f（3,2）－eq\f(3,2）|x－1｜（0≤x≤2）C．y＝eq\f（3，2）－|x－1|（0≤x≤2)D．y＝1－｜x－1｜（0≤x≤2）【答案】B4．函數(shù)y＝eq\r(|x|x－1)的定義域為()A．｛x|x≥1} B．｛x｜x≥1或x＝0｝C．{x|x≥0｝ D．｛x|x＝0｝【答案】B【解析】由題意得｜x｜(x－1)≥0，∴x－1≥0或｜x｜＝0?！鄕≥1或x＝0。5．設函數(shù)f（x）＝eq\f(2x，1＋2x)－eq\f（1，2)，［x］表示不超過x的最大整數(shù)，則函數(shù)y＝[f(x）]的值域為（)A．{0} B．｛－1,0｝C．｛－1，0，1} D．{－2,0}【答案】B【解析】∵f（x)＝1－eq\f(1,2x＋1）－eq\f(1，2）＝eq\f（1,2）－eq\f(1，2x＋1），又2x>0，∴－eq\f(1,2)〈f（x）<eq\f（1,2）.∴y＝［f(x）］的值域為｛－1，0｝．6．若二次函數(shù)g（x）滿足g（1)＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，則g(x)的解析式為()A．g（x）＝2x2－3x B．g(x)＝3x2－2xC．g（x）＝3x2＋2x D．g(x)＝－3x2－2x【答案】B【解析】用待定系數(shù)法，設g(x）＝ax2＋bx＋c(a≠0）,∵g(1）＝1，g(－1)＝5，且圖象過原點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，，a－b＋c＝5，,c＝0，））解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，b＝－2，c＝0）)，∴g（x）＝3x2－2x，選B.7．已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（1－x2，x≤1，,x2＋x－2，x〉1，))則f［eq\f（1，f2）]的值為（)A.eq\f(15,16) B。eq\f(8,9）C．－eq\f(27，16） D．18【答案】A【解析】f(2）＝4，f[eq\f（1，f2）］＝f(eq\f（1,4））＝1－(eq\f(1，4)）2＝eq\f(15，16）。8．已知f：x→2sinx是集合A（A?［0，2π］）到集合B的一個映射，若B＝{0,1，2｝,則A中的元素個數(shù)最多為()A．6 B．5C．4 D．3【答案】A【解析】∵A?［0，2π]，由2sinx＝0，得x＝0，π，2π；由2sinx＝1,得x＝eq\f（π,6)，eq\f（5π,6）;由2sinx＝2，得x＝eq\f(π,2)。故A中最多有6個元素，故選A。9．已知函數(shù)f(x)是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足對任意的實數(shù)x都有f［f（x）－3x］＝4，則f（x)＋f(－x)的最小值等于（)A．2 B．4C．8 D．12【答案】B10．設[x］表示不超過實數(shù)x的最大整數(shù),如[2。6］＝2，[－2.6]＝－3。設g(x）＝eq\f（ax,ax＋1）（a〉0且a≠1）,那么函數(shù)f(x）＝[g（x)－eq\f（1，2)］＋[g（－x）－eq\f(1，2)］的值域為()A．｛－1，0,1} B．{0,1｝C．{1,－1｝ D．{－1，0}【答案】D11．若函數(shù)f（x)＝ax－1（a〉0，a≠1）的定義域和值域都是［0,2］，則實數(shù)a等于________．【答案】eq\r（3)【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,,a2－1＝2，，a0－1＝0)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（0〈a<1，,a2－1＝0,，a0－1＝2。）)解得a＝eq\r(3).12．已知f(x－eq\f（1,x）)＝x2＋eq\f(1,x2），則f(3)＝________?！敬鸢浮?1【解析】∵f（x－eq\f（1,x））＝(x－eq\f（1，x)）2＋2，∴f（x）＝x2＋2（x∈R），∴f（3)＝32＋2＝11。13．已知函數(shù)g（x)＝x2－2013x，若g（a）＝g(b)，a≠b,則g(a＋b)＝________?！敬鸢浮?【解析】由g（a)＝g（b)得a2－2013a＝b2－2013b，又a≠b,所以a＋b＝2013，所以g(a＋b)＝g14．已知f是有序數(shù)對集合M＝{（x,y)|x∈N*,y∈N＊}上的一個映射，正整數(shù)數(shù)對(x，y)在映射f下的象為實數(shù)z，記作f（x，y）＝z.對于任意的正整數(shù)m