第01章導(dǎo)熱的基本定律及方程

2023/2/181雙曲型導(dǎo)熱微分方程

三.雙曲型導(dǎo)熱微分方程

熱在物體中傳播速度無(wú)限大,在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中,任何瞬時(shí),變化和改變是同步的.這種假設(shè)對(duì)于緩慢非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程是可用的,為拋物線方程.2023/2/182雙曲型導(dǎo)熱微分方程(對(duì)于低溫度下急劇變化的非穩(wěn)態(tài)過(guò)程不能把熱擾動(dòng)傳播速度看成是無(wú)限大)由于物體有熱慣性,溫度場(chǎng)的重新建立和溫度梯度變化是滯后邊界條件的.溫度場(chǎng)重新建立滯后于熱擾動(dòng)(熱流密度變化),滯后時(shí)間稱為松弛時(shí)間。

熱擾動(dòng)傳播速度與松弛時(shí)間關(guān)系為：2023/2/183雙曲型導(dǎo)熱微分方程考慮熱擾動(dòng)傳播速度為有限值,則伏利葉定律中的熱流密度要增加一個(gè)附加項(xiàng)

為導(dǎo)溫系數(shù).熱慣性↑,則松弛時(shí)間

↓;↑,則↓2023/2/184雙曲型導(dǎo)熱微分方程由控制體能量平衡關(guān)系：

;;2023/2/185雙曲型導(dǎo)熱微分方程其對(duì)求導(dǎo)：

將其代入λ為const,則

為熱擾動(dòng)在物體中的傳播速度為有限值的導(dǎo)熱微分方程.為雙曲型微分方程。2023/2/186雙曲型導(dǎo)熱微分方程為方程中增加的一項(xiàng)。一般松弛時(shí)間

很小,只有在一些極快速瞬態(tài)導(dǎo)熱才需要考慮,對(duì)一般過(guò)程,其可忽略不計(jì),這些分析有助于我們對(duì)導(dǎo)熱機(jī)理研究。

2023/2/187變分形式的導(dǎo)熱方程四.變分形式的導(dǎo)熱方程

根據(jù)變分原理,泛涵求極值的計(jì)算在數(shù)學(xué)上等價(jià)于微分方程求解,即對(duì)求極值可得到滿足相應(yīng)微分方程和邊界條件某一函數(shù)—微分方程在一定邊界條件下的解.下面將介紹導(dǎo)熱微分方程變分描述基本概念。

1.泛涵：函數(shù)與泛涵的區(qū)別2023/2/188函數(shù)與泛涵的區(qū)別

函數(shù)自變量是數(shù),而泛涵的自變量是函數(shù).即泛涵是函數(shù)的函數(shù).J=J(y)=J[y(x)](2)

y=y(x)(1)例:x為自變量,y為因變量.函數(shù)可表示為:設(shè)J又是y的函數(shù),那么泛涵J可表示為2023/2/189變分形式的導(dǎo)熱方程（舉例）對(duì)泛涵具體例子,舉一個(gè)最速降落線的問(wèn)題（伯努力1696年提出）。例:試確定一條曲線y=y(x),連接不再同一鉛垂線上兩定點(diǎn)A和B,使得質(zhì)點(diǎn)M在重力的作用下,沿著這條曲線由較高點(diǎn)A自由滑到較低點(diǎn)B(不計(jì)摩擦),所需時(shí)間為最短。具有這種性質(zhì)曲線為最速降落線.

2023/2/1810

根據(jù)無(wú)阻力及能量守恒條件,物體在重力加速度g作用下,降落至同一水平面時(shí)具有相同的速率,所以物體在曲線上任一點(diǎn)M處的速率v必與自由落體在下降相同y距離時(shí)的速率相同,由物理學(xué)知道2023/2/1811變分形式的導(dǎo)熱方程∴

根據(jù)速率定義,可知從A到B所需時(shí)間

式中y=y(x)為函數(shù),t為y的函數(shù).2023/2/1812固定端點(diǎn)的變分T[y(x)]稱為泛涵,y(x)為函數(shù),它必需滿足t為最小值的條件,這就是一個(gè)對(duì)泛涵求極值的問(wèn)題,在數(shù)學(xué)上稱為變分。變分計(jì)算的目的是把極值曲線y(x)找出來(lái)。

2.固定端點(diǎn)的變分：求一函數(shù)y＝y(tǒng)(x)，滿足如下條件;并能使J達(dá)極值。

設(shè)有泛涵

2023/2/18132023/2/1814泛函步驟

泛涵部分大致有如下三步驟

1.找一任意光滑連續(xù)函數(shù)η(x)滿足2.取一參變量ε,它可在不太大的正負(fù)范圍內(nèi)變化,為使問(wèn)題簡(jiǎn)化,令ε與x無(wú)關(guān).3.設(shè)y(x)為待求的極值曲線,則:

y(ε,x)=y(x)+εη(x)為通過(guò)A、B兩點(diǎn)鄰近于極值曲線的無(wú)限多曲線,滿足

δ是專門的變分符號(hào).

2023/2/1815函數(shù)的微分于泛涵的變分對(duì)照

函數(shù)的微分于泛涵的變分對(duì)照：y=y(x),函數(shù)增量△y=y(x+△x)-y(x)則函數(shù)微分：

函數(shù)取極值條件為：泛涵J＝J[y(x)],泛涵增量

函數(shù)增量為

2023/2/1816泛涵取極值的必要條件而函數(shù)的變分為：泛涵取極值的必要條件為：

2023/2/1817變分基本性質(zhì)基本性質(zhì)

：變分運(yùn)算與微分運(yùn)算有相同之處①設(shè)有函數(shù)y(x),n為常量②設(shè)有函數(shù)u(x),v(x)則③設(shè)有函數(shù)y(x)，則④微分和變分次序可變2023/2/1818性質(zhì)③④

證明

③

是由引起,突出ｘ自變量.而并不是引起的。是在x時(shí)得到的。是定義在x為給定值時(shí)的一條垂直線上∴（即變分計(jì)算時(shí)x為常量）④

【證明：

2023/2/1819變分形式的導(dǎo)熱方程

對(duì)x求導(dǎo)，

由上面式子得

2023/2/1820變分形式的導(dǎo)熱方程（極值條件）

對(duì)于泛涵也可寫(xiě)作

即

或?qū)憺榉汉O值的條件為

:

2023/2/1821函數(shù)取極值條件

函數(shù)取極值得條件為：

2023/2/1822函數(shù)取極值條件證明取極值

則

2023/2/1823泛函取極值條件證明2023/2/1824推導(dǎo)歐拉方程理論基礎(chǔ)

求對(duì)于泛涵取極值時(shí)，函數(shù)y(x)必須滿足的條件：y(x)鄰近曲線代入J→則

（萊布尼滋法則）介紹推導(dǎo)歐拉方程理論基礎(chǔ)

2023/2/1825歐拉方程理論基礎(chǔ)考慮

與無(wú)關(guān)，并將的關(guān)系代人

2023/2/1826歐拉方程理論基礎(chǔ)即

2023/2/1827歐拉方程理論基礎(chǔ)∴

則

利用

條件

2023/2/1828歐拉方程極值曲線應(yīng)滿足的必要條件（非充分條件）要求這個(gè)微分方程，可得無(wú)窮多個(gè)極值曲線，把邊界條件代人看到唯一的曲線。上式積分對(duì)任意函數(shù)都為0，則可推出歐拉方程

2023/2/1829歐拉方程（特殊情況1）推出最后歐拉方程

兩種特殊情況：

（1）F中不含y，即由

→

積一次分再積一次分可得極值曲線。2023/2/1830歐拉方程（舉例）例：滿足邊界條件的極值曲線不含y，所以歐拉方程的首次積分

對(duì)求偏導(dǎo)

2023/2/1831歐拉方程（總結(jié)）總結(jié)：變分求解方程①?gòu)姆汉O值出發(fā)，產(chǎn)生與變分代表同一物理過(guò)程的微分方程，即歐拉方程。②用數(shù)學(xué)方法求微分方程，從而得到滿足變分的極值曲線。

極值曲線是一個(gè)圓，將邊界條件代人可求出

2023/2/1832歐拉方程（特殊情況2）（2）F中不含x，這時(shí)歐拉方程展開(kāi)式

寫(xiě)成全微形式2023/2/1833歐拉方程（特殊情況2證明）2023/2/1834可動(dòng)端點(diǎn)變分3.可動(dòng)端點(diǎn)變分除了兩端點(diǎn)固定變分外，還有極值曲線的一端點(diǎn)可在已知曲線上移動(dòng)的變分問(wèn)題，在上面例子中，讓A不動(dòng)，B移動(dòng)。B在任一給定位置都可得到一條極值曲線（為給定端點(diǎn)極值曲線），可動(dòng)端點(diǎn)變化就是在上述曲線（極值上）再作一比較，以求出B坐在某一高度時(shí)降落時(shí)間最短。（即從一系列固定曲線中挑選出來(lái)）

2023/2/1835可動(dòng)端點(diǎn)變分

可動(dòng)端點(diǎn)與固定端點(diǎn)變化基本相同，還是對(duì)求極值曲線。但有不同邊界條件只有;而不確定。故選取任意光滑連續(xù)函數(shù)與上面相同

2023/2/1836可動(dòng)端點(diǎn)變分

由于歐拉方程必須滿足

同時(shí)對(duì)任意

（自然邊界條件）∴求解歐拉方程得：兩個(gè)積分常數(shù)＋

＋自然邊界條件，可得出唯一的解。

2023/2/1837重積分下的變分（固定邊界）

4.重積分下的變分（固定邊界）（1）公式推導(dǎo)上面泛涵，只是的函數(shù)，現(xiàn)在討論，T是、的函數(shù)，是平面溫度函數(shù)在區(qū)域D邊界上有已知值。

（已知）

2023/2/18382023/2/1839重積分下的變分（固定邊界）

泛涵求極值時(shí)，極值曲面的一系列臨近曲面在區(qū)域D中的值可改變，在邊界上的值不能變。同上面固定端點(diǎn)變分法一致

為絕對(duì)值較小參變量，與、無(wú)關(guān)2023/2/1840重積分下的變分（固定邊界）代人泛涵

泛涵取極值

（格林公式）

在區(qū)域D和邊界上的任意函數(shù)

2023/2/1841重積分下的變分（固定邊界）看后兩項(xiàng)：

第一項(xiàng)用格林公式

則

2023/2/1842重積分下的變分（固定邊界）歐拉方程

2023/2/1843重積分下的變分（固定邊界）同樣

2023/2/1844第一類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)（2）第一類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)

求泛涵

極值曲面

其中T在區(qū)域D邊界溫度已知

公式中不含、、T

故

2023/2/1845第一類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)同樣

；

；

拉普拉斯方程

極值曲面為滿足拉普拉斯方程的一系列曲面。為了唯一確定極值曲面，用固定邊界給出定解條件（第一類邊界條件）

2023/2/1846第一類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)上述泛涵在邊界條件約束下變分所得的極值函數(shù)

就是拉普拉斯方程在第一類邊界條件下的解

。

2023/2/1847重積分下變分（可動(dòng)邊界）

5.重積分下變分（可動(dòng)邊界）

(1)公式推導(dǎo)是一個(gè)未知變量，其溫度場(chǎng)為可動(dòng)邊界變分問(wèn)題，其泛涵一般形式

2023/2/1848∴

(2)二類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)

求泛涵

極值曲面,為邊界上的熱流密度二類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)（A）

(B)

2023/2/1849,

由上面A代人

；

；及

代人(B)得：

二類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)2023/2/1850二類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)由于邊界

則（二類邊界條件）

2023/2/1851三類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)（3）三類邊界條件

求泛涵

的極值曲面；為介質(zhì)溫度，為介質(zhì)對(duì)固體的換熱系數(shù)，為固體導(dǎo)熱系數(shù)。

；

；

則（拉普拉斯方程）2023/2/1852三類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)則

為溫度場(chǎng)的三類邊界條件。

結(jié)論：泛涵取極值的極值曲面，就是拉普拉斯方程在邊界條件下的解：

2023/2/1853

絕熱。方程與第一類相同的泛涵，但是可動(dòng)邊界變分與固定邊界變分問(wèn)題，所得極值曲面具有不同的性質(zhì)。

②，化為一類邊界條件。故即可采用固定邊界條件，也可采用可動(dòng)邊界條件變分。

三類邊界條件平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)2023/2/1854具有內(nèi)熱源溫度場(chǎng)（4）具有內(nèi)熱源溫度場(chǎng)

求泛涵

求極值曲面必須滿足的條件。

上式與前面比多了一項(xiàng)

，則

代入歐拉方程

（為內(nèi)熱源平面溫度場(chǎng)的微分

方程及邊界條件）

2023/2/1855軸對(duì)溫度場(chǎng)變分問(wèn)題（柱坐標(biāo)）

6.軸對(duì)溫度場(chǎng)變分問(wèn)題（柱坐標(biāo)）1）無(wú)內(nèi)熱源軸對(duì)稱穩(wěn)定溫度場(chǎng)

相應(yīng)泛涵為

2023/2/1856軸對(duì)溫度場(chǎng)變分問(wèn)題（柱坐標(biāo)）

；；

；

∴

而自然邊界條件得：

將

、

和

代入

2023/2/1857軸對(duì)溫度場(chǎng)變分問(wèn)題（柱坐標(biāo)）∵

，為任意值

∴

2023/2/1858有內(nèi)熱源軸對(duì)稱穩(wěn)定溫度場(chǎng)2）有內(nèi)熱源軸對(duì)稱穩(wěn)定溫度場(chǎng)2023/2/1859

不穩(wěn)定溫度場(chǎng)變分（無(wú)內(nèi)熱源）

7.不穩(wěn)定溫度場(chǎng)變分1）無(wú)內(nèi)熱源平面不穩(wěn)定溫度場(chǎng)

為已知（1）（2）（3）（方程(1）為拋物型方程，其泛涵變分問(wèn)題還沒(méi)有很好解決)2023/2/1860不穩(wěn)定溫度場(chǎng)變分（無(wú)內(nèi)熱源）現(xiàn)有兩種解決方法

①令時(shí)間變量暫時(shí)固定（即考慮在一瞬時(shí)的條件下僅是位置函數(shù)）對(duì)泛涵變分，然后再考慮

的變化，把

用差分展開(kāi)。

泛涵（4）2023/2/1861不穩(wěn)定溫度場(chǎng)變分（無(wú)內(nèi)熱源）利用前面講的

做變分計(jì)算

注意：做常數(shù)處理，可得微分方程(1)、(3).

初始條件（2）作為定解條件在以后的計(jì)算中代入2023/2/1862不穩(wěn)定溫度場(chǎng)變分（無(wú)內(nèi)熱源）②先把（1）用向后差分改寫(xiě)為

此時(shí)，對(duì)應(yīng)的泛涵為：

再利用前面講的

可得到（1）、（3）。兩種方法可得到相同的變分計(jì)算結(jié)果。2023/2/1863不穩(wěn)定溫度場(chǎng)變分（內(nèi)熱源）2）有內(nèi)熱源空間不穩(wěn)定溫度場(chǎng)初始條件為已知時(shí)極值曲面

必須滿足的條件同前面一樣，只是要用空間概念代替平面概念，即相應(yīng)歐拉方程

2023/2/1864不穩(wěn)定溫度場(chǎng)變分（內(nèi)熱源）空間格林公式由此得到

必須滿足條件

2023/2/1865不穩(wěn)定溫度場(chǎng)變分（內(nèi)熱源）為已知（1）（2）（3）泛涵